高二下学期第一次月考测试卷（二）(数列、一元导数及其应用、计数原理)-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版)

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2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2023·高二单元测试）在等比数列{an}中，an>0，且a1+a2=1，a3+a4=9，则a4+a5的值为（ ）
A．16B．27
C．36D．81
【答案】B
【分析】根据数列的基本量的运算，由，根据an>0可得q=3，再根据，即可得解.
【详解】∵a1+a2=1，a3+a4=9，
∴q2=9.
∴q=3（q=-3舍去），
∴a4+a5=（a3+a4）q=27.
故选：B
2．（2023秋·江西吉安·高二统考期末）某公司为庆祝新中国成立73周年，计划举行庆祝活动，共有5个节目，要求A节目不排在第一个且C、D节目相邻，则节目安排的方法总数为（ ）
A．18B．24C．36D．60
【答案】C
【分析】根据给定条件，利用分步乘法计数原理，结合特殊元素问题及相邻问题，列式计算作答.
【详解】因为C、D节目相邻，则视C、D节目为一个整体与其它3个节目排列，
又A节目不排在第一个，则从后面三个位置中取一个排A，再排余下3个，有种，
其中的每一种排法，C、D节目的排列有，
所以节目安排的方法总数为（种）.
故选：C
3．（2022春·广东揭阳·高二惠来县第一中学校考阶段练习）若函数在处有极值，则（ ）
A．B．
C．D．a不存在
【答案】B
【分析】函数在处有极值，即，求解导数，代入即可求解.
【详解】解：因为函数，故
又函数在处有极值，故，
解得.经检验满足题意
故选：B.
4．（2022秋·广东广州·高一广东实验中学校考期末）函数的图像大致为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】根据函数奇偶性判断AD，再根据函数在的符号排除C得答案.
【详解】解：由题知函数的定义域为，
，
所以函数为偶函数，图像关于轴对称，
故排除AD，
因为，，
所以，当时，；当时，；
所以C选项不满足，B选项满足.
故选：B
5．（2023·云南·高二云南师大附中校考阶段练习）展开式中的系数为（ ）
A．4B．2C．D．
【答案】D
【分析】根据二项式定理的运算性质展开求解即可.
【详解】解：，
含的项为，
所以展开式中的系数为.
故选：D．
6．（2022秋·广东·高二校联考阶段练习）已知数列满足，，，则“”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】由题意可得为等差数列，后据此判断与间关系可得答案.
【详解】设首项为，由，可得，
则可得.
则
.故“”是“”的充分必要条件.
故选：A
7．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）记为数列的前项和，满足，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先由与的关系可得是以1为公差的等差数列，进而可得，再利用裂项相消法求和即可
【详解】由得，即①，
当时，②，
①-②得，，
即，
即，
所以，且，
所以是以1为公差的等差数列，
又，
所以，
则，时也符合，
则，
则．
故选：B．
8．（2022春·广东广州·高二校考期中）已知a，b，，且，，，其中e是自然对数的底数，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设，，然后分别利用导数判断两个函数的单调性，利用其单调性可求得答案.
【详解】∵a，b，，，，，
令，，，
当时，，在上单调递减，
令，，，当时，，
所以在上单调递增，即，
∴，即，
∴.
故选：D.
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2022春·广东·高二校联考阶段练习）已知函数，其导函数为，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】BC
【分析】先令代入函数可得，再对函数求导后把代入导函数中可得，从而可求得
【详解】因为，
所以．
因为，所以．
故．
故选：BC
【点睛】此题考查导数的运算，属于基础题
10．（2021秋·广东惠州·高二统考阶段练习）记等差数列的前项和为，已知，，则有（ ）
A．B．C．D．
【答案】ACD
【分析】先由，以及等差数列的性质可得，，然后根据等差数列通项公式，求和公式依次判断即可.
【详解】由，得，
设等差数列的公差为，则有，
所以，
所以，
所以，，
，
由，得，
故选：ACD.
11．（2022春·广东茂名·高二校考阶段练习）如图是导函数的图象，则下列说法错误的是（ ）
A．为函数的单调递增区间
B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极大值
D．函数在处取得极小值
【答案】BC
【分析】根据导函数函数值的正负与函数单调性的关系，以及函数极值点的定义，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】由图可知，当时，，故单调递减；当，，故单调递增；当，，故单调递减；当，，故单调递增，且，，，
则该函数在和处取得极小值；在处取得极大值.
故选：BC
12．（2023秋·广东·高二校联考期末）已知函数，则过点恰能作曲线的两条切线的充分条件可以是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】ABD
【分析】设切点坐标为，则有，所以问题转化为方程恰有两个解，令，然后利用导数求解其零点即可.
【详解】由，得，
设切点为，则切线的斜率为，
所以有，
整理可得：，
由题意可知：此方程有且恰有两个解，令，
，
，
令，则，
所以在上单调递增，因为，
所以当时，；当时，，
①当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要或，即或；
②当，即时，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
所以只要，即，而；
③当，即时，
当时，，则函数单调递增，
当时，，则函数单调递减，
当时，，则函数单调递增，
当时，，
所以只要或，由可得：，
由得；
④当时，，所以函数在上单调递增，所以函数至多有一个零点，不合题意；
综上：当时，；
当时，或；
当时，或，
所以选项正确，正确，错误，正确，
故选：.
【点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行： (1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系． (2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数． (3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题． (4)考查数形结合思想的应用．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2022春·广东东莞·高二统考期末）计算：___________.（用数字作答）
【答案】65
【分析】根据排列数、组合数的运算法则，计算即可得答案.
【详解】因为，
所以.
故答案为：65
14．（2023秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）函数的图象在处的切线方程为，则______.
【答案】
【分析】利用导数和斜率的关系列方程，由此求得的值.
【详解】依题意，由于函数的图象在处的切线方程为，直线的斜率为，所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查根据切线方程求参数，属于基础题.
15．（2022秋·广东深圳·高二统考开学考试）某车队有6辆车，现要调出4辆按一定的顺序出去执行任务，要求甲、乙两车必须参加，且甲车要先于乙车开出，则共有__________种不同的调度方法.（用数字填写答案）
【答案】72
【解析】分3种情况讨论，甲车排第1号，乙车可排2、3、4号；当甲车排第2号，乙车可排3、4号；当甲车排第3号，乙车只可排4号；根据分类计数加法和分步计数乘法原理得到结果．
【详解】当甲车排第1号，乙车可排2、3、4号，有3种选择；
当甲车排第2号，乙车可排3、4号，有2种选择；
当甲车排第3号，乙车只可排4号，只有1种选择；
除甲、乙两车外，在其余4辆车中任意选取2辆按顺序排列，有种选法；
因此共有：（3+2+1）＝72种不同的调度方案．
故答案为：72
【点睛】本题考查分类计数和分步计数，是一个计数原理的综合应用，对于复杂一点的计数问题，有时分类以后，每类方法并不都是一步完成的，必须在分类后又分步．
16．（2023·广东梅州·高二梅州市梅县区南口中学校考阶段练习）已知函数，则的最小值是_____________．
【解析】
．
令，得，即在区间内单调递增；
令，得，即在区间内单调递减．
则．
故答案为：.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（2022春·湖南怀化·高二沅陵县第一中学校考阶段练习）若．
(1)求的值；
(2)求的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)对二项式进行赋值即可求解；
(2)先观察式子特征，注意到可进行平方变形，然后根据时的值来计算最终结果.
【详解】（1）∵，
令，可得，
令，可得，
∴．
（2）∵，
令，可得①，
令，可得②，
结合①②可得，
．
18．（2022春·河北·高二河北省文安县第一中学校考期末）中国古代中的“礼、乐、射、御、书、数”合称“六艺”．某校国学社团开展“六艺”课程讲座活动，每艺安排一节，连排六节．
(1)若“射”和“乐”两门课程相邻，且它们都与“数”不相邻，求不同的排课顺序有多少种；
(2)若“射”不排在第一节，“数”不排在第四节，求不同的排课顺序有多少种．
【答案】(1)144
(2)504
【分析】（1）利用捆绑法和插空法，将“射”和“乐”两门课程捆绑，看作一个元素将之与“数”分别插入另外3个元素隔开的空档中，由此计算即可得出答案；
（2）根据题意，分两种情况讨论：“射”排在第四节；“射”不排在第四节，由加法原理计算可得答案．
【详解】（1）将“射”和“乐”两门课程捆绑，内部先全排，有种，然后“礼”“御”“书”全排排，有种，此时有四个空挡，最后将捆绑的课程与“数”插入空挡中，有种，
则不同的排课顺序有种．
（2）若“射”排在第四节，则有种不同的排课顺序；
若“射”不排在第四节，则有种不同的排课顺序．
由加法原理得，共有种不同的排课顺序．
19．（2023秋·广东清远·高二统考期末）设等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式．
(2)令，数列的前n项和为．证明：．
【答案】(1)
(2)证明见解析
【分析】（1）由等差数列通项公式和求和公式列出方程组，求出首项和公差，得到通项公式；
（2）化简得到，裂项相消法求和，证明出结论.
【详解】（1）设等差数列的公差为d，
则，
解得，因此；
（2）证明：因为，
所以，
所以.
20．（2022秋·广东广州·高二广州市禺山高级中学校考阶段练习）已知数列的前项和为，，数列是以1为公差的等差数列．
(1)求数列的通项公式；
(2)求数列的前项和．
【答案】(1)；
(2).
【分析】（1）根据等差数列的通项公式，结合与之间的关系进行求解即可；
（2）利用错位相减法进行求解即可.
【详解】（1））∵数列是以1为公差的等差数列，且，
∴，
∴，
当时，．
当时，上式也成立．∴；
（2）
∴①
∴②
①-②得：
，
，
，
∴.
21．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）已知函数.
(1)求曲线的斜率等于的切线方程；
(2)设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）求得得导数，设切点，可得切线斜率，解方程得，进而得切线方程；
（2）求得切线的斜率和方程，分别令，，求得切线的横纵截距，可得三角形面积考虑的情况，求得导数和单调区间和极值，然后得最值.
（1）
解：因为，所以，
设切点为，则，即，所以切点为，
由点斜式可得切线方程为，即；
（2）
解：因为在点处的切线方程为，
令，得，令，得，所以，
所以，
，，所以在上递增，在上递减，
所以时，取得极大值，也是最大值为.
22．（2022秋·广东东莞·高二统考期末）已知函数．
(1)讨论的单调性；
(2)设函数，若对任意的，恒成立（，分别是，的导函数），求实数a的取值范围．
【答案】(1)答案见解析；
(2)．
【分析】（1）求出导函数，分类讨论确定的正负，得单调性；
（2）时不等式成立，时，不等式变形为，然后引入函数，证明时，，从而得，由此可得的范围．
【详解】（1）的定义域是，
，
时，时，，时，，
的减区间是，增区间是；
时，由得或，
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
时，，恒成立，的增区间是，无减区间；
时，，或时，，时，，
的增区间是和，减区间是；
综上所述，时，在区间上是减函数，在区间上是增函数；时，在区间和上是增函数，在区间上是减函数；时，在区间上是增函数；时，在区间和上是增函数，在区间是减函数；
（2），
，即，，
时，此不等式成立，
时，不等式变形为，
设，则，
令，则，时，，即，所以单调递增，所以，即，
所以单调递增，所以时，，
所以时，，，∴，
所以，．
【点睛】方法点睛：不等式恒成立求参数范围问题的两种思路：一是用分离参数法，转化为求新函数的最值，从而得出参数范围，二是直接求函数的最值，由这个最值满足的不等关系求得参数范围．