海南省儋州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份海南省儋州市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
2．当时，二次根式的值为（ ）
A．B．2C．D．
3．方程的解是（ ）
A．B．C．，，D．，
4．如图，的顶点的坐标分别为，，，将关于轴对称得到，则的坐标为（ ）
A．B．C．D．
5．在课后服务的乒乓球兴趣课上，老师将从小亮、小莹和小李3人中选2人进行乒乓球对决，恰好选中小莹和小李的概率为（ ）
A．B．C．D．
6．如图，两点被池塘隔开，在外取一点，连结，在上取点，使，作交于点，量得，则的长为（ ）
A．B．C．D．
7．海口江东新区设立于2018年6月，是海南自贸港11个重点园区之一．随着各项重点项目建设加快推进，海口江东新区面貌日新月异，其中新区税收从2019年的7亿元增长到2021年的45亿元，若设每年的年平均增长率为，则可列方程（ ）
A．B．C．D．
8．如图，河坝横断面迎水坡的坡比（即），则（ ）
A．B．C．D．
9．如图，在菱形ABCD中，E为CD上一点，连接AE、BD，交于点O，若S△AOB：S△DOE＝25：9，则CE：BC等于（ ）
A．2：5B．3：5C．16：25D．9：25
10．如图，正方形中，边长为4，为的中点，为正方形内部一点，连结、，若平分且，则的长为（ ）
A．B．C．D．2
二、填空题
11．计算： ．
12．已知是方程的一个根，则的值为 ．
13．如图，在中，，，分别以点A和点为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于两点，作直线，交边于点，连结，若，则的长为 ；
14．如图，是正方形的对角线的交点，分别为边上的点，且，则 度；若，则 ．
三、解答题
15．（1）计算：
（2）计算：
（3）解方程：
16．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求的取值范围；
(2)若方程的两个实数根互为倒数，求的值．
17．某校2024年元旦晚会上，九年级共有20名同学参加志愿者的工作，其中男生15人，女生5人．
(1)若从这20人中随机选取一人作为联络员，则选到女生的概率为 ；
(2)若某项志愿工作只在甲、乙两人选一人，他们准备以游戏的方式决定由谁参加，游戏规则如下：将3张牌面数字分别为1、2、3的扑克牌洗匀后，数字朝下放于桌面，甲从中任取1张，记录后放回，乙再从中任取1张，若牌面数字之和为偶数，则甲参加，否则乙参加，试问这个游戏公平吗？请用树状图或列表法说明理由．
18．如图，在中，过点作于点，连结为线段上一点，且．
(1)求证：；
(2)若，，，求的长．
19．如图，是南北方向的海岸线，码头A与灯塔相距24千米，海岛位于码头A北偏东方向上．一艘勘测船从海岛沿北偏西方向往灯塔行驶，沿线勘测石油资源，勘测发现位于码头A北偏东方向的处石油资源丰富．
(1)填空：_____度，______度；
(2)求码头A到处的距离（结果保留根号）；
(3)若规划修建从处到海岸线的输油管道，则输油管道的最短长度是多少千米？（结果保留根号）
20．如图，在矩形中，对角线相交于点，是边上的点，连结，交于点，过点作于点，交于点．
(1)求证：；
(2)当恰好平分时，
①判断的形状，并说明理由；
②求证：；
③记的面积为，的面积为，当时，求的值．
参考答案：
1．C
【分析】本题考查的是最简二次根式，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式．
根据最简二次根式的定义进行逐项判断即可
【详解】解：A、，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、是最简二次根式，故此选项符合题意；
D、，故此选项不符合题意；
故选：C．
2．B
【分析】本题主要考查了二次根式的基本性质及化简，二次根式的定义，把代入原式化简即可．
【详解】解：当时，原式，
故选：B．
3．D
【分析】本题考查用因式分解法求解一元二次方程．
直接用因式分解法求解即可．
【详解】解：
或
∴，，
故选：D．
4．B
【分析】本题考查坐标变换—轴对称．熟练掌握关于x轴对称点的坐标变换规律：横坐标不变，纵坐标互为相反数是解题的关键．
根据关于x轴对称点的坐标变换规律得出答案即可．
【详解】解：∵关于轴对称得到，
∴的坐标为
故选：B．
5．A
【分析】本题考查用树状图法或列表法求概率．
利用树状图表示出所有可能的结果和恰好选中小莹和小李的结果，进而利用概率公式求出即可．
【详解】解：画树状图如图：

由图可知，所有可能的结果共有6种，恰好选中小莹和小李的结果有2种，
∴恰好选中小莹和小李的概率为．
故选：A．
6．D
【分析】本题考查了相似三角形的应用，主要利用了相似三角形的判定与相似三角形对应边成比例的性质．
先由，得出，再根据相似三角形对应边成比例计算即可得解．
【详解】解：∵，
，
，
∵
，
故选：D．
7．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意并列出方程是解决本题的关键．先表示2021年的税收为亿元，再建立方程即可．
【详解】解：设每年的年平均增长率为，则
，
故选：C．
8．D
【分析】本题考查的是解直角三角形的应用-坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比，又叫做坡比是解题的关键．
先根据坡度定义设，则，再由勾股定理求出，然后根据三角函数定义求解即可．
【详解】解：∵河坝横断面迎水坡的坡比（即），
∴设，则，
由勾股定理，得，
∴，
故选：D．
9．A
【分析】相似三角形的面积比等于相似比的平方，平行四边形的对边平行且相等，平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似.
【详解】∵四边形ABCD是菱形
∴AB=BC=CD，CD∥AB
∴△AOB∽△EOD
∴S△AOB：S△DOE=（AB）2：（DE）2=25：9
∴AB：DE=5：3
∴设AB=5a，则DE=3a
∴BC=CD=5a，EC=2a
∴EC：BC=2：5
故选A．
【点睛】考查相似三角形的判定与性质，相似三角形的面积比等于相似比的平方.
10．B
【分析】根据题意可得，从而得出，结合E为中点，即可得出是等腰三角形，过点E作，则有，即可得出，再根据锐角三角函数即可解答．
【详解】解：过点E作，如图：
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵点为的中点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵E为中点，，
∴，
∴，即，
∴，解得，
∴．
故选：B．
【点睛】本题考查正方形的性质，全等三角形的判断和性质，锐角三角形函数，勾股定理，正确作出辅助线是解题关键．
11．
【分析】根据二次根式的性质运算求值即可．
【详解】．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查二次根式的性质，熟记二次根式的性质是解题关键．
12．2027
【分析】根据方程根的定义，转化为代数式的求值解答．本题考查了方程根的定义，代数式的整体思想求值，掌握方程根的定义，活用整体思想是解题的关键．
【详解】∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2027．
13．8
【分析】由作图可知，是线段的垂直平分线，得到，解即可求解．
【详解】解：由作图可知，是线段的垂直平分线，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
由勾股定理，得．
故答案为：8．
【点睛】本题考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，勾股定理，三角函数的定义，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解题的关键．
14． 45
【分析】本题主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，在上截取，证明，可得，，再证明得从而可得证明得，结合已知可得证明设正方形的边长为，根据勾股定理求出相关线段，即可得出结论．
【详解】解：在上截取，如图，
∵
∴，
∵四边形是正方形，
∴
∴，
∴，，
∵
∴
∵
∴，
∴
∵，
∴
∵
∴
∴；
∴
又
∴
∴，
又∵
∴
设正方形的边长为，则，
∴
∵
∴，
∴
∴；
∴
又，
∴
∴,
又，
∴，
∴
∴，
∴
15．（1）；（2）；（3）
【分析】（1）运用平方差公式计算，并把特殊角的三角函数值，再按有理数四则混合运算法则计算即可；
（2）运用完全平方公式和二次根式乘法法则计算，再合并同类二次根式即可；
（3）用配方法求解即可．
【详解】解：（1）原式
；
（2）原式
；
（3），
，
，
，
，．
【点睛】本题考查实数的混合运算，解一元二次方程．熟练掌握平方差公式，完全平方公式，特殊角的三角函数值，二次根式混合运算法则，用配方法解一元二次方程是解题的关键．
16．(1)
(2)
【分析】此题考查了根的判别式以及根与系数的关系．注意二次项系数为1，常用以下关系：，是方程的两根时，，．
（1）由此方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式，即可求得答案；
（2）由此方程的两根互为倒数，可得，继而求得答案．
【详解】（1）解： 方程有两个不相等的实数根，
，
解得：；
的取值范围为：；
（2）解：方程的两个实数根互为倒数，
又，
，
．
17．(1)
(2)游戏不公平，见解析
【分析】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个人的概率，概率相等就公平，否则就不公平．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．
（1）直接利用概率公式求出即可；
（2）利用树状图表示出所有可能的结果数和牌面数字之和为偶数的结果数，进而利用概率公式求出即可．
【详解】（1）解：共20名志愿者，女生5人，
选到女生的概率是：；
（2）解：不公平，
根据题意画树状图如图：
由图可知，所有可能的结果共有9种情况，和为偶数的情况有5种，
牌面数字之和为偶数的概率是，
甲参加的概率是，乙参加的概率是，
∵，
这个游戏不公平．
18．(1)见解析
(2)
【分析】本题考查相似三角形的判定和性质：
（1）根据平行四边形的性质和相似三角形的判定解答即可；
（2）根据相似三角形的性质和勾股定理解答即可．
【详解】（1）证明：如图，
在中，，，
，，
又，且 ，
，
；
（2）解： ，
即，
，
，
，
又，
，
在中，
19．(1)45，90
(2)千米，见解析
(3)千米，见解析
【分析】本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
（1）根据方向角，利用角的和差，三角形内角和定理，即可求解．
（2）先利用直角三角形的性质求出千米，再证明，得到千米，再由勾股定理即可求得长．
（3）过点作，垂足为，先利用勾股定理求出千米，从而求得，再在中，利用直角 三角形的性质求银即可．
【详解】（1）解：如图，
，
由题意知：
∴
∴．
（2）解：由（1）知：，
∴(千米)，
∵，，
∴
∴千米．
由勾股定理，得千米．
答：码头A到处的距离为千米．
（3）解：如图：过点作，垂足为，
由（2）知：千米，由（1）知：，，
千米，
∴千米，
千米，
在中，，
千米，
输油管道的最短长度是千米．
20．(1)见解析
(2)①是等腰三角形，见解析；②见解析；③，见解析
【分析】（1）利用矩形的性质与直角三角形的性质，证明，，即可得出结论．
（2）①证明，得出，即可得出结论；
②过点作交于点，先证明，得到，即，再证明也是等腰三角形，得到，即可得出结论．
③过点作于点 ，利用三角形的面积比得出，即可求得，再根据，利用三角函数定义即可求解．
【详解】（1）证明：如图，
在矩形中，，
，
又，
，，
，
，
．
（2）解：①是等腰三角形，理由如下：
平分，
，
又，，
，
是等腰三角形
②过点作交于点，如图，
，
，即，
，
，
是等腰三角形，
也是等腰三角形，
，
，
③过点作于点 ，
，
即，
，
令，则，
在中，，
，
又，
．
【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定、相似三角形的判定和性质、解直角 三角形，勾股定理以及三角形面积等知识，本题综合性强，熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型．