河北省唐山市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题

这是一份河北省唐山市2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题，共14页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知集合A={0，1}，则集合A的子集个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
2．已知函数，则（ ）
A．B．0C．D．1
3．设命题，，则为（ ）
A．，B．，
C．，D．，
4．已知，则是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
5．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分又不必要条件
6．已知，，，则（ ）
A．B．C．D．
7．若函数，则可以化简为（ ）
A．B．C．D．
8．若函数，，的零点分别为，，，则（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
9．非空集合，，均为的真子集，且，则（ ）
A．B．C．D．
10．已知，，则（ ）
A．B．C．D．
11．要得到的图象，可以（ ）
A．将曲线上所有的点向右平移个单位长度
B．将曲线上所有的点向右平移个单位长度
C．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
D．将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变
12．已知定义在上的函数同时满足以下三个条件：①；②；③在区间上单调递增，则下列关于的表述中，正确的是（ ）
A．B．恰有三个零点
C．在上单调递增D．存在最大值和最小值
三、填空题
13． .
14．若是钝角，，则 .
15．在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量（单位：）与管道半径（单位：）的四次方成正比.已知气体在半径为的管道中，流量为，则气体在半径为的管道中，流量为 .
16．在中，，边上的高等于，则 .
四、解答题
17．已知集合，.
(1)求集合；
(2)若，函数，求函数的定义域.
18．已知函数的最小正周期为，且.
(1)求及的值；
(2)求函数的单调递增区间.
19．已知定义在上的函数为偶函数.当时，.
(1)求；
(2)求函数的解析式；
(3)若，求函数的值域.
20．已知函数.
(1)若，求不等式的解集；
(2)若函数的图象与轴交于，两点，求的最小值.
21．已知函数.
(1)若，根据函数单调性的定义证明在上单调递减；
(2)由奇函数的图象关于原点对称可以推广得到：函数的图象关于点中心对称的充要条件是.
据此证明：当时，函数的图象关于点中心对称.
22．如图，已知直线，分别在直线，上，是，之间的定点，点到，的距离分别为，，.设.
(1)用表示边，的长度；
(2)若为等腰三角形，求的面积；
(3)设，问：是否存在，使得？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由.
参考答案：
1．D
【分析】根据子集个数的公式可得正确的选项.
【详解】因为元素个数为2，故其子集个数为，
故选：D.
【点睛】本题考查有限集的子集的个数，如果有限集有个元素，则其子集的个数为，本题属于基础题.
2．B
【分析】根据条件，代入即可求出函数.
【详解】因为，所以，
故选：B.
3．D
【分析】全称量词命题的否定是特称量词命题，把任意改为存在，把结论否定.
【详解】为，.
故选：D
4．C
【分析】，再根据终边相同的角的集合，判断是第几象限角，即可求出结果.
【详解】因为，又是第三象限角，
所以是第三象限角，
故选：C.
5．A
【分析】分别求解“”与“”的充要条件再判断即可.
【详解】易得当时, .当时, .
故“”是“”的充分不必要条件.
故选：A
【点睛】本题主要考查了三角函数值求定义域的方法以及充分与必要条件的判定,属于基础题.
6．D
【分析】根据函数单调性和中间值比较大小.
【详解】因为在上单调递增，故，
因为在R上单调递减，所以，
因为在R上单调递增，所以，
综上，.
故选：D
7．C
【分析】利用辅助角公式求出答案.
【详解】，C正确；
其他选项不满足要求.
故选：C
8．B
【分析】根据条件，将零点问题转化成函数图象交点，再根据图象即可求出结果.
【详解】由，得到，由，得到，
由，得到，
在同一直角坐标系中，作出函数的图象，如图所示，
由图知，
故选：B.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于将函数零点问题转化成图象交点，通过作出函数的图象，再根据图象求结果.
9．AC
【分析】A选项，根据真子集和并集概念得到A正确；B选项，求出，故B错误；C选项，由补集和真子集的概念得到C正确；D选项，利用韦恩图得到D错误.
【详解】A选项，因为，所以，A正确；
B选项，因为，所以，
而，故B错误；
C选项，因为，所以，C正确；
D选项，，如图所示，
所以表示的集合为①，不是空集，D错误.
故选：AC
10．AD
【分析】AB可利用不等式的性质得到；CD选项，作差法比较大小.
【详解】A选项，因为，所以，故两边同除以得，
，A正确；
B选项，因为，所以，故两边同除以得，
，B错误；
C选项，因为，所以，故，
同理可得，C错误；
D选项，因为，所以，
故，故，
，故，所以，D正确.
故选：AD
11．BD
【分析】由题意，利用函数的图象变换规律，即可得出结论．
【详解】要得到的图象，可以将曲线上所有的点向右平移个单位长度，故选项A错误，选项B正确，
又的图象也可将曲线上所有的点横坐标缩短到原来的，纵坐标不变得到，
所以选项C错误，选项D正确，
故选：BD.
12．ABC
【分析】选项A，利用条件，赋值即可得出结果；再利用定义法证明在上单调递增，即可判断出选项C的正误，结合条件及奇函数的性质得出函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可判断出选项D的正误，再根据条件得到，，，结合函数的单调性，即可判断出选项B的正误.
【详解】对于选项A，因为，取，得到，
即，所以选项A正确，
对于选项C，任取，且，则，且，
则，
又在区间上单调递增，且为奇函数，所以在区间上也单调递增，
所以，得到，即，所以在上单调递增，故选项C正确，
对于选项B，因为定义在上奇函数，所以，又，所以，故或或是的根，
结合选项C、由奇函数的性质及条件知，函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故选项B正确，
对于选项D，因为函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，故函数不存在最大值和最小值，所以选项D错误，
故选：ABC.
【点睛】关键点晴：本题的关键在于，根据条件，利用定义法证明在上单调递增，再利用条件及奇函数的性质得到函数在区间上单调递增，在区间上单调递增，即可解决问题.
13．
【分析】利用二倍角余弦公式直接化简，结合特殊角的三角函数值可得答案.
【详解】
故答案为：
【点睛】本题考查二倍角余弦公式，是基础题
14．
【分析】根据同角三角函数关系和角的范围得到，进而求出答案.
【详解】因为，所以，即，
因为，所以，
因为是钝角，所以，
故.
故答案为：
15．25
【分析】先计算出比例系数，在根据比例系数算出流量.
【详解】设比例系数为k，根据题意得：，把代入得.
当时，.
故答案为：25
16．
【分析】设，，根据得到，进而得到，求出，利用正切和角公式求出答案.
【详解】为边上的高，由题意得，设，，
则，
因为，所以，即，
又，故，
故，
故.
故答案为：
17．(1)
(2)
【分析】（1）解不等式得到，进而利用交集概念求出答案；
（2）得到，根据函数特征得到不等式，结合单调性解不等式，求出定义域
【详解】（1），，
故；
（2）因为，所以，
由题意得，
因为在上单调递减，
所以，解得，
故定义域为.
18．(1)，
(2)
【分析】（1）根据求出最小正周期，进而根据求出；
（2）整体法求解函数的单调递增区间.
【详解】（1）由题意得，由得，
故，即
因为，所以；
（2），
令，，解得，，
故的单调递增区间为.
19．(1)
(2)
(3)
【分析】（1）先求出，由奇偶性得到；
（2）根据函数的奇偶性得到时的函数解析式，进而得到答案；
（3）分两种情况，根据函数的单调性求出函数在时的值域.
【详解】（1），
因为为上的偶函数，所以；
（2）当时，，
故，
又为上的偶函数，故，
所以，
所以；
（3）当时，由复合函数单调性可知单调递减，因为，
故，
由函数为偶函数可知，当时，单调递增，，
则，
综上，的值域为
20．(1)或
(2)
【分析】（1）解一元二次不等式，求出解集；
（2），由韦达定理得到两根之和，两根之积，进而得到，求出最小值.
【详解】（1）时，，解得或，
原不等式的解集为或；
（2）令，
由得，
故，
故
，
当时，取得最小值，最小值为.
21．(1)证明过程见解析
(2)证明过程见解析
【分析】（1）化简得到，定义法证明函数单调性的步骤，取点，作差，判号，下结论；
（2）得到，计算出，得到答案.
【详解】（1）时，，
任取，则，
因为在上单调递增，
所以，又，
所以，故，
所以在上单调递减；
（2）时，，
，
故函数的图象关于点中心对称.
22．(1)，；
(2)
(3)不存在使得
【分析】（1）根据三角函数得到，的长度；
（2）在（1）的基础上，得到方程，得到，结合同角三角函数关系求出，求出三角形面积；
（3）得到，由基本不等式和三角函数有界性得到，故不存在使得.
【详解】（1）由题意得，
因为，，
所以，
故，；
（2）由（1）得，，，
故，即，
又，所以，即，
所以；
（3）由（1）得，，，
故，
当且仅当，即时，等号成立，
又，当且仅当时，等号成立，
显然与不会同时成立，
故，不存在使得.
【点睛】三角函数的思想方法常常用来解决一些与角度有关的实际问题，原因是三角函数的有界性，且三角函数的公式众多，比如和差公式，倍角公式，半角公式等，可以很好的表达相关量的关系，利用相关工具，解决问题