浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题

这是一份浙江省宁波市2023-2024学年高三上学期1月期末数学试题，共11页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
全卷共4页，满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设为虚数单位，且，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知非零向量满足，向量在向量方向上的投影向量是，则与夹角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
4．体育课上，老师让2名女生和3名男生排成一排，要求2名女生之间至少有1名男生，则这5名学生不同的排法共有（ ）
A．24种 B．36种 C．72种 D．96种
5．已知是奇函数，则（ ）
A．1 B． C．2 D．
6．已知，则下列选项中，能使取得最小值25的为（ ）
A． B． C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为是椭圆的上顶点，线段的延长线交椭圆于点．若，则椭圆的离心率（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形中，已知，将沿翻折得四面体．作一平面分别与交于点．若四边形是边长为的正方形，则四面体外接球的表面积为（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小題给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．数字经济是继农业经济、工业经济之后的主要经济形态．近年来，在国家的大力推动下，我国数字经济规模增长迅猛，《“十四五”数字经济发展规划》更是将数字经济上升到了国家战略的层面．某地区2023年上半年月份与对应数字经济的生产总值（即GDP）（单位：亿元）如下表所示．
根据上表可得到回归方程，则（ ）
A．
B．与正相关
C．若表示变量与之间的相关系数，则
D．若该地区对数字经济的相关政策保持不变，则该地区7月份的生产总值约为亿元
10．已知函数的部分图象如图所示，，则（ ）
A．
B．在区间上单调递增
C．在区间上既有极大值又有极小值
D．为了得到函数的图象，只需将函数的图象向右平移个单位
11．已知圆，抛物线的焦点为为抛物线上一点，则（ ）
A．以点为直径端点的圆与轴相切
B．当最小时，
C．当时，直线与圆相切
D．当时，以为圆心，线段长为半径的圆与圆相交公共弦长为
12．已知函数满足：对，都有，且，则以下选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．的展开式中的系数为____________．（用数字作答）．
14．某校元旦文艺汇演中，有八位评委对一舞蹈节目评分，该节目得分依次为，则这组数据的第70百分位数为____________．
15．“PVC”材质的交通路障因其便携、耐用、易塑形等优点被广泛应用于实际生活中．某厂家设计的一款实心交通路障模型如下图所示，该几何体的底部是一个正四棱柱（底面是正方形的直棱柱），上部是一个圆台，结合图中所给的数据（单位：），则该几何体的体积为____________．
16．已知成公比为2的等比数列，且．若成等比数列，则所有满足条件的的和为____________．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）在中，内角所对的边分别为．已知．
（1）求的大小；
（2）若，求的面积．
18．（12分）已知函数，其中．
（1）当时，求曲线在处的切线方程；
（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．
19．（12分）如图，在四棱雉中，底面，，点在上，，过点作的垂线交于点．
（1）证明：平面；
（2）求平面与平面夹角的余弦值．
20．（12分）已知等差数列的前项和为，且．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，数列的前项和为．问：是否存在，使得，成等比数列，若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．
21．（12分）某次高三数学测试中选择题有单选和多选两种题型组成．单选题每题四个选项，有且仅有一个选项正确，选对得5分，选错得0分，多选题每题四个选项，有两个或三个选项正确，全部选对得5分，部分选对得2分，有错误选择或不选择得0分．
（1）若小明对其中5道单选题完全没有答题思路，只能随机选择一个选项作答，每题选到正确选项的概率均为，且每题的解答相互独立，记小明在这5道单选题中答对的题数为随机变量．
（i）求；
（ii）求使得取最大值时的整数；
（2）若小明在解答最后一道多选题时，除发现A，C选项不能同时选择外，没有答题思路，只能随机选择若干选项作答．已知此题正确答案是两选项与三选项的概率均为，问：小明应如何作答才能使该题得分的期望最大（写出小明得分的最大期望及作答方式）．
22．（12分）已知双曲线的中心为坐标原点，右焦点为，且过点．
（1）求双曲线的标准方程；
（2）已知点，过点的直线与双曲线的左、右两支分别交于点，直线与双曲线交于另一点，设直线的斜率分别为．
（i）求证：为定值；
（ii）求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．C 2．D 3．A 4．C 5．D 6．B 7．B 8．A
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．ABD 10．AB 11．AD 12．ACD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．40 14．92 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
（1）由，结合正弦定理，
得，
即，
因为，所以，即．
（2）因为，所以．
利用正弦定理得．
而，
故的面积为．
18．（1）由题知，，
当时，，
所以，曲线在处的切线方程为．
（2）由题意，原不等式等价于，
即，
当时，对任意，不等式恒成立．
当时，原不等式等价于，
设，则，
设，因为，
所以存在唯一，使得，
即．当时，单调递减，
当时，单调递增，
故，即．
综上所述，的取值范围为．
19．（1）因为平面平面，所以．
又因为，且，所以平面，
又平面，所以，而，且，
所以平面．
（2）如图，以为原点，方向分别为轴正向，建立空间直角坐标系，则．
由（1）知，平面的一个法向量为，
设平面的一个法向量为，
由，即，解得，
取，
设平面与平面的夹角为，
则，
即平面与平面的夹角余弦值为．
20．（1）由，取，得，即．
由，得，即．
解得，则．
（2）．
，
两式相减，得到
，
即．
因为，
所以，故不存在正整数，使得成等比数列．
21．（1）（i）因为，所以．
（ii）因为．
．
令，解得，
所以当时，最大，
此时．
（2）由题知，选项不能同时选择，故小明可以选择单选、双选和三选．
正确答案是两选项的可能情况为，每种情况出现的概率均为．
正确答案是三选项的可能情况为，每种情况出现的概率为．
若小明做出的决策是单选，则
（分），
（分），
若小明做出的决策是双选，则
（分），
（分）．
若小明做出的决策是三选，则
（分）．
经比较，小明选择单选或单选的得分期望最大，最大值为分
22．（1）设双曲线的方程为，
因为双曲线的右焦点为，且过点，
所以其中，解得
双曲线的方程为．
（2）（i）设直线的方程为，
由得，
因为直线与双曲线的左、右支分别交于点，
所以得，
即．
（ii）设直线的方程为，
由得，
，
由，结合（i）可知，
由，得，
即，或，
当时，直线过点，不符合题意，舍去，
当时，直线的方程为，过定点．月份
1
2
3
4
5
6
生产总值
30
33
35
38
41
45