山东省济宁市泗水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份山东省济宁市泗水县2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图所示几何体的俯视图是（ ）
A．B．
C．D．
2．下列说法中正确的是（ ）
A．“三角形的内角和是180°”是随机事件
B．“任意两个等边三角形是相似三角形”是必然事件
C．“概率为 0.000001的事件”是不可能事件
D．任意掷一枚质地均匀的硬币 10次，正面向上的次数一定是 5次
3．若是方程的一个根，则此方程的另一个根是( )
A．-1B．0C．1D．2
4．在直角坐标系中，把抛物线向左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，得到抛物线（ ）
A． B． C． D．
5．在4 张完全相同的卡片上分别画上图①、②、③、④，在看不见图形的情况下随机抽取一张，卡片上的图形不是中心对称图形的概率是（ ）
A．B．C．D．1
6．西周时期，丞相周公旦设计过一种通过测定日影长度来确定节气的仪器，称为圭表，如图所示的是一个根据石家庄市的地理位置设计的圭表，其中，立柱根部与圭表的冬至线之间的距离（即的长）为．已知，冬至时石家庄市的正午日光入射角约为，则光线长约为（ ）

A．B．C．D．
7．如图，是的直径，弦于E，若则长为（ ）
A．B．6C．D．2
8．二次函数的图象如图所示，则反比例函数与一次函数在同一坐标系内的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，正五边形 的边长为 ，以为边作等边，以A为圆心，长度 为半径画，则图中阴影部分的面积为（ ）
A．B．C．D．
10．如图，边长为的小正方形网格中，点在格点上，连接，点在上且满足，则的值是（ ）
A．B．C．D．
11．如图，已知关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，则k的值可能是（ ）
A．B．C．D．
12．如图，在平面直角坐标系中，将等边绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，再将绕点旋转，得到，⋯⋯，按此规律进行下去，若点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
13．关于x的一元二次方程有实数根，则的取值范围是 ．
14．如图，点A是反比例函数的图象上一点，过点A 向y轴作垂线，垂足为点B，点C、D在x轴上，且，则四边形的面积为 ．
15．如图，在中，点D，E分别在边、上，请你补充一个条件 （写出一个即可），使．
16．某几何体的三视图如图所示，根据图中数据可得，该几何体的侧面积为 ．

17．如图是一张矩形纸片，点E 在边上，把沿直线对折，使点B落在对角线上的点F处，连接，若点 D、E、F在同一条直线上，则的值是 ．

18．如图，抛物线与轴交于点，与轴交于、，点关于抛物线对称轴的对称点为点，点在轴上，点 在以点为圆心，半径为的圆上，则的最小值是 ．
三、解答题
19．（1）计算：；
（2）解方程：．
20．为弘扬中华优秀传统文化，某校开展“经典诵读”比赛活动，诵读材料有《论语》、《大学》、《中庸》、《孟子》(依次用字母A、B、C、D表示这四个材料)，将A、B、C、D 分别写在4 张完全相同的不透明卡片的正面上，背面朝上洗匀后放在桌面上．
(1)若小明从A、B、C、D 4 张卡片中随机选 1 张，则所选的诵读材料是《论语》的概率是______；
(2)若小明先从A，B，C，D 4 张卡片中随机抽取一张卡片，记下内容后放回，洗匀后，再由小亮从中随机抽取一张卡片，请用列表或树状图的方法求他俩抽到两个相同诵读材料的概率．
21．如图1所示是一种太阳能路灯，它由灯杆和灯管支架两部分构成．如图2，是灯杆，是灯管支架，灯管支架与灯杆间的夹角．综合实践小组的同学想知道灯管支架的长度，他们在地面的点处测得灯管支架底部的仰角为，在点处测得灯管支架顶部的仰角为，测得，（在同一条直线上）．请解答下列问题：
(1)求灯管支架底部距地面高度的长（结果保留根号）；
(2)求灯管支架的长度（结果精确到，参考数据：）．
22．某超市以每件元的价格购进一种商品，销售时该商品的销售单价不低于进价且不高于元，经过市场调查发现，该商品每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间满足一次函数关系．设该超市这种商品每天的销售利润为w元，求此商品销售单价定为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少元？
23．如图，是的直径，是的弦，，垂足是点，过点作直线分别与，的延长线交于点，，且．
(1)求证：是的切线；
(2)如果，，求的长．
24．通过构造恰当的图形，可以对线段长度、图形面积大小等进行比较，直观地得到一些不等关系或最值，这是“数形结合”思想的典型应用．

【探究发现】
（1）如图1，，垂足分别为C、D，点E 是的中点，连接，已知，．
①分别求出线段、的长（用含 a、b的代数式表示）；
②比较大小：______（填“”），用含 a、b的代数式表示该大小关系为_______．
【类比应用】
（2）如图2，在平面直角坐标系 中，点 M、N在反比例函数 的图象上，横坐标分别为 m、n．设记．
①当，时，_______；当，时，_______；
②通过归纳猜想，可得 l的最小值是_______．
25．如图，抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，连接、．
(1)求抛物线的表达式；
(2)将沿所在直线翻折，得到，点B的对应点为D，求点D的坐标；
(3)点P是抛物线上的一动点，当时，求点P的坐标．
参考答案：
1．B
【分析】本题考查三视图的知识，从正面看到的图是正视图，从上面看到的图形是俯视图，从左面看到的图形是左视图．
从上面看到的是一行三个正方形，据此解答即可．
【详解】解：如图所示几何体的俯视图是
故选：B．
2．B
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．
根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型．
【详解】解：A. “三角形的内角和是180°”是必然事件，原说法错误，故此选项不符合题意；
B. “任意两个等边三角形是相似三角形”是必然事件，原说法正确，故此选项符合题意；
C. “概率为 0.000001的事件”是随机事件，原说法错误，故此选项不符合题意；
D. 任意掷一枚质地均匀的硬币 10次，正面向上的次数可能是 5次，原说法错误，故此选项不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】根据一元二次方程根与系数的关系，设另一个根为，根据，即可求解．
【详解】解：设另一个根为，依题意，，
∴，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
4．D
【分析】根据二次函数图象平移的规律：“左加右减，上加下减”，即可得到答案
【详解】解：∵抛物线的顶点坐标为：
∴把点左平移 2 个单位长度，向下平移 1 个单位长度，得到，
即：平移后的抛物线的解析式为：，
故选D
【点睛】本题主要考查二次函数图象的平移规律，掌握二次函数图象平移规律，是解题的关键
5．A
【分析】本题考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．也考查了中心对称图形．
先根据中心对称图形的性质得到圆和菱形是中心对称图形，然后根据概率公式求解．
【详解】解：图③不是中心对称图形，
∴共4种等可能结果，其中符合题意的情况有1种，
∴抽取的卡片不是中心对称图形的概率为，
故选：A．
6．B
【分析】根据∠的余弦函数求解即可．
【详解】解：在中，，，，
∵，
∴，
故选：B．
【点睛】此题考查了三角函数的应用，掌握所求边长与角的三角函数关系及三角函数的计算公式是解题的关键．
7．C
【分析】本题主要考查垂径定理和圆周角定理，根据垂径定理和圆周角定理，可得，进而可得：，即可求解．
【详解】解：连接，如图，
∵是的直径，弦于E，
∴，
∴，
在中，，
∴，
故答案是：C．
8．C
【分析】根据二次函数图象与系数的关系，由抛物线对称轴的位置确定，，由抛物线与y轴的交点位置确定，然后利用排除法即可得出正确答案．
【详解】解：∵二次函数的图象开口向下，
∴，
∵二次函数的图象的对称轴在y轴的右侧，且交y轴的正半轴，
∴，，
∴反比例函数的图象必在一、三象限，
一次函数的图象必经过一、二、四象限，故选项C符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
9．B
【分析】本题主要考查了求扇形面积，正多边形的性质，等边三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．
根据正五边形的性质可得，再由等边三角形的性质可得，从而得到，再由扇形面积公式计算，即可求解．
【详解】解：在正五边形中，，
∵是等边三角形，
∴，
∴，
∴图中阴影部分的面积为．
故选：B．
10．D
【分析】证明在以为圆心，为半径的同圆上，把求转化为求．
【详解】以为圆心，为半径作，连接．
在格点上．
在上
又的直径是
点在上
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、解直角三角形、四点共圆及三角函数的应用，解题的关键在于连接，证明点在以为圆心，为半径的同圆上．
11．C
【分析】先确定方程两根的范围，然后再确定抛物线的对称轴，最后根据抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称即可解答．
【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两根在数轴上对应的点分别在区域①和区域②，区域均含端点，
∴一个根 ，另一个根，
∵抛物线的对称轴是直线，
∴抛物线与x轴的两个交点关于对称轴对称，
∴k的值可能为1．
故选：C．
【点睛】本题主要考查了二次函数图像与一元二次方程的关系，掌握二次函数图像与x轴的交点关于对称轴对称是解答本题的关键．
12．A
【分析】根据题意先求得的坐标，进而求得的坐标，发现规律，即可求得的坐标．
【详解】解：∵是等边三角形，，将等边绕点旋转，得到，
∴
，
则
同理可得，
……，
即
故选A
【点睛】本题考查了等边三角形的性质，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，坐标与图形，找到规律是解题的关键．
13．且
【分析】根据方程根的情况可以判定其根的判别式的取值范围，进而可以得到关于的不等式，解不等式即可，同时还应注意二次项系数不能为0．
【详解】由题意可知：，
∴，
∵，
∴且，
故答案为：且．
【点睛】考查了一元二次方程根的判别式，解题关键是了解根的判别式如何决定一元二次方程根的情况．
14．2
【分析】本题主要考查反比例函数k的几何意义，如图，过点A作轴于点E，易证四边形是矩形，根据反比例函数系数k的几何意义可得，然后证明四边形是平行四边形，根据平行四边形面积的求法计算即可．
【详解】解：过点A作轴，垂足为E，
∵A是反比例函数的图象上一点，
∴，
∵轴，轴，
∴，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
故答案为：2．
15．（答案不唯一）
【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟知相似三角形的判定定理是解答此题的关键．根据两个角相等的三角形相似，添加条件即可．
【详解】解：要使则需要添加一个条件是即可，证明如下：
在与中，
，
．
16．
【分析】根据三视图可得出该几何体为圆锥，再运用勾股定理求得母线l的长度，然后根据根据扇形面（其中l=母线，是圆锥的顶点到圆锥的底面圆周之间的距离）计算即可．
【详解】解：由题意可知，该几何体是圆锥，其中底面半径为2，
母线长为：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的知识点是几何体的三视图、圆锥的侧表面积公式等知识点，熟记圆锥的侧面积公式是解本题的关键．
17．/
【分析】本题主要考查了矩形的性质，翻折的性质，相似三角形的判定与性质，说明是解题的关键．根据折叠和平行线的性质说明，设，则，再根据，得，代入解方程可得答案．
【详解】解：把沿直线对折，使点落在对角线上的点处，
，，
，
，
，
，
设，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：
18．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点，函数图象上点的坐标特征、点的对称性等，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，即可求解，利用轴对称确定最短路线是解题的关键．
【详解】对于，令，则，令 ，解得或，
故点、、的坐标分别为、、，
函数的对称轴为，则点，过点作轴的对称点，连接交轴于点，交圆于点，则点、为所求点，
∵点、关于轴对称, 则，则为最小，则 最小，
故答案为：．
19．（1）；（2），．
【分析】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值，零指数幂的运算法则，二次根式的性质及因式分解法解一元二次方程是解题关键．
（1）先代入特殊角的三角函数值，化简零指数幂，二次根式，然后再计算；
（2）利用因式分解法解一元二次方程．
【详解】解：（1）原式
；
（2）解：
或
解得：，．
20．(1)；
(2)．
【分析】本题考查了利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件的结果数目，然后利用概率公式计算事件的概率．用列表法或树状图法展示等可能的所有事件是关键．
（1）所有等可能事件共有四种，小明从中选取《论语》这一种的概率为．
（2）本题可采用列表法（也可以用画树状图法）．列表时可用横向表示小明，纵向表示小亮，所有等可能事件的总数是（种），两人抽取到相同诵读材料的事件有4种，从而可求得结果．
【详解】（1）小明随机抽到诵读材料是《论语》的概率是：．
（2）小明与小亮先后抽取卡片的情况列表如下：
一共有16种等可能的情况，其中符合题意的情况共有四种，
∴他俩抽到两个相同诵读材料的概率是：．
21．(1)
(2)
【分析】（1）在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解；
（2）如图所示，延长交于点，可得是等边三角形，再计算出的长度，在中，根据特殊三角函数值的计算方法即可求解．
【详解】（1）解：在中，，，
，
∴灯管支架底部距地面高度的长为．
（2）解：如图所示，延长交于点，
，，
∴，
，
，
是等边三角形，
，
，，
，
在中，， ，
∴灯管支架的长度约为．
【点睛】本题主要考查解直角三角形的实际运用、等边三角形的判定与性质，掌握仰俯角求直角三角形，特殊三角函数值求边长是解题的关键．
22．销售单价定为元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是元．
【分析】本题考查了二次函数的实际应用，掌握二次函数的图象和性质是解题关键．
根据利润=单价利润×销售量，再根据二次函数的性质计算求值即可．
【详解】解：
∵，
∴抛物线开口向下，
∴当时，w随x的增大而增大，
∵，
∴当时，w有最大值，
（元），
答：销售单价定为元时，该超市每天销售这种商品所获利润最大，最大利润是元．
23．(1)证明见解析
(2)
【分析】（1）连接，，利用圆周角定理，垂径定理，同圆的半径线段，等腰三角形的性质和圆的切线的判定定理解答即可；
（2）利用勾股定理在中求出，同理求出，，利用切线的性质及勾股定理建立等式解答即可．
【详解】（1）证明：连接、，如图所示：
是的直径，
，，
，
平分弦，平分，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
半径，
是的切线；
（2）解：，，
在（1）的结论中有，，
在中，，则，
在中，，
在中，，则，
，
在中，，
是的切线，
，
在中，，
，解得，
．
【点睛】本题主要考查了圆的切线的判定，圆周角定理，垂径定理，勾股定理，解题的关键是连接经过切点的半径是解决此类问题常添加的辅助线．
24．（1）①,；②＞，；（2）①1，；②1．
【分析】（1）①根据垂直定义得到，根据余角性质得到，得到，得到，根据, 得到 ；根据直角三角形斜边上中线性质得到；②根据直角三角形边的性质得到 ；
（2）①根据得到，，根据，，得到；根据，，得到；②归纳①的结论，得到，得到l有最小值1．
本题主要考查了相似三角形，反比例函数综合．熟练掌握反比例函数的性质，相似三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质及边的关系，是解决问题的关键．
【详解】（1）①∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵, , ,
∴ ，
∵点E 是的中点，
∴,
∴；
②∵，
∴ ；
故答案为：>，；
（2）①∵，
∴，
∴，
当，时，；
当，时，；
故答案为：1，；
②由①知，当时，,
当，时， ，
∴，
∴l有最小值1．
故答案为：1．
25．(1)抛物线的表达式为
(2)
(3)点P的坐标为或
【分析】（1）采用待定系数法即可求解；
（2）过点D作轴于点E，证明，再证明，即可得点D，C，B三点在一条直线上．由轴对称的性质得：，，根据，可得，问题得解；
（3）①当点P在上方时，根据，可得，则有点C，P的纵坐标相等，可知点P的纵坐标为4，即坐标可求；②当点P在下方时，设交x轴于点H，根据，可设，在中，根据，可得，可得．设直线的解析式为，利用待定系数法可得．联立，问题得解．
【详解】（1）∵抛物线与x轴交于、两点，与y轴交于点，
∴，解得：．
∴抛物线的表达式为；
（2）将沿所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，如图，
过点D作轴于点E，
∵、，，
∴，，，即，
∵，，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，
∵将沿所在直线折叠，得到，点B的对应点为D，
∴点D，C，B三点在一条直线上．
由轴对称的性质得：，，
∵，，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（3）①当点P在上方时，如图，
∵，
∴，
∴点C，P的纵坐标相等，
∴点P的纵坐标为4，
令，则，
解得：（舍）或，
∴P；
②当点P在下方时，如图，
设交x轴于点H，
∵，
∴．
设，
∴，
在中，
∵，
∴，
解得：，
∴，
∴．
设直线的解析式为，
∴，
解得：．
∴．
∴，
解得：（舍），，
∴P．
综上：点P的坐标为或．
【点睛】本题考查了二次函数的综合题目，涉及待定系数法求二次函数解析式，勾股定理的逆定理，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，求一次函数的解析式，等腰三角形的性质等知识，熟练掌握知识点并能够灵活运用是解题的关键．