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专题04 解题技巧专训：待定系数法求二次函数的解析式-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题
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这是一份专题04 解题技巧专训：待定系数法求二次函数的解析式-2023-2024学年苏科版九年级数学下册常考压轴题，共42页。
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3473" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3473 \h 1
\l "_Tc26133" 【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc26133 \h 1
\l "_Tc28593" 【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc28593 \h 6
\l "_Tc18066" 【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc18066 \h 13
\l "_Tc8003" 【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc8003 \h 20
\l "_Tc5087" 【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc5087 \h 29
\l "_Tc13810" 【考点六已知交点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc13810 \h 33
【典型例题】
【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）已知二次函数的图象经过点．
(1)求出这个函数的表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及随的变化情况；
(3)当时，的取值范围是多少？
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．
3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．
(1)求此二次函数解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．
4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该抛物线顶点坐标．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．
6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．
7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；
(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．
【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的面积为4时，求点D的坐标；
(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是_____；
②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；
③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．
【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【变式训练】
1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.
2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
(1)求该函数的关系式；
(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)时，自变量x的取值范围为______．
(4)方程的解的情况怎样？
【考点六已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线经过点三点．
(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．
(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．参考答案
【典型例题】
【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题： (1)
(2)此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
(3)当时，的取值范围是．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）求得时的函数值，然后根据图象即可求得．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴，
，
∴这个函数的表达式为；
（2）解：列表，
描点，连线画出函数的图象如图：
由图象可知，此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大；
（3）解：把代入得，，
此函数图象的开口向上、顶点坐标为，
当时，有最小值，
当时，的取值范围是．
【点睛】此题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)3
【分析】（1）将代入表达式，进行计算求出的值即可得到解析式，再根据求顶点坐标的公式进行求解即可；
（2）由对称性可得到点的坐标，从而得到的长度，再由可得到的长度，最后根据对称性即可求出点的横坐标，代入表达式即可求出纵坐标，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入表达式，
得：，
解得：，
函数表达式为，
当时，，
顶点坐标为；
（2）解：，对称轴为直线，
由对称性可知，
，
，
∴，
点在点左侧，
由对称性可得，点的横坐标为：，
当时，，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接求出对称轴，再根据对称轴求出点A的坐标，利用待定系数法即可求出函数的表达式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数图形的性质，针对，和三种情况进行分析即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，即；
如下图所示，设对称轴交于点E，交x轴于点F，设抛物线顶点为D，
∵对称轴，，，
∴
∴
∴
将代入抛物线的解析式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，，即为点，
∵顶点为，
∴当时，，
最大值与最小值的差是不等于9，
当时，
最大值为，最小值为点，最大值于最小值相差为9，
当时，最大值大于，
此时，最大值于最小值相差不等于9，
∴当，最大值与最小值的差是9，t的取值范围为：
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴的公式和二次函数的图像性质．
【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，
如图，当时，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】把2组对应值分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）运用配方法把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
（2）解：，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．
(1)求此二次函数解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】（1）利用待定系数法，将和代入函数解析式中求解b、c即可；
（2）将点A横坐标代入（1）中解析式中判断即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴此二次函数解析式为；
（2）解：当时，，
∴点不在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知利用待定系数法求函数解析式．
4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该抛物线顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解二次函数的解析式；
（2）将二次函数的一般式化成顶点式即可求解．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点和，
∴，解得，，
∴二次函数解析式为：．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为：，
∴将其化成顶点式为：，
∴该抛物线顶点坐标为：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，顶点式的特点，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将和代入求解即可得出答案；
（2）分别令、，求出三点的坐标，从而得出、的值，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，设抛物线的解析式为
把和分别代入得
解得
抛物线的解析式为
（2）当时，
解得，
，
当时，
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是会利用点的坐标求三角形的面积．
6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把已知点代入解析式即可求得结果；
（2）求得解析式的对称轴，根据可得到点D到对称轴的距离d的范围是，进而可得到点D的横坐标取值为：，代入抛物线方程可求得纵坐标的取值．
【详解】（1）解：把点和两点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意可知，点D到对称轴的距离d的范围是，
∵点D在对称轴左侧，抛物线开口向上，y随x的增大而减小，
∴点D的横坐标取值为：，
将代入抛物线方程可得．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；
(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，或，．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求得，由平称可得：，，再根据对称性求出抛物线的解析式为，设，则，所以有，求出x，即可求解．
【详解】（1）解：把点，，代入，得
，
解得：，
∴．
（2）解：对抛物线L：，
当时，，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∵抛物线与L关于x轴对称．
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∵使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，
∴，
∴，
解得：，，
∴，或，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何变换，轴对称性质，平移性质，根据轴对称性质，求出抛物线的解析式和根据地平移性质得出，，是解题的关键．
【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)顶点坐标是
【分析】（1）将点、、代入二次函数的解析式，利用待定系数法求得这个二次函数的解析式；
（2）利用（1）的结果，将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．
【详解】（1）解：将、、代入二次函数，
得，解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵，
∴顶点坐标是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，采用了“配方法”．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当点D的坐标为时，的周长最小
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入，
得，
解得：，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：抛物线的对称轴为，
如图，连接与对称轴交于点D，
∵，，
∴B、C关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵为定值，
此时的周长取得最小值，点D即为所求；
设直线解析式为，
将A、C两点代入得，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
∴当点D的坐标为时，的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键．
2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的面积为4时，求点D的坐标；
(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为；
(3)存在点D，使得，点D的坐标为
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，
，
则，
，
点，
直线的解析式为，
的解析式为，
联立抛物线解析式，
解得：，
点D的坐标为；
（3）存在，
取点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：
，
解得：（舍去），，
点D的坐标为，
综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是_____；
②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；
③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③存在，
【分析】(1)设抛物线解析式为，分别代入点、、计算即可．
（2）①当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，确定取值范围即可．
②根据确定对称轴为．记，分两种情况计算即可．
③根据函数的增减性计算．
【详解】（1）设抛物线解析式为，分别代入点、、得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）①如图，当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，
故函数值取值范围为．
故答案为：．
②∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为．
记，
当时，
∴即时，
时，函数y取得最大值，且为；
当时，
∴即时，
时，函数y取得最大值，且为．
③∵，且时，，
∴抛物线必过点，
∴，
解得，
故．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的对称性，抛物线的增减性，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴点D的坐标为．
（2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，
把代入得：，
∴，
∴，
设所在直线为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的表达式为：为，
把代入得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，，
解得，此时抛物线与只有1个交点；
②当抛物线经过点时，，
解得，
当抛物线经过时，，
解得，
根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点，
∴时，满足题意；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据抛物线对称轴得到关于、的一个方程，再把点、的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出、、的值，即可得解；
（2）设点D的坐标，根据的面积为8列出方程得出方程的解即可．
（3）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接交对称轴于点，则点就是所求的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即求出直线的解析式，再把代入直线解析式求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，经过点、，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，对称轴为且与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可得：点A与点B关于对称，即，，
，
设点D的坐标为：，
，
，
，
或（无实数根），
，
，．
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，则点就是所求的点，
设直线的解析式为，
、，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用轴对称确定最短路线问题，确定出点的位置是解题的关键．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线，
可设抛物线的表达式为，
将点，点代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）由（1）知抛物线表达式为，
令，解得或，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
∴
∵，
∴，
解得或，
∴当时，，
当时，，
∴满足条件的点P有两个，分别为，；
（3）如解图，设直线AC的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为，
由于点Q在AC上，可设点，
则点，其中，
∴
∴当时，DQ长度有最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；
（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
解得，，
；
（2）令，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，
，，
，
把代入得：
，
解得．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）对于，
令，则，
∴，
解得：，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.
【答案】
【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把代入即可得到抛物线解析式．
【详解】解：因为二次函数图像的顶点坐标是，
设二次函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
(1)求该函数的关系式；
(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.
【答案】(1)
(2)，或．
【分析】（1）已知顶点可设二次函数的解析式为，再把的坐标代入得到关于的方程，然后解出即可．
（2）把点，代入（1）中的解析式即可求得结果．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得：
，解得：，
该函数的关系式为：.
（2）点在函数的图象上，
；
点在函数的图象上，
解得，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②3
【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】（1）解：设函数的解析式为，
将代入解析式，解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：①二次函数的图象经过点、顶点坐标为，
对称轴为直线，与x轴的另一个交点的坐标为，
当函数值时，；
②在中，令，则，
当时，由图象可知：y随x的增大而减小，
故当时，函数的最大值为3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)时，自变量x的取值范围为______．
(4)方程的解的情况怎样？
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)没有实数根
【分析】（1）根据抛物线过点、顶点，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根据图象得出结论；
（4）把方程的解的情况转化为抛物线与直线的交点情况即可．
【详解】（1）解：抛物线过点、顶点，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得，，
，；
（3）解：由图象和（2）知，时，自变量的取值范围为；
（4）解：抛物线最低点为，
抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点、二次函数的图象性质，关键是求出抛物线解析式．
【考点六已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【答案】(1)
(2)顶点坐标为；对称轴为直线
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【详解】（1）设
将代入，则
∴
（2）∵，
∴顶点坐标为；对称轴为直线．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是．
【变式训练】
1．
【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴．
∴该抛物线的函数关系式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．
2．(1)x；(2)；(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【详解】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式为x；
（2）解：根据题意可知：，
解得，
则二次函数的解析式为；
（3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，
当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再用待定系数法求解．
3．(1)该二次函数的解析式为.
(2)①的值为或；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①时，则，
解得，；
故的值为或；
，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．x
0
1
2
y
2
2
姓名：_________ 班级：_________ 学号：_________
【考点导航】
目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc3473" 【典型例题】 PAGEREF _Tc3473 \h 1
\l "_Tc26133" 【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc26133 \h 1
\l "_Tc28593" 【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc28593 \h 6
\l "_Tc18066" 【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc18066 \h 13
\l "_Tc8003" 【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc8003 \h 20
\l "_Tc5087" 【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc5087 \h 29
\l "_Tc13810" 【考点六已知交点式求二次函数的解析式】 PAGEREF _Tc13810 \h 33
【典型例题】
【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·江苏南京·九年级校考开学考试）已知二次函数的图象经过点．
(1)求出这个函数的表达式；
(2)在如图所示的平面直角坐标系中画出该函数的图象，并写出此函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴及随的变化情况；
(3)当时，的取值范围是多少？
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．
3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．
(1)求此二次函数解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．
4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该抛物线顶点坐标．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．
6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．
7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；
(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．
【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的面积为4时，求点D的坐标；
(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是_____；
②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；
③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．
【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【变式训练】
1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.
2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
(1)求该函数的关系式；
(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)时，自变量x的取值范围为______．
(4)方程的解的情况怎样？
【考点六已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【变式训练】
1．（2023·全国·九年级假期作业）已知抛物线经过点，，，求该抛物线的函数关系式
2．（2023秋·北京海淀·九年级期末）根据下列条件，选取你认为合适的方法求出二次函数的解析式．
(1)抛物线经过点三点．
(2)已知二次函数的图象过两点，并且以为对称轴．
(3)已知二次函数的图象经过一次函数x图象与x轴、y轴的交点，且过．
3．（2023春·浙江杭州·九年级专题练习）已知二次函数的图象经过点，与轴交于点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)点在该二次函数上．
①当时，求的值；
②当时，的最小值为，求的取值范围．参考答案
【典型例题】
【考点一一点一参数代入求二次函数的解析式】
例题： (1)
(2)此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大
(3)当时，的取值范围是．
【分析】（1）利用待定系数法即可求解；
（2）描点、连线画出函数图象即可；
（3）求得时的函数值，然后根据图象即可求得．
【详解】（1）解：二次函数的图象经过点，
∴，
，
∴这个函数的表达式为；
（2）解：列表，
描点，连线画出函数的图象如图：
由图象可知，此函数图象的开口向上、顶点坐标为、对称轴为轴，
当时，随的增大而减小，
当时，随的增大而增大；
（3）解：把代入得，，
此函数图象的开口向上、顶点坐标为，
当时，有最小值，
当时，的取值范围是．
【点睛】此题考查的是待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，掌握二次函数的性质是解决此题的关键．
【变式训练】
1．（2023·浙江温州·校联考三模）已知抛物线经过点．
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标．
(2)抛物线与轴的另一交点为，将线段向上平移个单位，平移后的线段与抛物线分别交于点（点在点左侧），若，求的值．
【答案】(1)，顶点坐标为
(2)3
【分析】（1）将代入表达式，进行计算求出的值即可得到解析式，再根据求顶点坐标的公式进行求解即可；
（2）由对称性可得到点的坐标，从而得到的长度，再由可得到的长度，最后根据对称性即可求出点的横坐标，代入表达式即可求出纵坐标，从而即可得到答案．
【详解】（1）解：把代入表达式，
得：，
解得：，
函数表达式为，
当时，，
顶点坐标为；
（2）解：，对称轴为直线，
由对称性可知，
，
，
∴，
点在点左侧，
由对称性可得，点的横坐标为：，
当时，，
．
【点睛】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的顶点坐标、二次函数的对称性，熟练掌握二次函数的图象与性质，是解题的关键．
2．（2023·浙江湖州·统考二模）如图，已知在平面直角坐标系中，抛物线经过点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)将该抛物线向下平移n个单位，使得平移后的抛物线经过点，求n的值．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把点代入可求出b，从而得解；
（2）根据抛物线向下平移n个单位，得到新抛物线的解析式，再将点代入可求出n的值．
【详解】（1）解：把点代入得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：
（2）抛物线向下平移n个单位后得：，
把点代入得：
解得：
即n的值为1．
【点睛】本题考查待定系数法和抛物线的平移，掌握待定系数法和抛物线的平移是解题的关键．
3．（2023·浙江温州·温州市第八中学校考三模）如图，抛物线，C为y轴正半轴上一点，过点C作轴交抛物线于点A，B（A在B的左侧），且，．
(1)求该抛物线的对称轴及函数表达式．
(2)当，最大值与最小值的差是9，求t的取值范围．
【答案】(1)；
(2)
【分析】（1）根据抛物线的对称轴公式直接求出对称轴，再根据对称轴求出点A的坐标，利用待定系数法即可求出函数的表达式；
（2）先求出抛物线的顶点坐标，根据二次函数图形的性质，针对，和三种情况进行分析即可得到答案．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为：，即；
如下图所示，设对称轴交于点E，交x轴于点F，设抛物线顶点为D，
∵对称轴，，，
∴
∴
∴
将代入抛物线的解析式得：，
解得，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：∵，
∴抛物线的顶点为，
当时，，即为点，
∵顶点为，
∴当时，，
最大值与最小值的差是不等于9，
当时，
最大值为，最小值为点，最大值于最小值相差为9，
当时，最大值大于，
此时，最大值于最小值相差不等于9，
∴当，最大值与最小值的差是9，t的取值范围为：
【点睛】本题考查抛物线的性质，解题的关键是熟练掌握对称轴的公式和二次函数的图像性质．
【考点二两点两参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023·浙江宁波·统考中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标．
(2)当时，请根据图象直接写出x的取值范围．
【答案】(1)，顶点坐标为；
(2)
【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标；
（2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围．
【详解】（1）解：∵二次函数图象经过点和．
∴，解得：，
∴抛物线为，
∴顶点坐标为：；
（2）当时，，
∴
解得：，，
如图，当时，
∴．
【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键．
【变式训练】
1．（2023秋·浙江宁波·九年级校考阶段练习）已知二次函数，当时，当时，求这个二次函数的解析式．
【答案】
【分析】把2组对应值分别代入得到关于b、c的方程组，然后解方程组即可．
【详解】解：根据题意得，
解得，
所以二次函数的解析式为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2023秋·北京海淀·九年级校考阶段练习）已知抛物线过点和
(1)求该抛物线的解析式；
(2)直接写出该抛物线的顶点坐标______．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法求函数解析式即可；
（2）运用配方法把二次函数化为顶点式，写出顶点坐标即可．
【详解】（1）解：∵抛物线过点和，
，
解得，
∴该二次函数的解析式为．
（2）解：，
∴该抛物线的顶点坐标为，
故答案为：．
【点睛】本题考查求二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，掌握待定系数法求函数解析式是解题的关键．
3．（2022秋·安徽六安·九年级校考阶段练习）二次函数的图象经过，两点．
(1)求此二次函数解析式；
(2)判断点是否在这个二次函数的图象上．
【答案】(1)
(2)不在
【分析】（1）利用待定系数法，将和代入函数解析式中求解b、c即可；
（2）将点A横坐标代入（1）中解析式中判断即可．
【详解】（1）解：∵二次函数的图象经过，两点，
∴，解得，
∴此二次函数解析式为；
（2）解：当时，，
∴点不在这个二次函数的图象上．
【点睛】本题主要考查了待定系数法及二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是熟知利用待定系数法求函数解析式．
4．（2023秋·吉林长春·九年级吉林省第二实验学校校考阶段练习）已知二次函数图象经过点和．
(1)求该二次函数的表达式；
(2)求该抛物线顶点坐标．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）运用待定系数法即可求解二次函数的解析式；
（2）将二次函数的一般式化成顶点式即可求解．
【详解】（1）解：二次函数图象经过点和，
∴，解得，，
∴二次函数解析式为：．
（2）解：由（1）可知，二次函数解析式为：，
∴将其化成顶点式为：，
∴该抛物线顶点坐标为：．
【点睛】本题主要考查待定系数法求二次函数解析式，顶点式的特点，掌握以上知识是解题的关键．
5．（2023秋·黑龙江哈尔滨·九年级统考阶段练习）如图，已知抛物线的二次项系数为1，且经过点和，请回答下列问题：
(1)求抛物线的解析式；
(2)若抛物线与轴交于点A、，与轴交于点，连接，，求的面积．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设抛物线的解析式为，再将和代入求解即可得出答案；
（2）分别令、，求出三点的坐标，从而得出、的值，然后利用三角形的面积公式即可得出答案．
【详解】（1）由题意得，设抛物线的解析式为
把和分别代入得
解得
抛物线的解析式为
（2）当时，
解得，
，
当时，
【点睛】本题考查了二次函数的性质、待定系数法求二次函数解析式，解题的关键是会利用点的坐标求三角形的面积．
6．（2023·河南周口·校联考三模）在平面直角坐标系中，抛物线经过和两点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)过点A作y轴的垂线交抛物线于点C，将直线向上平移，在平移的过程中，直线与抛物线交于D、E两点（点D在点E的左边），若，求点D的纵坐标的取值范围．
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）把已知点代入解析式即可求得结果；
（2）求得解析式的对称轴，根据可得到点D到对称轴的距离d的范围是，进而可得到点D的横坐标取值为：，代入抛物线方程可求得纵坐标的取值．
【详解】（1）解：把点和两点代入，
得，解得，
∴抛物线的解析式为；
（2）解：∵，
∴抛物线的对称轴为直线，
由题意可知，点D到对称轴的距离d的范围是，
∵点D在对称轴左侧，抛物线开口向上，y随x的增大而减小，
∴点D的横坐标取值为：，
将代入抛物线方程可得．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图像，二次函数图像上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
7．（2023·陕西·陕西师大附中校考模拟预测）如图，抛物线L：与x轴交于点，，与y轴交于点C．
(1)求抛物线L表达式及顶点坐标；
(2)设抛物线与L关于x轴对称．平移线段，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，请求出此时P、Q的坐标．
【答案】(1)
(2)，或，．
【分析】（1）由待定系数法即可求解；
（2）先求得，由平称可得：，，再根据对称性求出抛物线的解析式为，设，则，所以有，求出x，即可求解．
【详解】（1）解：把点，，代入，得
，
解得：，
∴．
（2）解：对抛物线L：，
当时，，
∴，
∴，
由平移可得：，，
∵抛物线与L关于x轴对称．
∴抛物线的解析式为，
设，则，
∵使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线上一点Q，
∴，
∴，
解得：，，
∴，或，．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数解析式，二次函数的几何变换，轴对称性质，平移性质，根据轴对称性质，求出抛物线的解析式和根据地平移性质得出，，是解题的关键．
【考点三三点三参数代入求二次函数的解析式】
例题：（2023秋·安徽合肥·九年级校考阶段练习）已知二次函数的图象经过，，三点．
(1)求这个函数的解析式；
(2)用配方法求出这个二次函数图象的顶点坐标．
【答案】(1)二次函数的解析式为
(2)顶点坐标是
【分析】（1）将点、、代入二次函数的解析式，利用待定系数法求得这个二次函数的解析式；
（2）利用（1）的结果，将二次函数的解析式转化为顶点式，然后根据解析式求这个二次函数的顶点坐标．
【详解】（1）解：将、、代入二次函数，
得，解得．
∴二次函数的解析式为．
（2）解：∵，
∴顶点坐标是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数的三种形式．将二次函数的一般解析式转化为顶点式时，采用了“配方法”．
【变式训练】
1．（2023秋·江西宜春·九年级统考期末）如图，在直角坐标系中，二次函数经过，，三个点．
(1)求该二次函数的解析式；
(2)若在该函数图象的对称轴上有个动点D，求当点D坐标为何值时，的周长最小．
【答案】(1)抛物线的解析式为；
(2)当点D的坐标为时，的周长最小
【分析】（1）设这个二次函数的解析式为，利用待定系数法求抛物线解析式；
（2）与对称轴的交点即为点D，此时的周长最小．
【详解】（1）解：设二次函数的解析式为，将A、B、C三点代入，
得，
解得：，，
∴抛物线的解析式为：；
（2）解：抛物线的对称轴为，
如图，连接与对称轴交于点D，
∵，，
∴B、C关于对称轴对称，
∴，
∴，
∵为定值，
此时的周长取得最小值，点D即为所求；
设直线解析式为，
将A、C两点代入得，
解得：，
直线的解析式为：，
当时，，
∴当点D的坐标为时，的周长最小．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，最短路径问题，掌握两直线交点求法是求出点D的关键．
2．（2023·云南昭通·校考一模）如图，抛物线经过三点，点为抛物线上第一象限内的一个动点．
(1)求抛物线所对应的函数表达式；
(2)当的面积为4时，求点D的坐标；
(3)过点D作，垂足为点E，是否存在点D，使得？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)点D的坐标为；
(3)存在点D，使得，点D的坐标为
【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；
（2）根据三角形面积公式可求与平行的经过点D的y轴上点M的坐标，再根据待定系数法可求的解析式，再联立抛物线可求点D的坐标；
（3）取点，连接，则，由点的坐标，利用待定系数法可求出直线的解析式，联立直线及抛物线的解析式组成方程组，通过解方程组可求出点D的坐标．
【详解】（1）解：将代入得：
，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）如下图，过点D作，交y轴与点M，连接，设点M的坐标为，使得的面积为4，
，
则，
，
点，
直线的解析式为，
的解析式为，
联立抛物线解析式，
解得：，
点D的坐标为；
（3）存在，
取点，连接，如图所示：
，
，
，
，
，
，
点，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
联立直线CD及抛物线的解析式成方程组得：
，
解得：（舍去），，
点D的坐标为，
综上所述：存在点D，使得，点D的坐标为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数图像上点的坐标特征、等腰三角形的性质、平行线的判定与性质、待定系数法求一次函数解析式以及一次函数图像上点的坐标特征，解题的关键是掌握待定系数法求出一次函数和二次函数的解析式．
3．（2023秋·河北保定·九年级校考期末）已知y是x的二次函数，该函数的图像经过点、、；
(1)求该二次函数的表达式；
(2)结合图像，回答下列问题：
①当时，y的取值范围是_____；
②当时，求y的最大值（用含m的代数式表示）；
③是否存在实数m、n（其中），使得当时，？若存在，请求出m、n；若不存在，请说明理由．
【答案】(1)
(2)①；②；③存在，
【分析】(1)设抛物线解析式为，分别代入点、、计算即可．
（2）①当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，确定取值范围即可．
②根据确定对称轴为．记，分两种情况计算即可．
③根据函数的增减性计算．
【详解】（1）设抛物线解析式为，分别代入点、、得，
解得，
∴抛物线解析式为．
（2）①如图，当时，对称轴在范围内，故函数最小值为1，当时，；当时，，
故函数值取值范围为．
故答案为：．
②∵抛物线的解析式为，
∴抛物线的对称轴为．
记，
当时，
∴即时，
时，函数y取得最大值，且为；
当时，
∴即时，
时，函数y取得最大值，且为．
③∵，且时，，
∴抛物线必过点，
∴，
解得，
故．
【点睛】本题考查了抛物线的解析式，抛物线的对称性，抛物线的增减性，熟练掌握相关的性质是解题的关键．
【考点四一点一对称轴求二次函数的解析式】
例题：（2023·宁夏中卫·统考二模）如图，抛物线的对称轴为直线，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A点坐标为．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)点是x轴上的一个动点，当的值最小时，求a的值．
【答案】(1)，
(2)
【分析】（1）根据对称轴为直线，可得，即可求出b的值，再将点A的坐标代入，求出c的值，即可得出抛物线解析式，将其化为顶点式，即可得出点D坐标；
（2）作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，此时的值最小，求出所在直线的表达式，即可求出点M的坐标．
【详解】（1）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴，解得：，
把代入得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为：，
∴点D的坐标为．
（2）解：作点C关于x轴的对称点E，连接，交x轴于点M，
把代入得：，
∴，
∴，
设所在直线为，
把，代入得：
，解得：，
∴所在直线的表达式为：为，
把代入得：，
解得：，
∴，．
【点睛】本题主要考查了用待定系数法求解二次函数表达式，根据轴对称的性质确定最短路径，解题的关键是熟练掌握用待定系数法求解函数表达式的方法和步骤．
【变式训练】
1．（2023·安徽合肥·统考三模）已知抛物线交轴于C，D两点，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，．
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；
(2)连接，若抛物线向下平移个单位时，与线段只有一个公共点，求k的取值范围．
【答案】(1)；
(2)或
【分析】（1）根据抛物线的对称轴为，求出b的值，将代入求出c的值即可得出抛物线的解析式，将抛物线化为顶点式，即可求出抛物线的顶点坐标；
（2）先求出抛物线向下平移个单位后解析式为，得出顶点坐标为，再分别求出当抛物线顶点落在上时，当抛物线经过点当抛物线经过时，k的值，即可得出结果．
【详解】（1）解：∵抛物线对称轴为直线，
∴，
∴，
将代入得，
解得，
∴，
∴抛物线顶点坐标为．
（2）解：抛物线向下平移个单位后解析式为，
∴抛物线顶点坐标为，
①当抛物线顶点落在上时，，
解得，此时抛物线与只有1个交点；
②当抛物线经过点时，，
解得，
当抛物线经过时，，
解得，
根据图象可知，当抛物线经过点A时，抛物线与有2个交点，再向下平移抛物线与有1个交点，当抛物线经过点B时，抛物线与有1个交点，再向下平移抛物线与无交点，
∴时，满足题意；
综上所述，或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，二次函数的平移，解题的关键是数形结合，准确计算．
2．（2020秋·福建龙岩·九年级校考阶段练习）已知：抛物线的对称轴为，与x轴交于，B两点，与y轴交于点．
(1)求这条抛物线的函数表达式．
(2)若抛物线上存在一点D，使的面积为8，请求出点D的坐标．
(3)已知在对称轴上存在一点P，使得的值最小，请求出点P的坐标．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）根据抛物线对称轴得到关于、的一个方程，再把点、的坐标代入抛物线解析式，然后解方程组求出、、的值，即可得解；
（2）设点D的坐标，根据的面积为8列出方程得出方程的解即可．
（3）根据利用轴对称确定最短路线的问题，连接交对称轴于点，则点就是所求的点，然后利用待定系数法求一次函数解析式，即求出直线的解析式，再把代入直线解析式求出的值，即可得到点的坐标．
【详解】（1）解：抛物线的对称轴为，经过点、，
，
解得，
抛物线解析式为；
（2）抛物线解析式为，对称轴为且与x轴的一个交点为，
根据抛物线的对称性可得：点A与点B关于对称，即，，
，
设点D的坐标为：，
，
，
，
或（无实数根），
，
，．
（3）如图，连接，交抛物线对称轴于点，则点就是所求的点，
设直线的解析式为，
、，
，
解得，
直线的解析式为，
当时，，
点的坐标为．
【点睛】本题是对二次函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式（包括二次函数解析式，一次函数解析式）；抛物线上点的存在性问题，设点D的坐标并根据图形的面积列出方程，并根据方程解的情况确定点D的情况；利用轴对称确定最短路线问题，确定出点的位置是解题的关键．
3．（2023·青海海东·统考二模）抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，其中点A的坐标为，点C的坐标为，对称轴为直线．
(1)求该抛物线的表达式；
(2)若点P在抛物线上，且，求点P的坐标；
(3)设点Q是线段上的动点，作轴交抛物线于点D，求线段长度的最大值．
【答案】(1)
(2)，
(3)
【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）根据抛物线的解析式得出，，从而求得三角形的面积，设点P的坐标为，根据即可求得的值，从而得出点P的坐标；
（3）利用待定系数法可求得直线AC的解析式为，设点，再根据两点间的距离可表示，然后利用二次函数的最值即可得出答案．
【详解】（1）已知抛物线的对称轴为直线，
可设抛物线的表达式为，
将点，点代入，
得，
解得，
∴抛物线的表达式为；
（2）由（1）知抛物线表达式为，
令，解得或，
∴点B的坐标为，
∵点C坐标为，
∴，，
∴，
∵点P在抛物线上，
∴设点P的坐标为，
∴
∵，
∴，
解得或，
∴当时，，
当时，，
∴满足条件的点P有两个，分别为，；
（3）如解图，设直线AC的解析式为，
将点，代入，
得，
解得，
∴直线AC的解析式为，
由于点Q在AC上，可设点，
则点，其中，
∴
∴当时，DQ长度有最大值．
【点睛】本题考查了待定系数法求解析式、二次函数的性质及最值，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
4．（2023·浙江温州·校联考二模）已知抛物线的对称轴为直线，且经过点．
(1)求该二次函数图象与轴的另一交点的坐标及其函数表达式．
(2)记图象与轴交于点，过点作轴，交图象于另一点．将抛物线向上平移个单位长度后，与轴交于点点为右侧的交点）．若，求的值．
【答案】(1)抛物线解析式为；
(2)
【分析】（1）用待定系数法求出函数解析式，再令，解方程求出点坐标；
（2）先根据对称性求出的坐标，再求出，设平移后的解析式为，再根据，求出坐标，在代入平移后的解析式即可求出．
【详解】（1）解：由题意得：，
解得，
抛物线解析式为；
令，则，
解得，，
；
（2）令，则，
，
对称轴为直线，
，
，
抛物线向上平移个单位长度后的解析式为，
，，
，
把代入得：
，
解得．
【点睛】本题考查抛物线与轴的交点，平移的性质，二次函数的性质，关键是求出抛物线解析式．
【考点五已知顶点式求二次函数的解析式】
例题：（2023春·河北保定·九年级专题练习）已知抛物线顶点坐标为，且过点．
(1)求其解析式；
(2)把该抛物线向右平移_______个单位，则它过原点．
【答案】(1)
(2)1或3
【分析】（1）根据抛物线顶点坐标可设该抛物线解析式为，再将点代入，求出a的值，即得出该抛物线解析式；
（2）根据（1）所求解析式可求出其图象与x轴交点坐标，进而即可解答．
【详解】（1）∵抛物线顶点坐标为，
∴可设该抛物线解析式为．
∵抛物线过点，
∴，
解得：，
∴抛物线解析式为；
（2）对于，
令，则，
∴，
解得：，
∴该抛物线与x轴的两个交点分别为，，
∴把该抛物线向右平移1个单位或3个单位，则它过原点．
故答案为：1或3．
【点睛】本题考查利用待定系数法求函数解析式，求抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象的平移．根据题意设出为顶点式的抛物线解析式，再根据待定系数法求出该解析式是解题关键．
【变式训练】
1．（2023秋·北京朝阳·九年级和平街第一中学校考期中）二次函数图像的顶点坐标是，并经过点，求这个二次函数的函数关系式.
【答案】
【分析】已知抛物线的顶点坐标，可设顶点式，然后把代入即可得到抛物线解析式．
【详解】解：因为二次函数图像的顶点坐标是，
设二次函数解析式为，
把代入，
得，
解得，
所以二次函数解析式为：．
【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数的解析式：在利用待定系数法求二次函数关系式时，要根据题目给定的条件，选择恰当的方法设出关系式，从而代入数值求解．一般地，当已知抛物线上三点时，常选择一般式，用待定系数法列三元一次方程组来求解；当已知抛物线的顶点或对称轴时，常设其解析式为顶点式来求解；当已知抛物线与x轴有两个交点时，可选择设其解析式为交点式来求解．
2．（2023秋·河北保定·九年级涿州市实验中学校考阶段练习）已知二次函数的图象以为顶点，且过点
(1)求该函数的关系式；
(2)点，点在该函数图象上，求m和n的值.
【答案】(1)
(2)，或．
【分析】（1）已知顶点可设二次函数的解析式为，再把的坐标代入得到关于的方程，然后解出即可．
（2）把点，代入（1）中的解析式即可求得结果．
【详解】（1）解：设抛物线解析式为：，把的坐标代入得：
，解得：，
该函数的关系式为：.
（2）点在函数的图象上，
；
点在函数的图象上，
解得，，．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，利用代入法是解答此题的关键．
3．（2023秋·河北廊坊·九年级统考期末）如图所示，二次函数的图象经过点、顶点坐标为．
(1)求二次函数的解析式；
(2)①当函数值时，直接写出x的取值范围；
②当时，直接写出函数的最大值．
【答案】(1)
(2)①；②3
【分析】(1)设函数的解析式为，将代入解析式，即可求解；
(2)①首先可求得与x轴的另一个交点的坐标为，再根据函数图象，即可解答；②令，则，再根据在此范围内，y随x的增大而减小，据此即可解答．
【详解】（1）解：设函数的解析式为，
将代入解析式，解得，
∴函数的解析式为；
（2）解：①二次函数的图象经过点、顶点坐标为，
对称轴为直线，与x轴的另一个交点的坐标为，
当函数值时，；
②在中，令，则，
当时，由图象可知：y随x的增大而减小，
故当时，函数的最大值为3．
【点睛】本题考查了利用待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，采用数形结合的思想是解决此类题的关键．
3．（2023秋·河北邯郸·九年级校考期末）如图，抛物线过点、顶点、点C和点D．
(1)求抛物线的解析式；
(2)求点C和点D的坐标；
(3)时，自变量x的取值范围为______．
(4)方程的解的情况怎样？
【答案】(1)
(2)，
(3)
(4)没有实数根
【分析】（1）根据抛物线过点、顶点，由待定系数法求函数解析式即可；
（2）令，解方程即可；
（3）根据图象得出结论；
（4）把方程的解的情况转化为抛物线与直线的交点情况即可．
【详解】（1）解：抛物线过点、顶点，
则，
解得，
抛物线的解析式为；
（2）解：令，则，
解得，，
，；
（3）解：由图象和（2）知，时，自变量的取值范围为；
（4）解：抛物线最低点为，
抛物线与直线没有交点，
方程没有实数根．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、抛物线与轴的交点、二次函数的图象性质，关键是求出抛物线解析式．
【考点六已知交点式求二次函数的解析式】
例题：（2023·四川泸州·四川省泸县第四中学校考一模）已知一个抛物线经过点，和．
(1)求这个二次函数的解析式；
(2)求这个二次函数图象的顶点坐标和对称轴；
【答案】(1)
(2)顶点坐标为；对称轴为直线
【分析】（1）用待定系数法求解即可；
（2）根据顶点坐标公式求解即可．
【详解】（1）设
将代入，则
∴
（2）∵，
∴顶点坐标为；对称轴为直线．
【点睛】本题考查了待定系数法求函数解析式，以及二次函数的图象和性质，对于二次函数（a，b，c为常数，），其对称轴是直线，其顶点坐标是．
【变式训练】
1．
【分析】利用待定系数法设出抛物线的表达式为，将点代入求解即可．
【详解】解：∵抛物线经过点，，，
∴设抛物线的表达式为，
将点代入得：，解得：，
∴．
∴该抛物线的函数关系式为．
【点睛】此题考查了待定系数法求二次函数表达式，解题的关键是熟练掌握待定系数法求二次函数表达式．
2．(1)x；(2)；(3)
【分析】（1）根据题意设抛物线的表达式为：，代入求得a即可；
（2）利用对称轴方程和把两已知点的坐标代入中可得到关于a、b、c的方程组，然后解方程组求出a、b、c即可得到抛物线解析式；
（3）先求出直线与坐标轴的交点坐标，然后利用一般式求抛物线解析式．
【详解】（1）解：设，
把代入得：，
解得：，
则抛物线的解析式为x；
（2）解：根据题意可知：，
解得，
则二次函数的解析式为；
（3）当时，，则直线与y轴的交点坐标为，
当时，，解得，则直线与x轴的交点坐标为，
设抛物线解析式为，
把代入得，解得，
所以抛物线解析式为．
【点睛】本题考查待定系数法求二次函数的解析式，要根据题目给定条件，选择恰当方法设出关系式，再用待定系数法求解．
3．(1)该二次函数的解析式为.
(2)①的值为或；②
【分析】（1）利用待定系数法求得即可；
（2）①把代入，即可求得；②把二次函数解析式化为顶点式，求得函数的最小值为，所以，即．
【详解】（1）设二次函数的解析式为，
把点代入得，
解得，
，
该二次函数的解析式为；
（2）①时，则，
解得，；
故的值为或；
，
当时，函数有最小值，
当时，即时，有最小值，
故的取值范围是．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．x
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y
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2
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