河南省焦作市2023-2024学年高三上学期期末第一次模拟考试数学试题

这是一份河南省焦作市2023-2024学年高三上学期期末第一次模拟考试数学试题，共12页。试卷主要包含了“”是“”的，已知函数，则等内容，欢迎下载使用。

考生注意：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、考生号填写在试卷和答题卡上，并将考生号条形码粘贴在答题卡．上的指定位置．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则（ ）
A．B．C．D．
2．已知复数满足，则的虚部为（ ）
A．5B．C．D．
3．若圆与轴相切，则（ ）
A．1B．C．2D．4
4．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
5．已知所在平面内一点满足，则的面积是的面积的（ ）
A．5倍B．4倍C．3倍D．2倍
6．小明将1，4，0，3，2，2这六个数字的一种排列设敒为自己的六位数字的银行卡密码，若两个2之间只有一个数字，且1与4相邻，则可以设置的密码种数为（ ）
A．48B．32C．24D．16
7．已知函数有两个极值点p，q，若，则（ ）
A．B．C．D．
8．已知双曲线的右焦点为，过且与一条渐近线平行的直线与的右支及另一条渐近线分别交于B，D两点，若，则的渐近线方程为（ ）
A．B．C．D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知函数，则（ ）
A．为的一个周期B．的图象关于直线对称
C．为偶函数D．在上单调递增
10．已知正三棱台中，的面积为，的面积为，，棱的中点为，则（ ）
A．该三棱台的侧面积为30B．该三棱台的高为
C．平面D．二面角的余弦值为
11．甲是某公司的技术研发人员，他所在的小组负责某个项目，该项目由A，B，C三个工序组成，甲只负责其中一个工序，且甲负责工序A，B，C的概率分别为0.5，0.3，0.2，当他负责工序A，B，C时，该项目达标的概率分别为0.6，0.8，0.7，则下列结论正确的是（ ）
A．该项目达标的概率为0.68
B．若甲不负责工序C，则该项目达标的概率为0.54
C．若该项目达标，则甲负责工序A的概率为
D．若该项目未达标，则甲负责工序A的概率为
12．已知抛物线的准线，直线与抛物线交于M，N两点，为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．若，则以为直径的圆与相交
B．若，则为坐标原点）
C．过点M，N分别作抛物线的切线，，若，交于点，则
D．若，则点到直线的距离大于等于
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知圆锥的底面半径为1，体积为，则该圆锥的侧面展开图对应的扇形的圆心角为_________．
14．已知数列中，，且，则的前12项和为_________．
15．已知正实数m，n满足，则的最大值为_________．
16．若函数在上没有零点，则实数的取值范围为_________．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
已知中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．
（I）证明：；
（II）若，求的值．
18．（12分）
如图所示，在三棱锥中，，，．
（I）求证：平面平面；
（II）若，求直线与平面所成角的正弦值．
19．（12分）
已知数列中，，．
（I）求的通项公式；
（II）若，求数列的前n项和．
20．（12分）
为了验证某种新能源汽车电池的安全性，小王在实验室中进行了次试验，假设小王每次试验成功的概率为，且每次试验相互独立．
（I）若小王某天进行了4次试验，且，求小王这一天试验成功次数的分布列以及期望；
（II）若恰好成功2次后停止试验，，以表示停止试验时试验的总次数，求．（结果用含有的式子表示）
21．（12分）
（I）求函数的极值；
（II）若，证明：当时，．
22．（12分）
已知椭圆的离心率为，直线过的上顶点与右顶点且与圆相切．
（I）求的方程．
（II）过上一点作圆的两条切线，（均不与坐标轴垂直），，与的另一个交点分别为，．证明：
（i）直线，的斜率之积为定值；
（ii）．
焦作市普通高中2023—2024学年高三第一次模拟考试
数学·答案
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．
1．答案A
命题意图本题考查集合的表示、集合的运算．
解析依题意，，，所以．
2．答案B
命题意图本题考查复数的基本运算．
解析，虚部为．
3．答案D
命题意图本题考查圆的方程与性质．
解析因为圆与轴相切，所以且，解得．
4．答案B
命题意图本题考查三角恒等变换、充要条件的判定．
解析，显然，则，解得或．
5．答案A
命题意图本题考查平面向量的线性运算．
解析设的中点为，因为，所以，所以点是线段的五等分点，所以的面积是的面积的5倍．
6．答案C
命题意图本题考查排列组合．
解析1与4相邻，共有种排法，两个2之间插入1个数，共有种排法，再把组合好的数全排列，共有种排法，则总共有种密码．
7．答案D
命题意图本题考查导数的运算、指数的运算．
解析依题意，，则即显然，，故，则，代入中，解得，则．
8．答案C
命题意图本题考查双曲线的方程与性质．
解析易知的渐近线方程为，不妨设直线，联立方程得得，，则．而，故，代入中，得，则，故所求的渐近线方程为．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．每小题全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．答案AB
命题意图本题考查三角函数的图象与性质．
解析依题意，的最小正周期，则为的一个周期，故A正确；，故B正确；，不是偶函数，故C错误；在上单调递减，故D错误．
10．答案BCD
命题意图本题考查三棱台的结构特征．
解析对于A，根据条件可得，，所以等腰梯形的高为，面积为，所以该三棱台的侧面积为，故A错误；
对于B，设的中心为，的中心为，可知是直角梯形，，，，故B正确；
对于C，分别延长棱，，交于点，易知为等边三角形，四面体为正四面体，恰好为的中心，所以平面，故C正确；
对于，二面角即正四面体相邻侧面的夹角，由正四面体的性质可知其余弦值为，故D正确．
11．答案ACD
命题意图本题考查条件概率、全概率公式．
解析记甲负责工序A为事件，甲负责工序B为事件，甲负责工序C为事件，该项目达标为事件．对于A，该项目达标的概率为，故A正确；
对于B，，故B错误；对于C，，故C正确；
对于D，，故D正确．
12．答案BCD
命题意图本题考查抛物线的方程、抛物线的性质、直线与抛物线的综合性问题．
解析由题可得抛物线，设，．
对于A，直线过的焦点，则以为直径的圆与相切，故A错误；
对于B，直线，将代入，得，则，故，故B正确；
对于C，抛物线在点处的切线方程为，抛物线在点处的切线方程为，联立两式，解得，故，故C正确；
对于D，由抛物线的对称性进行临界分析，可知当轴时，点到直线的距离最小，此时，点到直线的距离为，故正确．
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．答案
命题意图本题考查空间几何体的结构特征．
解析设圆锥（如图所示）的高为．因为，所以，母线．将圆锥沿展开所得扇形的弧长为，则扇形的圆心角为．
14．答案
命题意图本题考查数列的周期性、分组求和．
解析依题意，故，所以，，，…，故的前12项和为．
15．答案2
命题意图本题考查基本不等式及其应用．
解析依题意得，则，当且仅当时等号成立，则，解得，则的最大值为2．
16．答案
命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．
解析令，显然，则，令，，则，令，得，，易知函数在和上单调递增，在和上单调递减，且极大值为，极小值为．由图象可知，当时，直线与曲线没有交点，即在上没有零点．
四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．命题意图本题考查正余弦定理及其应用、三角恒等变换．
解析（I）由正弦定理及条件可得，
由余弦定理可得，化简得．
（II）由得，
化简得，又，故，
所以，故．
18．命题意图本题考查空间面面的位置关系，向量法求空间角．
解析（I）因为，所以，
同理可得，故，
因为，所以平面，
因为平面，故平面平面．
（II）以C为坐标原点，，所在直线分别为轴、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，．
设为平面的法向量，
则即令，得．
设直线与平面所成的角为，
则，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
19．命题意图本题考查等差数列的定义、通项公式、裂项相消法求和．
解析（I）由，可得，
故数列是以1为首项，为公差的等差数列，
故，则．
（II）由（I）可知，
故．
20．命题意图本题考查二项分布、相互独立事件的概率、互斥事件的概率．
解析（I）依题意，，
则，，
，
，
故的分布列为：
故．
（II）方法一：设“停止试验时试验总次数不大于”，
则，
“次试验中，成功了0次或1次”，
“次试验中，成功了0次”的概率；
“次试验中，成功了1次”的概率．
所以．
方法二：事件“”表示前次试验只成功了1次，且第次试验成功，
故，
所以，
利用错位相减法可得该式的结果为．
21．命题意图本题考查利用导数研究函数的性质．
解析（I）依题意，，令，解得，
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
而，故的极小值为0，无极大值．
（II）由（I）可知，当时，，则．
令，
则，易知在上单调递增．
因为，所以，，
故，使得，即①．
当时，，单调递减，当时，，单调递增，
故②．
由①可得，
代入②，得，
而，故，故，即原命题得证．
22．命题意图本题考查椭圆的方程、直线与椭圆的综合性问题．
解析（I）设椭圆的半焦距为．依题意，离心率，则，①．
直线，即，由题可知②．
联立①②，解得，，故的方程为．
（II）（i）设过点且与圆相切的直线的方程为，
则，整理得，
记直线，的斜率分别为，，则，为定值．
（ii）由（i）的过程可知直线，联立方程得
则有，故．
直线，同理可得．
故
，
则．
X
0
1
2
3
4
P