通关练09 圆的切线与最值的综合-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)

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一、单选题
1．（2022秋·浙江杭州·高二浙江大学附属中学校考期中）已知x，y满足，若不等式恒成立，则c的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】不等式恒成立，只需，可以看作是直线在轴上的截距，当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，然后根据点到直线的距离公式求解即可.
【详解】因为可化为，表示的是以为圆心，为半径的圆，
可以看作是直线在轴上的截距，
当直线与圆相切时，纵截距取得最大值或最小值，
此时，解得或，所以，
又因为不等式恒成立，所以，
则c的取值范围是.
故选：B.
2．（2023秋·北京东城·高三统考期末）在平面直角坐标系中，若点在直线上，则当，变化时，直线的斜率的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】将点代入直线方程中得出点为圆上的动点，
结合图像分析即可求出直线的斜率的取值范围.
【详解】因为点在直线上，
所以，
即，
则表示圆心为，半径为1的圆上的点，
如图：

由图可知当直线与圆相切时，直线的斜率得到最值，
设，
由圆与直线相切，故有圆心到直线的距离为半径1，
即，
解得：，
由图分析得：直线的斜率的取值范围是.
故选：B.
3．（2022秋·辽宁抚顺·高二校联考期中）已知圆：，过直线：上一点P向圆作切线，切点为Q，则的最小值为（ ）
A．5B．C．D．
【答案】C
【分析】当圆心与点P的距离最小，即距离为圆心到直线的距离时，切线长PQ最小.
【详解】如图所示：
记圆心到直线：的距离为，则.
因为，所以当直线与CP垂直，即时，最小，故.
故选：C
4．（2022秋·安徽六安·高三校联考期末）已知圆，点在直线上，过点作圆的切线，切点分别为A、B，则切线段的最小值为（ ）
A．1B．2C．D．3
【答案】B
【分析】根据切线长公式和点到直线的距离公式求解.
【详解】，所以当时，的长最小，
C到l的距离为，所以，
故选:B．
5．（2022秋·湖北武汉·高二华中师大一附中校考阶段练习）已知直线上动点，过点向圆引切线，则切线长的最小值是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】根据切线长，半径以及圆心到点的距离的关系，求得圆心到直线的距离，再求切线长距离的最小值即可.
【详解】圆，其圆心为，半径，则到直线的距离；
设切线长为，则，若最小，则取得最小值，显然最小值为，
故的最小值为，即切线长的最小值为.
故选：A.
6．（2022秋·北京·高二人大附中校考阶段练习）设P为直线的动点，，为圆的两条切线，A，B为切点，则的面积的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据条件可分析出当最小时，最小，然后可求出答案.
【详解】由可得，
所以，
所以当最小时，最小，
因为，所以当最小时，最小，
当时，最小，最小值为，
所以，的最小值为，
故选：C
7．（2022秋·四川遂宁·高二校考期中）已知圆C：，圆M：，过圆M上任意一点P作圆C的两条切线PE、PF，切点分别为E、F，则的最小值是（ ）
A．B．3C．D．
【答案】C
【分析】设，利用勾股定理以及二倍角公式可得，设，令（），利用函数的单调性即可求出的最小值．
【详解】由题意知，圆的圆心为，半径为1，圆的圆心，半径为2，
所以，
∴，即，
设，∴，，
，，
则，
设，，
令，，
∴，即当时，单调递增，
∴当时，取最小值，即的最小值为．
故选：C．
8．（2022秋·福建莆田·高二莆田第六中学校考阶段练习）过直线上一动点，向圆引两条切线，为切点，线段的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】得到四点共圆，且为直径，求出以为直径的圆的方程，与联立求出相交弦所在直线的方程，得到其过的定点，再数形结合求出
要想线段取得最小值，只需，即为的中点时，利用勾股定理求出答案.
【详解】圆的圆心为原点，半径为，
因为，故四点共圆，且为直径，
设，则，
线段的中点坐标为，
故以为直径的圆的方程为，
整理得：，
与相减得：
直线的方程为，
整理为，
令，解得：，
即直线恒过点，
要想线段取得最小值，只需，即为的中点，
其中，
则，
故选：B
9．（2022·陕西宝鸡·统考一模）已知直线与圆相切，则的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】根据直线与圆相切，整理等式，根据运算性质，可得答案.
【详解】由圆的方程，则其圆心为，半径为，
由直线方程，整理可得，则，
整理可得，由配方法可得，
，，
由，则，即，解得.
故选：C.
10．（2019秋·天津宁河·高三校考阶段练习）已知点是直线上一动点，是圆的两条切线，是切点，若四边形的最小面积是2，求实数的值（ ）
A．B．C．2D．3
【答案】C
【分析】根据四边形的最小面积的最小值列方程，结合点到直线的距离公式求得的值.
【详解】圆，即，
所以圆心，半径
由于，
所以，
所以当最小时，取得最小值，
根据点到直线的距离公式得，
由于，所以.
故选：C
11．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）如图，已知直线与圆相离，点在直线上运动且位于第一象限，过作圆的两条切线，切点分别是，直线与轴､轴分别交于两点，且面积的最小值为，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】设出点的坐标，求得直线的方程，从而求得直线的横纵截距，进而求得面积的表达式，结合基本不等式以及面积的最小值求得的值.
【详解】如图所示，设，，则，
直线与圆相离，则且，
，
以为圆心，半径为的圆的方程为，
整理得，
由两式相减得直线的方程为，
分别令和，则，
又，的面积，
当且仅当时取等号，则.
故选：D
二、多选题
12．（2023秋·山西吕梁·高三统考期末）已知直线，过直线上任意一点作圆的两条切线，切点分别为，则有（ ）
A．长度的最小值为
B．不存在点使得为
C．当最小时，直线的方程为
D．若圆与轴交点为，则的最小值为28
【答案】BD
【分析】由题知圆的圆心为，半径为，进而根据圆的切线问题依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：由题知圆的圆心为，半径为，
对于A，因为圆心到直线的距离为，所以，故，故A错误；
对于B，假设存在点使得为，如图，则，故在中，，由A选项知，故矛盾，即不存在点使得为，故B正确；
对于C，由于,故四边形的面积为，
所以，，故当最小时，最小，由A选项知，此时，，即直线的斜率为，由于直线的斜率为，故C错误；
对于D，由题知，设，则，当且仅当时等号成立，故的最小值为，故D正确；
故选：BD
13．（2022秋·安徽六安·高三六安二中校考阶段练习）瑞士著名数学家莱昂哈德·欧拉在年提出：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ）
A．的“欧拉线”方程为
B．圆上点到直线的最大距离为
C．若点在圆上，则的最小值是
D．圆与圆有公共点，则的取值范围是
【答案】ACD
【分析】根据等腰三角形三线合一的性质确定“欧拉线”为的垂直平分线即可判断A，利用圆的性质求出圆心到直线的距离即可判断B，由题意转化为求出圆心到原点的距离即可判断C，根据两圆的位置关系，列出圆心距与半径和、差的不等关系即可判断D.
【详解】对于A选项，因为，则的外心、重心、垂心都在线段的垂直平分线上，，线段的中点为，所以，的“欧拉线”方程为，即，A对；
对于B选项，圆心，则，圆心到直线的距离为，
所以，圆上点到直线的最大距离为，B错；
对于C选项，记点，因为，则原点在圆外，
所以，的最小值为，C对；
对于D选项，圆的圆心为，半径为，由题意可得，即，解得，D对．
故选：ACD
14．（2022秋·福建泉州·高三福建省南安国光中学校考阶段练习）已知圆（为圆心），直线，点在直线上运动，直线分别与圆切于点．则下列说法正确的是（ ）
A．四边形的面积最小值为
B．最短时，弦长为
C．最短时，弦直线方程为
D．直线过定点为
【答案】AB
【分析】由圆的方程可确定圆心和半径，根据及可知当为圆心到直线距离时，和四边形面积均取得最小值，结合点到直线距离公式和面积桥可求得AB正确；根据可求得方程，并与联立可得点坐标，根据过圆外一点切点弦所在直线方程的求法可求得弦所在直线方程为，并结合此时不在直线上，确定CD错误.
【详解】由圆的方程知：圆心，半径；
对于AB，，
若取得最小值，则取得最小值，
，
当，即为圆心到直线的距离时，最小，即最小，
，，，
此时，解得：，AB正确；
对于CD，设，，
当在点处的切线斜率存在时，其斜率为，则切线方程为：，
即，
，又，
在点处的切线方程为：；
当在点处的切线斜率不存在时，即时，，则切线方程为：，满足；
综上所述：在点处的切线方程为；
同理可得：在点处的切线方程为；
又为两条切线的交点，设，
则满足，
坐标满足方程，
当过作圆两条切线，切点分别为时，直线方程为：，
当最小时，直线方程为：，即，
由得：，即；
此时直线方程为：，即，且此时直线不过点，C错误，D错误.
故选：AB.
15．（2022秋·江苏泰州·高二统考期中）已知圆，直线，为直线上的动点，过点作圆的切线，，切点为A，，则下列说法正确的是（ ）
A．四边形面积的最小值为4
B．线段的最小值为
C．当直线的方程为时，最小
D．若动直线，且交圆于、两点，且弦长，则直线横截距的取值范围为
【答案】ABD
【分析】由切线性质，，，由点到直线距离公式求得圆心到直线的距离，结合四边形面积计算判断AB，当方程为时，由对称性求得，求出，然后再取一特殊值得出比此时的小可判断C，由弦长求出圆心到弦的距离的范围，从而设直线方程为后可求得的范围，从而可得横截距范围判断D．
【详解】圆的圆心，半径为，
可知，，，
，
当取最小值时，四边形面积取得最小值，
此时，
所以四边形面积的最小值为，故A正确；
又圆心到直线的距离，
所以当取得最小值时，，
可得，故最小值，故B正确；
当直线的方程为时，，，则，
所以直线与直线垂直，又是中点，，，
所以，则，
所以，
易得四边形是正方形，此时=，而当时，直角三角形中，，，故C错误；
设M到直线的距离为，因为，且，
所以，则，
设，所以，即，
解得，
所以直线的横截距的取值范围为，故D正确．
故选：ABD．
三、填空题
16．（2022秋·天津津南·高二天津市咸水沽第一中学校考期末）点P是直线上的动点，过点P作圆的两条切线PA和PB，A和B是切点，的最大值是，则r的值______．
【答案】2
【分析】由切线性质得出最大时，与圆心连线垂直于直线，然后由最大值求得圆半径．
【详解】如图，设圆心为，，当圆固定时，取最小值时，最大，是锐角，从而最大，
由已知，，
由题意最大值为，此时，，
故答案为：2．
17．（2022秋·江苏泰州·高二统考阶段练习）点在圆：上，，，则最小时，______.
【答案】4
【分析】数形结合，易得当直线与圆相切时最小，求得此时.
【详解】
如图所示，由题意圆：的圆心，半径，
当直线与圆相切时，即为切点时，最小，
此时与轴平行，，.
故答案为：4.
18．（2022秋·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知圆，M是直线l：上的动点，过点M作圆O的两条切线，切点分别为A，B，则的最小值为______.
【答案】3
【分析】画出图形，设,利用数量积公式将转化为求的最小值，从而分析图形可知当 时, 这时最小，即 最小.
【详解】设, 则 ,
可知当 时, 最小且 最大, 最小, 这时 最小.
设点 到直线 的距离为 , 则 .
因为圆 的半径为 , 所以当 时, , 可得 ,
所以 的最小值为3.
故答案为：3 .
19．（2022秋·湖北·高二校联考阶段练习）已知实数满足，则的最大值为__________.
【答案】1
【分析】由曲线方程画出曲线所表示的图形，将看作曲线上的点与坐标为的点连线的斜率，求出最大值.
【详解】由“”和“”代入方程仍成立，所以曲线关于x轴和y轴对称，故只需考虑，的情形，
此时方程为，即，所以的轨迹如下图，
，表示点和连线的斜率，由图可知，当曲线第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大.
设：，则，解得或（舍去），
所以的最大值为1.
故答案为：1.
20．（2022秋·山东菏泽·高二校考期中）在平面直角坐标系中，过轴上的点分别向圆和圆引切线，记切线长分别为、.则的最小值为__________.
【答案】
【分析】设点，求出、的表达式，利用代数式的几何意义以及数形结合思想可求得的最小值.
【详解】圆的圆心为，半径为；圆的圆心为，半径为.
设点，则，
所以，的几何意义是点到点的距离，
，
所以，的几何意义是点到点的距离，如下图所示：
，
当且仅当点为线段与轴的交点时，等号成立，故的最小值为.
故答案为：.
21．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆一中校考阶段练习）已知点为直线上的动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.则点到直线的距离的最大值为___________.
【答案】
【分析】设，，，先求出直线的方程是，再证明直线恒过定点，即得解.
【详解】设，，，
由题得，
又，所以，同理.
即直线的方程是，
因为，则，代入得，则直线恒过定点，
所以点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最大值为.
故答案为：.
22．（2022秋·吉林长春·高三长春市第二实验中学校考阶段练习）若圆关于直线对称，则过点作圆C的切线，切线长的最小值是________．
【答案】12
【分析】确定圆心和半径，根据已知可得点在直线上，由此可推出当到直线的距离最短时，所求弦长最小，结合点到直线的而距离公式即可求得答案.
【详解】将圆C的方程化成标准方程为，圆心为，半径为9，
因为圆C关于直线对称，所以圆心位于该直线上，
将圆心坐标代入直线方程中，有,
即点在直线上，
设，过点D作圆C的切线，切点为E，则，
要使得切线长最短，则只需最短,
的最小值为点C到直线的距离，
此时，所以根据勾股定理，得,
即切线长的最小值是12，
故答案为：12
23．（2022·高二课时练习）已知圆，从点观察点，要使视线不被圆C挡住，则a的取值范围是______．
【答案】
【分析】先求过点的圆的切线，再求其与的交点可得a的取值范围.
【详解】设过点与圆相切的直线为，
则圆心（0，0）到直线的距离为，解得，
故切线方程为，
设两条切线分别与直线交于M，N（不妨令M在x轴上方）．
当点B位于点M上方或点N下方时，满足题意．
将代入，得，故点M的坐标为；
将代入，得，故点N的坐标为．
故a的取值范围是，
故答案为：
四、解答题
24．（2022秋·安徽滁州·高二校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知圆：．
(1)若直线：恒过圆内一定点，求过点的最短弦所在直线的方程；
(2)从圆外一点向圆引一条切线，切点为，且有，求的最小值．
【答案】(1)；
(2)．
【分析】（1）首先求出直线所过定点，然后分析出最短弦与垂直，求出斜率，写出直线即可；
（2）根据题意得到，即，即，化简得到的轨迹方程为，求出点到上述直线的距离即为 最小值.
【详解】（1）直线的方程变形为，
令，解得，
所以无论取何值，直线过定点，
又因为圆的圆心，
因为过点的最短弦与垂直，且直线CM的斜率，
所以最短弦所在直线的斜率为，
故最短弦的直线方程为，即；
（2）由于，
所以，
又，
所以，
所以，化简得，
所以点的轨迹方程为，
因为，
所以取得最小值，即取得最小值，
点到直线的距离，
即的最小值为．
25．（2021秋·山东聊城·高二山东聊城一中校考期中）已知，直线被圆所截得的弦长为，且P为圆C上任意一点.
(1)求m的值；
(2)当时，求的最大值与最小值，以及过坐标原点与圆C相切的直线的方程.
【答案】(1)或
(2)的最大值与最小值分别为，切线方程为
【分析】（1）根据圆的圆心到直线的距离列方程，由此求得的值.
（2）根据点和圆的位置关系求得的最大值与最小值；先判断出在圆上，利用斜率求得所求的切线方程.
【详解】（1）∵直线被圆所截得的弦长为，
∴圆心到直线的距离.
解得或.
（2）当时，，圆C的方程为，
圆心为，半径为，
，
的最大值与最小值分别为.
∵
坐标原点在圆C上，
由于，所以切线的斜率为.
∴所求切线的方程为，即.
26．（2022·高二单元测试）已知点在圆：上运动．试求：
(1)的最值；
(2)的最值；
【答案】(1)最大值为，最小值为；
(2)最大值为，最小值为．
【分析】（1）依题意可得表示到定点的距离的平方，求出，即可求出的取值范围，即可得解；
（2）依题意表示圆上的点与点的连线的斜率，结合图形，可得直线与圆相切时取得临界值，设直线解析式为，利用圆心到直线的距离等于半径得到方程，即可求出的取值范围，从而得解；
（1）
解：设圆的圆心为，半径，点在圆上，
所以表示到定点的距离的平方，因为，所以，即，所以，即的最大值为，最小值为；
（2）
解：点在圆上，则表示圆上的点与点的连线的斜率，根据题意画出图形，当与（或重合时，直线与圆相切，
设直线解析式为，即，
圆心到直线的距离，即，解得，
，即，
的最大值为，最小值为．
27．（2022秋·山东济南·高二统考期中）已知圆C：．
(1)过点向圆C作切线l，求切线l的方程；
(2)若Q为直线m：上的动点，过Q向圆C作切线，切点为M，求的最小值．
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）按斜率存在和不存在两种情形分类求解，斜率存在时设出直线方程，由圆心到直线的距离等于半径求得参数值；
（2）确定直线与圆相离，由切线长公式最小即可，只要 求得圆心到直线的距离（为最小值）即可得切线长的最小值．
【详解】（1）若切线l的斜率不存在，则切线l的方程为．
若切线l的斜率存在，设切线l的方程为，即．
因为直线l与圆C相切，所以圆心到l的距离为2，即，解得，
所以切线l的方程为，即．
综上，切线l的方程为或．
（2）圆心到直线的距离为，直线m与圆C相离，
因为，所以当最小时，有最小值．
当时，最小，最小值为，
所以的最小值为．
28．（2022秋·重庆沙坪坝·高二重庆八中校考期中）已知圆.
(1)若圆与直线相切，求的值；
(2)已知点，过点作圆C的切线，切点为，再过作圆的切线，切点为，若，求的最小值.
【答案】(1)或
(2)
【分析】（1）利用圆的圆心到与直线等于半径可得答案；
（2）设点，求出，，利用，可得点所在直线方程，
的最小值即为点到所求直线的距离可得答案.
【详解】（1）圆的圆心为半径为，
因为圆与直线相切，
所以，解得或；
（2）圆的圆心为半径为，
的圆心为半径为，
设点，由题意可得，，
因为，所以，
整理得，
因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，
因为到直线的距离为，所以直线与圆相离，
即点在直线上，
的最小值即为点到直线距离.
29．（2022秋·河北张家口·高三统考期末）已知动圆过定点,且在轴上截得的弦的长为12,该动圆的圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的方程;
(2)点是曲线上横坐标大于2的动点,过点作圆的两条切线分别与轴交于点,求面积的最小值．
【答案】(1)
(2)
【分析】(1)设曲线上任一点为,根据题意,利用半径及弦的长为12建立等式,化简即可;
(2)设出点坐标及的直线方程,求出两点坐标,根据与圆相切,建立等式,根据两个等式形式统一,可化为关于的二次函数且为其两根,利用韦达定理写出之间的关系,写出面积公式,将之间的关系代入化简可得关于的式子,设新函数,求导求单调性,即可求出最值.
【详解】（1）解:由题知,记曲线上任一点为,
即动圆的圆心的坐标为,
由于动圆过定点,
则半径①,
由于动圆在轴上截得的弦的长为12,
则②,
①②联立,消去即可得:
,
即,
故曲线的方程为:;
（2）由题设,
则,且,
设
令,可得,
设,
令,可得,
由于直线与圆相切,
所以,
化简可得:,
由于直线与圆相切,
同理可得:,
故是方程的两个根,
所以,,且,
故
因为,
所以
,
设,
则,
所以当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
即当时,取最小值,
此时取最小值,最小值为.
30．（2022秋·广东深圳·高二红岭中学校考期中）如图，已知圆，点为直线上一动点，过点引圆的两条切线，切点分别为.
(1)求直线的方程，并写出直线所经过的定点坐标；
(2)求线段中点的轨迹方程（不必写出的取值范围）；
(3)若两条切线与轴分别交于两点，求的最小值.
【答案】(1)，定点
(2)
(3)
【分析】（1）计算以为圆心，为半径的圆方程，与圆的方程相减得到直线方程.
（2）线段的中点为，根据得到在以为直线的圆上，计算圆心的半径即可.
（3）设出切线方程，根据相切得到，根据韦达定理得到根与系数的关系，计算，得到最值.
【详解】（1）圆，即，圆心，半径，
，，
故以为圆心，为半径的圆方程为：，
即，
故直线的方程为，
化简得到，直线过定点
（2）设线段的中点为，则，即在以为直线的圆上，
圆心为，即，半径为
故的轨迹方程为：.
（3）设切线方程为 , 即 ，
故到直线 的距离，即，
设的斜率分别为，由韦达定理可得 ，，
把代入，得，
则，
故当时，取得最小值为.