内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期期末学业质量监测数学（文）试卷(含答案)

这是一份内蒙古呼和浩特市2024届高三上学期期末学业质量监测数学（文）试卷(含答案)，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．已知复数z满足,则在复平面内对应的点位于( )
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
3．已知直线l,m,n与平面,,下列命题正确的是( )
A.若,,则B.若,,则
C.若,,则D.若,,,则
4．已知是偶函数,则a的值是( )
A.B.C.D.2
5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”,后人称为“赵爽弦图”.他用数形结合的方法给出了勾股定理的证明,极富创新意识.“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.如图,若大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,则( )
A.9B.12C.15D.16
6．函数的图象可能为( )
A.B.
C.D.
7．已知等比数列的首项为1,公比为3,则( )
A.B.C.D.
8．用模型拟合一组数据组,其中,设,得变换后的线性回归方程为,则( )
A.B.C.35D.21
9．已知一个正三棱柱的三视图如下图所示,则该三棱柱的体积为( )
A.B.12C.D.16
10．直线()截圆所得弦长的最小值是( )
A.2B.C.4D.6
11．《九章算术》中,将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马,将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑.若三棱锥为鳖臑,平面ABC,,,三棱锥的四个顶点都在球O的球面上,则球O的表面积为( )
A.B.C.D.
12．定义在R上的奇函数满足,且当时,,则函数在上所有零点的和为( )
A.B.C.D.
二、填空题
13．抛物线的焦点坐标为___________.
14．当x,y满足条件时,的最小值为__________.
15．已知等差数列是递增数列,且满足,,令,且,则数列的前n项和为__________.
16．已知双曲线(,)的左右焦点分别为,,过的直线l与双曲线C交于A,B两点(A在第一象限,B在第四象限),若,则该双曲线的离心率为______.
三、解答题
17．2023年秋末冬初,某市发生了一次流感疾病,某医疗团队为研究本地的流感疾病与当地居民生活习惯(良好,不够良好)的关系,在已患该疾病的病例中随机调查了100人(称为病例组),同时在未患该疾病的人群中随机调查了100人(称为对照组),得到如下数据:
（1）分别估计病例组和对照组中生活习惯为良好的概率;
（2）能否有99%的把握认为感染此次流感疾病与生活习惯有关?
附:
18．在中,内角A,B,C所对边分别为a,b,c.已知,.
（1）若,求角A;
（2）若的面积,求边c.
19．如图1,在直角梯形ABCD中,,,,E是AD的中点,O是AC与BE的交点.将沿BE折起到如图2中的位置,得到四棱锥.
（1）证明:;
（2）当平面平面BCDE时,求三棱锥的体积.
20．已知椭圆的焦距为2,点在椭圆C上,A,B分别为椭圆的左,右顶点.
（1）求椭圆C的方程;
（2）若点P是椭圆C上第二象限内的点,点Q在直线上,且,,求的面积.
21．已知函数.
（1）若,讨论函数的单调性;
（2）若,,,求的取值范围.
22．在直角坐标系xOy中,曲线的参数方程为(),曲线的参数方程为(t为参数).
（1）求曲线的普通方程;
（2）若,,在曲线上任取一点C,求的面积.
23．已知函数.
（1）求不等式的解集;
（2）将函数的图象与直线围成图形的面积记为t,若正数a,b,c满足,求证:.
参考答案
1．答案：C
解析：,
故.
故选:C
2．答案：D
解析：由已知得,
则,则在复平面内对应的点位于第四象限,
故选:D.
3．答案：B
解析：A选项,如图1,满足,,但l,不垂直,A错误;
B选项,如图2,因为,
所以作平面,使得,且,
则,
因为,则,又,故,B正确;
C选项,如图3,满足,,但l,m不平行,C错误;
D选项,如图4,满足,,,但l,n不平行,D错误.
故选:B
4．答案：C
解析：由函数是偶函数,则,
可得,即,
所以,解得.
故选:C.
5．答案：B
解析：因为大正方形的面积是25,小正方形的面积是1,所以,
设,则,
在中,,即,解得或(舍去),
所以,
易知在正方形ABCD中,,,,
所以.
故选:B.
6．答案：A
解析：函数的定义域为,
又,
因此函数为奇函数,函数图象关于原点对称,BD错误;
当时,,,则,
因此,C错误,A符合题意.
故选:A
7．答案：D
解析：由题意得,
故为首项为,公比为9的等比数列,
则.
故选:D
8．答案：B
解析：由题意得,
故,
即,
故,解得.
故选:B
9．答案：A
解析：由三视图还原几何体如图所示,
则底面正三角形一边上的高为,正四棱柱的高为2,
设底面边长x,则,解得,
所以三棱柱的体积为.
故选:A
10．答案：C
解析：依题意,直线过定点,圆的圆心,半径,
,即点A在圆C内,当且仅当直线与直线AC垂直时,直线截圆所得弦长最短,
所以所求最短弦长为.
故选:C
11．答案：B
解析：将三棱锥补形为长方体,则长方体外接球即为三棱锥的外接球,
如图,PC的中点即为外接球的球心,PC为直径,
由勾股定理得,
故半径为,球表面积为.
故选:B
12．答案：B
解析：因为定义在R上的奇函数满足,
则,所以,函数是周期为的周期函数,
则,故函数的图象关于点对称,
当时,,
作出函数在上的图象以及函数的图象如下图所示:
由图可知,函数在上的图象与函数的图象共有个交点,
且这个交点有三对点关于点对称,
因此,函数在上所有零点的和为.
故选:B.
13．答案：
解析：由抛物线,化为,可得,解得,
所以抛物线的焦点坐标为.
故答案为:.
14．答案：8
解析：画出可行域及目标函数,如下:阴影部分即为可行域,
z为直线与轴交点的纵坐标,
由几何意义可知,当过点A时,取得最小值,
联立,解得,
故.
故答案为:8
15．答案：
解析：设等差数列的公差为,
因为,,可得其中,
解得,所以,所以,
可得,
设数列的前n项和为,则
.
故答案为:.
16．答案：或
解析：因为,设,
由双曲线的定义得:所以故
,,又因为,所以,
所以,即,.
所以双曲线的离心率.
故答案为:.
17．答案：（1）0.45
（2）有
解析：（1）由调查数据,病例组为生活习惯为良好的频率,
因此病例组为生活习惯为良好的概率的估计值为,
对照组为生活习惯为良好的频率,
因此对照组为生活习惯为良好的概率的估计值为.
（2）由题意可知,,,,
所以,
因为,
所以有的把我说患有该疾病与生活习惯有关.
18．答案：（1）
（2）或
解析：（1）,则,,
由正弦定理得,即,解得,
又,,.
（2）,,,
,
当时,由余弦定理得,,
当时,由余弦定理得,,
所以或.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）在图1中,连接EC,
,,E是AD的中点,
所以四边形ABCE是正方形,,
在图2中,,,
又,,平面,
平面.
又,且,四边形BCDE是平行四边形,
,平面,
又平面,;
（2）平面平面,平面平面,
,平面,
平面BCDE,
又,,
.
20．答案：（1）
（2）
解析：（1）由椭圆C的焦距为2,故,则,
又椭圆C经过点,代入C得,解得,,
所以椭圆C的方程为.
（2）由题:,,设,,显然,,,
,则点P满足:①
又,
②
联立①②得,解得,
又点P在第二象限,且满足,
,,
把,,代入①得,
又,,直线AP方程为:,
点Q到直线AP的距离,
.
21．答案：（1）答案见解析
（2）
解析：（1）由题意可知:的定义域为R,
,
①当时,恒成立,在R上单调递增;
②当时,
当或时,,在和上单调递增;
当时,,在上单调递减;
故当时,在R上单调递增;
当时,在和上单调递增,在上单调递减;
（2）因为,,等于函数在区间上的最大值与最小值之差,
由（1）可知:当,即时,在上单调递减,在上单调递增,
故,
又,.
故当时,,,;
当时,,,
即:.
当时,,在上单调递减,
此时,即;
当时,,在上单调递增,
此时,即.
综上所述:
所以,的取值范围是.
22．答案：（1）
（2）
解析：（1）由的参数方程为(),
消去可得的普通方程为;
（2）易知的普通方程为,
直线AB的斜率为,
直线AB的方程为,即,
可知直线AB与平行,
则上任意一点C到直线AB的距离,
又,
所以.
23．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）由可得,
即,解得.
所以不等式的解集为.
（2）,其函数图象如下图,
由图可知:,又因为a,b,c均为正数,
则(当且仅当时,等号成立)
即,即.
良好
不够良好
病例组
25
75
对照组
45
55
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828