资料中包含下列文件，点击文件名可预览资料内容
还剩4页未读，
继续阅读
成套系列资料，整套一键下载
- 通关练06 直线的对称和最值问题的综合-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 通关练07 动直线的恒过定点问题及其应用-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 通关练09 圆的切线与最值的综合-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 通关练10 椭圆焦点三角形及其应用-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
- 通关练11 椭圆的离心率及其应用-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册) 试卷 0 次下载
通关练08 与圆有关的轨迹问题-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)
展开
这是一份通关练08 与圆有关的轨迹问题-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含通关练08与圆有关的轨迹问题原卷版docx、通关练08与圆有关的轨迹问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
一、单选题
1．（2022秋·安徽蚌埠·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24
C．当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线
D．在C上存在点M，使得
【答案】C
【分析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假．
【详解】对A，由可得，化简得，
即，A错误；
对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；
对C ，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；
对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误．
故选：C．
2．（2022秋·安徽六安·高二校考期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹方程，再求出点P到直线AB距离的最大值即可计算作答.
【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，设点，由得：，即，
整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
故选：B
3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）阿波罗尼斯研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到，的距离之比为，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，依题意求出点的轨迹方程，进而可求点到直线的距离的最小值．
【详解】解：由题意，设，由，，
因为，所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
4．（2022秋·山东德州·高二统考期末）已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
5．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期末）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
6．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.
【详解】设，，的中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
问题转化为圆与圆有交点，
所以，，即，解得：，
所以线段长度的最小值为.
故选：C
7．（2022春·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考期末）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值．
【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
8．（2022秋·江苏苏州·高二统考期末）已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（ ）
A．（-1，0）B．（1，4）
C．（0，6）D．（-1，5）
【答案】D
【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.
【详解】解：设，AB的中点，则，所以，
又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，
因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，
又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，
整理得，即，解得，
所以点B的横坐标的取值范围是，
故选：D.
9．（2022秋·四川内江·高二统考期末）已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，
又因为且，故四边形为正方形，
圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，
所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，
故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.
故选：D.
10．（2022秋·四川宜宾·高二统考期末）已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.
【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，
由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.
故选：D.
11．（2022秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出点满足的关系式，然后利用圆的方程满足的条件结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
【详解】两点，，设，
由，可得，整理得，
当时，，故点为定点，不是圆，所以充分性不成立，
当动点的轨迹是圆，则，故必要性成立，
所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.
故选：B
12．（2022秋·江西抚州·高二统考期末）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，则.
故选：A.
二、多选题
13．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是圆
B．的最小值为6
C．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是
D．使为整数的直线共有16条
【答案】ABD
【分析】根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可.
【详解】因为直线恒过点，所以，点在以为直径的圆上，则点的轨迹是圆，故A正确；
易知圆心到直线的距离最大值，故的最小值为，最大值为，故B正确；
由题知圆，直线过点，圆上仅有三个点到直线的距离为5，
因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为2，
当斜率存在时，设直线为，即，
又因为圆心到直线的距离为，解得，
所以的方程是 ，
当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，满足题意，故C错误；
由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有（条），故D正确.
故选：ABD.
14．（2022秋·江苏镇江·高二统考期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】先求动点的轨迹，再利用圆与圆的位置关系可求的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】设，则
因为，故即，
故的轨迹为圆（原点为圆心，半径为，不含两点），
因为分别在第二象限和第四象限，而圆在第一象限，
又在圆上，故圆与圆有公共点，
所以即，
解得，
故选：CD.
15．（2022秋·山东济南·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.
【详解】由题意，设点，
又，
所以，
化简可得，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确；
又点满足，
所以，B选项正确；
点到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误；
由D选项可知圆与圆有公共点，所以，
且，
即，
所以，D选项正确；
故选：ABD.
16．（2022春·福建厦门·高二统考期末）已知动圆，，则（ ）
A．圆C与圆相切
B．圆C与直线相切
C．圆C上一点M满足，则M的轨迹的长度为
D．当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1
【答案】AD
【分析】A选项，得到圆C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内切；
B选项，求出圆心到直线距离不一定等于1，故B错误；
C选项，设出，得到M的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为；
D选项，求出圆C与坐标轴交点坐标，得到，从而得到面积的最大值.
【详解】圆C的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，因为，所以两圆内切，A正确；
圆心到直线的距离为，
不一定等于1，故圆C与直线不一定相切，B错误；
设，则，
所以，所以，
所以点M的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为，C错误；
D选项，令得：，解得：或，
令得：，解得：或，
所以圆C与坐标轴交于不同的三点，分别记为，
则这三点构成的三角形面积，
当或时，三角形面积取得最大值，最大值为1，D正确
故选：AD
17．（2022春·全国·高二校联考期末）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点M的轨迹是圆B．的最小值为6
C．使为整数的直线l共有9条D．使为整数的直线l共有16条
【答案】ABD
【分析】对A，，利用圆的性质即可判断M的轨迹；
对B， ，，讨论即可；
对C、D，利用圆的对称性，即过定点最短弦与最长弦的唯一性即可计算
【详解】因为直线l恒过点，且点M为弦PQ的中点，所以，则易得点M的轨迹是圆，故A对；
圆心O到直线l的距离为，故当时有最大值，即，故的最小值为，故B对；
由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线l有（条），故C错，D对.
故选：ABD
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知直线l：与圆O：交于A，B两点，则（ ）
A．线段AB的长度为定值B．圆O上总有3个点到l的距离为2
C．直线l的倾斜角为D．线段AB的中点轨迹方程为
【答案】ABD
【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦AB的长；
对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为3，从而可得圆上只有3个点到直线的l距离为2；
对于C，对于D，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段AB的中点到圆心O（0，0）的距离为1，从而可得结论；当α≠0时，设直线的倾斜角为θ，则，即tanθ＝tan（），当α＞时，直线的倾斜角θ≠＋α．
【详解】对于A，因为圆O：的圆心为O（0，0），半径为r＝3，
所以圆心O（0，0）到直线l：的距离，
所以，故A正确；
对于B，由于圆心O到直线l的距离d＝1，圆的半径r＝3，所以圆O上总有3个点到l的距离为2，故B正确；
对于C，当α＝0时，则csα＝l，sinα＝0，此时直线为x＝1，则直线的倾斜角为，满足＋α；
当α≠0时，由，得直线l的斜率为k＝，
设直线的倾斜角为θ，则，即tanθ＝tan（），当时，直线的倾斜角，
而当α＞时，直线的倾斜角θ≠＋α，故C错误，
对于D，由于圆心到直线的距离为d＝1，所以线段AB的中点到圆心O的距离为1，
所以线段AB的中点轨迹是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆，即方程为，故D正确．
故选：ABD
19．（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则（ ）
A．点的轨迹方程为B．面积最大时
C．最大时，D．到直线距离最小值为
【答案】ABD
【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；
根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B正确；
当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；
求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.
【详解】设，由得：，即，
化简可得：，即点轨迹方程为，A正确；
直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，
，面积最大为，此时，
，B正确；
当最大时，则为圆的切线，
，C错误；
直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
点到直线距离最小值为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
20．（2022春·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考期末）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
【答案】
【分析】设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果.
【详解】设，则，整理可得：；
，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，.
故答案为：.
21．（2022秋·吉林·高二吉林省实验校考期末）动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.
【答案】##
【分析】设，中点，根据中点坐标公式求出，代入圆的标准方程即可得出结果.
【详解】设，中点，则，即，
因为在圆上，代入得．
故答案为：.
22．（2022春·河北张家口·高二校联考期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】建系处理，由可求得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，根据三点共线结论：若三点共线，则，根据题意三点共线整理可得，结合图形得，则当与圆在处相切时，最小，最大，运算求解．
【详解】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
23．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）已知、为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由题意利用中点坐标公式化简可得，即得点P的轨迹方程为圆 ，将化为，即可利用点到直线的距离公式求得上一点到直线的最短距离，即可求得答案.
【详解】根据题意，、，且为弦的中点，
则,则有 ，
变形可得∶ ，
又由、为圆上的两点，，
则 ,则，即，
即点P的轨迹方程为圆；
又，
其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又由圆的圆心到直线的距离为 ，
可得上一点到直线的距离的最小值为 ，
则的最小值为
故的最小值为，
故答案为：.
24．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期末）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
【详解】设，则，
整理得．
设，．联立
整理得，
故①，②．
又，故③．
联立①②③，解得．
故答案为：
25．（2022秋·广东佛山·高二统考期末）已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______．
【答案】
【分析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.
【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，
依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，
因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，
于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：
令，于是得，当，即时，，
所以Q点纵坐标的最大值为.
故答案为：
四、解答题
26．（2022秋·广东中山·高二统考期末）已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
（2）解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
27．（2022秋·福建龙岩·高二统考期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
（1）
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点的轨迹方程为
（2）
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：
28．（2022秋·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考期末）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)x＝1或y＝1.
【分析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
(1)
设线段中点为，点，
，，
，，
，
即点C的轨迹方程为.
(2)
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
29．（2022秋·山西晋中·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程.
（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.
(1)
，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
30．（2022秋·湖北荆州·高二沙市中学统考期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.
（1）
设,则，，故，两边平方得：
（2）
当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
31．（2022秋·湖北·高二校联考期末）已知线段的端点，端点A在圆上运动.
(1)点在线段上，且，求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹相交，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用相关点法即可求得点的轨迹方程；
（2）利用直线与圆相交列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）设点、，
由题意可得，即，可得，
因为点A在圆上，所以，
即，化简可得，
故点的轨迹方程为.
（2）由（1）得点的轨迹方程为，
此圆圆心坐标为，半径为.
由直线与点的轨迹相交，可得，
解之得，则实数的取值范围为.
32．（2022秋·内蒙古包头·高二包头市第九中学校考期末）已知圆：，点是坐标原点，是圆上一动点．
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)设是（1）中轨迹上一点，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值：；最小值：
【分析】（1）设出中点并确定其与的关系，代入圆的方程即可；
（2）明确的几何意义，利用点与圆的位置关系即可求解.
【详解】（1）设点，，
为线段的中点，
，即，
是圆上一动点，
，
，即
所以线段的中点的轨迹方程为：.
（2），
可以看作点与的距离的平方再减4，
只要求得圆的圆心到的距离，
就可以求得点与的距离的最大值与最小值.
，
与的距离的最大值为：，
与的距离的最小值为：
的最大值为：，
的最小值为：
一、单选题
1．（2022秋·安徽蚌埠·高二统考期末）古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得､阿基米德齐名.他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值的点的轨迹是圆”.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.在平面直角坐标系中，，点P满足，设点P的轨迹为C，下列结论正确的是（ ）
A．C的方程为
B．当A，B，P三点不共线时，面积的最大值为24
C．当A，B，P三点不共线时，射线是的角平分线
D．在C上存在点M，使得
【答案】C
【分析】根据题意可求出C的方程为，即可根据题意判断各选项的真假．
【详解】对A，由可得，化简得，
即，A错误；
对B，当A，B，P三点不共线时，点到直线的最大距离为，所以面积的最大值为，B错误；
对C ，当A，B，P三点不共线时，因为，所以射线是的角平分线，C正确；
对D，设，由可得点的轨迹方程为，而圆与圆的圆心距为，两圆内含，所以这样的点不存在，D错误．
故选：C．
2．（2022秋·安徽六安·高二校考期末）古希腊几何学家阿波罗尼斯证明过这样一个命题：平面内到两定点距离之比为常数的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.若平面内两定点A，B的距离为2，动点Р满足，若点Р不在直线AB上，则面积的最大值为（ ）
A．1B．C．2D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，求出点P的轨迹方程，再求出点P到直线AB距离的最大值即可计算作答.
【详解】以点A为原点，直线AB为x轴建立平面直角坐标系，如图，
则，设点，由得：，即，
整理得：，因此点P的轨迹是以点为圆心，为半径的圆，则P到直线AB距离的最大值为，
所以面积的最大值为.
故选：B
3．（2022秋·山东菏泽·高二校考期末）阿波罗尼斯研究发现：如果一个动点P到两个定点的距离之比为常数（，且），那么点P的轨迹为圆，这就是著名的阿波罗尼斯圆．若点C到，的距离之比为，则点C到直线的最小距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，依题意求出点的轨迹方程，进而可求点到直线的距离的最小值．
【详解】解：由题意，设，由，，
因为，所以，即，
所以点的轨迹为以为圆心，半径的圆，
又点到直线的距离，
所以点到直线的距离的最小值为．
故选：A．
4．（2022秋·山东德州·高二统考期末）已知圆，过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，若O为坐标原点，则最大值为（ ）．
A．3B．4C．5D．6
【答案】C
【分析】由题意，点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
进而可得，所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，从而即可求解.
【详解】解：由题意，圆，所以圆C是以为圆心，半径为5的圆，
因为过点P的直线l被圆C所截，且截得最长弦的长度与最短弦的长度比值为5∶4，
所以点P在圆C内，且最长弦的长度为直径长10，则最短弦的长度为8，
所以由弦长公式有，
所以点P的轨迹为以C为圆心，半径为3的圆，
所以，
故选：C.
5．（2022秋·吉林四平·高二四平市第一高级中学校考期末）已知点，，，动点P满足，则的取值范围为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】由题设分析知的轨迹为(不与重合)，要求的取值范围，只需求出到圆上点的距离范围即可.
【详解】由题设，在以为直径的圆上，令，则(不与重合)，
所以的取值范围，即为到圆上点的距离范围，
又圆心到的距离，圆的半径为2，
所以的取值范围为，即.
故选：C
6．（2022秋·江苏南通·高二统考期末）在平面直角坐标系中，线段的两端点，分别在轴正半轴和轴正半轴上滑动，若圆上存在点是线段的中点，则线段长度的最小值为 （ ）
A．4B．6C．8D．10
【答案】C
【分析】首先求点的轨迹，将问题转化为两圆有交点，即根据两圆的位置关系，求参数的取值范围.
【详解】设，，的中点为，则，
故点的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，
问题转化为圆与圆有交点，
所以，，即，解得：，
所以线段长度的最小值为.
故选：C
7．（2022春·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考期末）如图，P为圆O：x2+y2＝4外一动点，过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，直线OP与AB相交于点Q，点M（3，），则|MQ|的最小值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】利用平面几何知识得点轨迹是圆，然后求出与圆心距离减去半径得最小值．
【详解】解：过点P作圆O的切线PA，PB，切点分别为A，B，∠APB＝120°，
由圆与切线的平面几何性质知，∠APO＝60°，又|OA|＝2，则可得|OP|＝
在直角中，，由得，
∴Q点的轨迹是以O为圆心，为半径的圆，方程为x2+y2＝3；
|MQ|的最小值即为|OM|﹣r＝﹣＝．
故选：A．
8．（2022秋·江苏苏州·高二统考期末）已知线段AB的端点B在直线l：y=-x+5上，端点A在圆C1：上运动，线段AB的中点M的轨迹为曲线C2，若曲线C2与圆C1有两个公共点，则点B的横坐标的取值范围是（ ）
A．（-1，0）B．（1，4）
C．（0，6）D．（-1，5）
【答案】D
【分析】设，AB的中点，由中点坐标公式求得，代入圆C1：得点点M的轨迹方程，再根据两圆的位置关系建立不等式，代入，求解即可得点B的横坐标的取值范围.
【详解】解：设，AB的中点，则，所以，
又因为端点A在圆C1：上运动，所以，即，
因为曲线C2与圆C1有两个公共点，所以，
又因B在直线l：y=-x+5上，所以，所以，
整理得，即，解得，
所以点B的横坐标的取值范围是，
故选：D.
9．（2022秋·四川内江·高二统考期末）已知圆，为圆外的任意一点，过点引圆的两条切线、，使得，其中、为切点．在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】连接、、，分析可知四边形为正方形，求出点的轨迹方程，分析可知线段所扫过图形为是夹在圆和圆的圆环，利用圆的面积公式可求得结果.
【详解】连接、、，由圆的几何性质可知，，
又因为且，故四边形为正方形，
圆心，半径为，则，故点的轨迹方程为，
所以，线段扫过的图形是夹在圆和圆的圆环，
故在点运动的过程中，线段所扫过图形的面积为.
故选：D.
10．（2022秋·四川宜宾·高二统考期末）已知平面直角坐标系内一动点P，满足圆上存在一点Q使得，则所有满足条件的点P构成图形的面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】先找临界情况当PQ与圆C相切时，，进而可得满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），即求.
【详解】当PQ与圆C相切时，，这种情况为临界情况，当P往外时无法找到点Q使，当P往里时，可以找到Q使，故满足条件的点P形成的图形为大圆（包括内部），如图，
由圆，可知圆心，半径为1，则大圆的半径为，
∴所有满足条件的点P构成图形的面积为.
故选：D.
11．（2022秋·内蒙古包头·高二统考期末）已知两点，.若动点M满足，则“”是“动点M的轨迹是圆”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】先求出点满足的关系式，然后利用圆的方程满足的条件结合充分条件与必要条件的定义进行判断即可.
【详解】两点，，设，
由，可得，整理得，
当时，，故点为定点，不是圆，所以充分性不成立，
当动点的轨迹是圆，则，故必要性成立，
所以“”是“动点的轨迹是圆”的必要不充分条件.
故选：B
12．（2022秋·江西抚州·高二统考期末）已知直线l与圆交于A，B两点，点满足，若AB的中点为M，则的最大值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】设，，则、，由点在圆上可得，再由向量垂直的坐标表示可得，进而可得M的轨迹为圆，即可求的最大值.
【详解】设，中点，则，，
又，，则，
所以，
又，则，而，，
所以，即，
综上，，整理得，即为M的轨迹方程，
所以在圆心为，半径为的圆上，则.
故选：A.
二、多选题
13．（2022秋·福建泉州·高二福建省永春第一中学校考期末）已知圆，直线过点，且交圆于两点，点为线段的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点的轨迹是圆
B．的最小值为6
C．若圆上仅有三个点到直线的距离为5，则的方程是
D．使为整数的直线共有16条
【答案】ABD
【分析】根据直线与圆的关系，结合题目给的条件逐一判断选项对错即可.
【详解】因为直线恒过点，所以，点在以为直径的圆上，则点的轨迹是圆，故A正确；
易知圆心到直线的距离最大值，故的最小值为，最大值为，故B正确；
由题知圆，直线过点，圆上仅有三个点到直线的距离为5，
因为圆心为，半径为，所以圆心到直线的距离为2，
当斜率存在时，设直线为，即，
又因为圆心到直线的距离为，解得，
所以的方程是 ，
当斜率不存在时，直线为，此时圆心到直线的距离为，满足题意，故C错误；
由最短弦与最长弦有唯一性，而长度介于两者之间的弦有对称性可知，使为整数的直线有（条），故D正确.
故选：ABD.
14．（2022秋·江苏镇江·高二统考期末）已知圆和两点，若圆上存在点，使得，则可能的取值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】CD
【分析】先求动点的轨迹，再利用圆与圆的位置关系可求的取值范围，从而可得正确的选项.
【详解】设，则
因为，故即，
故的轨迹为圆（原点为圆心，半径为，不含两点），
因为分别在第二象限和第四象限，而圆在第一象限，
又在圆上，故圆与圆有公共点，
所以即，
解得，
故选：CD.
15．（2022秋·山东济南·高二统考期末）数学著作《圆锥曲线论》中给出了圆的一种定义：平面内，到两个顶点，距离之比是常数的点的轨迹是圆.若两定点，，动点满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点的轨迹围成区域的面积为
B．面积的最大值为
C．点到直线距离的最大值为
D．若圆上存在满足条件的点，则半径的取值范围为
【答案】ABD
【分析】根据直接法求点的轨迹方程，再根据直线与圆的位置关系及圆与圆的位置关系分别判断各选项.
【详解】由题意，设点，
又，
所以，
化简可得，
所以点的轨迹为以点为圆心，为半径的圆，
所以点的轨迹围成的区域面积为，A选项正确；
又点满足，
所以，B选项正确；
点到直线的距离，
所以直线与圆相离，所以点到直线距离的最大值为，C选项错误；
由D选项可知圆与圆有公共点，所以，
且，
即，
所以，D选项正确；
故选：ABD.
16．（2022春·福建厦门·高二统考期末）已知动圆，，则（ ）
A．圆C与圆相切
B．圆C与直线相切
C．圆C上一点M满足，则M的轨迹的长度为
D．当圆C与坐标轴交于不同的三点时，这三点构成的三角形面积的最大值为1
【答案】AD
【分析】A选项，得到圆C的圆心和半径，求出两圆圆心距等于半径之差，从而两圆内切；
B选项，求出圆心到直线距离不一定等于1，故B错误；
C选项，设出，得到M的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为；
D选项，求出圆C与坐标轴交点坐标，得到，从而得到面积的最大值.
【详解】圆C的圆心为，半径为1，圆的圆心为，半径为2，因为，所以两圆内切，A正确；
圆心到直线的距离为，
不一定等于1，故圆C与直线不一定相切，B错误；
设，则，
所以，所以，
所以点M的轨迹为以点为圆心，1为半径的圆，其周长为，C错误；
D选项，令得：，解得：或，
令得：，解得：或，
所以圆C与坐标轴交于不同的三点，分别记为，
则这三点构成的三角形面积，
当或时，三角形面积取得最大值，最大值为1，D正确
故选：AD
17．（2022春·全国·高二校联考期末）已知圆，直线l过点，且交圆O于P，Q两点，点M为线段PQ的中点，则下列结论正确的是（ ）
A．点M的轨迹是圆B．的最小值为6
C．使为整数的直线l共有9条D．使为整数的直线l共有16条
【答案】ABD
【分析】对A，，利用圆的性质即可判断M的轨迹；
对B， ，，讨论即可；
对C、D，利用圆的对称性，即过定点最短弦与最长弦的唯一性即可计算
【详解】因为直线l恒过点，且点M为弦PQ的中点，所以，则易得点M的轨迹是圆，故A对；
圆心O到直线l的距离为，故当时有最大值，即，故的最小值为，故B对；
由过定点最短弦与最长弦有唯一性，以及长度在最短弦与最长弦之间的弦有对称性可知，使为整数的直线l有（条），故C错，D对.
故选：ABD
18．（2022秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨市第六中学校校考期末）已知直线l：与圆O：交于A，B两点，则（ ）
A．线段AB的长度为定值B．圆O上总有3个点到l的距离为2
C．直线l的倾斜角为D．线段AB的中点轨迹方程为
【答案】ABD
【分析】对于A，先求出圆心到直线的距离，再利用弦、弦心距和半径的关系可求出弦AB的长；
对于B，由于圆心到直线的距离为1，而圆的半径为3，从而可得圆上只有3个点到直线的l距离为2；
对于C，对于D，由选项A可知圆心到直线的距离为1，即线段AB的中点到圆心O（0，0）的距离为1，从而可得结论；当α≠0时，设直线的倾斜角为θ，则，即tanθ＝tan（），当α＞时，直线的倾斜角θ≠＋α．
【详解】对于A，因为圆O：的圆心为O（0，0），半径为r＝3，
所以圆心O（0，0）到直线l：的距离，
所以，故A正确；
对于B，由于圆心O到直线l的距离d＝1，圆的半径r＝3，所以圆O上总有3个点到l的距离为2，故B正确；
对于C，当α＝0时，则csα＝l，sinα＝0，此时直线为x＝1，则直线的倾斜角为，满足＋α；
当α≠0时，由，得直线l的斜率为k＝，
设直线的倾斜角为θ，则，即tanθ＝tan（），当时，直线的倾斜角，
而当α＞时，直线的倾斜角θ≠＋α，故C错误，
对于D，由于圆心到直线的距离为d＝1，所以线段AB的中点到圆心O的距离为1，
所以线段AB的中点轨迹是以O（0，0）为圆心，1为半径的圆，即方程为，故D正确．
故选：ABD
19．（2022·全国·高二期末）在平面直角坐标系中，三点，，，动点满足，则（ ）
A．点的轨迹方程为B．面积最大时
C．最大时，D．到直线距离最小值为
【答案】ABD
【分析】根据可求得点轨迹方程为，A正确；
根据直线过圆心可知点到直线的距离最大值为，由此可确定面积最大时，由此可确定B正确；
当最大时，为圆的切线，利用切线长的求法可知C错误；
求得方程后，利用圆上点到直线距离最值的求解方法可确定D正确.
【详解】设，由得：，即，
化简可得：，即点轨迹方程为，A正确；
直线过圆的圆心，点到直线的距离的最大值为圆的半径，即为，
，面积最大为，此时，
，B正确；
当最大时，则为圆的切线，
，C错误；
直线的方程为，则圆心到直线的距离为，
点到直线距离最小值为，D正确.
故选：ABD.
三、填空题
20．（2022春·重庆巴南·高二重庆市实验中学校考期末）已知､､，且动点满足，则取得最小值时，点的坐标是___________.
【答案】
【分析】设，由得点轨迹为；由可知当三点共线且在线段上时取得最小值，联立圆的方程和直线方程即可求得结果.
【详解】设，则，整理可得：；
，
当三点共线且在线段上时，取得最小值，
又直线方程为：，即，
由得：或，
又在线段上，.
故答案为：.
21．（2022秋·吉林·高二吉林省实验校考期末）动点M在圆上移动，则M与定点连线的中点P的轨迹方程为___________.
【答案】##
【分析】设，中点，根据中点坐标公式求出，代入圆的标准方程即可得出结果.
【详解】设，中点，则，即，
因为在圆上，代入得．
故答案为：.
22．（2022春·河北张家口·高二校联考期末）在等腰直角三角形中，，平面上有动点，满足，则的最大值为___________.
【答案】
【分析】建系处理，由可求得点的轨迹为以为圆心，为半径的圆，根据三点共线结论：若三点共线，则，根据题意三点共线整理可得，结合图形得，则当与圆在处相切时，最小，最大，运算求解．
【详解】以为原点，方向分别为轴，轴的正方向建立如图所示平面直角坐标系，则
设，则
故点的轨迹为以为圆心，为半径的圆（如图），设直线交于
则共线得
故当最小时，最大
过点作的平行线交的延长线于点，则
故当与圆在处相切时，最小为，故的最大值为
故答案为：．
23．（2022春·上海奉贤·高二上海市奉贤中学校考期末）已知、为圆上的两点，且，设为弦的中点，则的最小值为______.
【答案】
【分析】由题意利用中点坐标公式化简可得，即得点P的轨迹方程为圆 ，将化为，即可利用点到直线的距离公式求得上一点到直线的最短距离，即可求得答案.
【详解】根据题意，、，且为弦的中点，
则,则有 ，
变形可得∶ ，
又由、为圆上的两点，，
则 ,则，即，
即点P的轨迹方程为圆；
又，
其几何意义为圆上一点到直线的距离的5倍，
又由圆的圆心到直线的距离为 ，
可得上一点到直线的距离的最小值为 ，
则的最小值为
故的最小值为，
故答案为：.
24．（2022秋·广东佛山·高二顺德一中校考期末）已知动点到的距离是到的距离的2倍，记动点的轨迹为，直线：与交于，两点，若（点为坐标原点，表示面积），则___________．
【答案】
【分析】由题意求出的轨迹方程，与直线方程联立，再由面积关系求解
【详解】设，则，
整理得．
设，．联立
整理得，
故①，②．
又，故③．
联立①②③，解得．
故答案为：
25．（2022秋·广东佛山·高二统考期末）已知圆C：和点，若点N为圆C上一动点，点Q为平面上一点且，则Q点纵坐标的最大值为______．
【答案】
【分析】设出点N的坐标，探求出点Q的轨迹，再求出轨迹上在x轴上方且距离x轴最远的点的纵坐标表达式，借助函数最值计算作答.
【详解】圆C：的圆心，半径，圆C与x轴相切，
依题意，点M在圆C上，设点，则，线段MN中点，
因，则点Q的轨迹是以线段MN为直径的圆(除点M，N外)，这个轨迹在x轴上方，
于是得这个轨迹上的点到x轴的最大距离为：
令，于是得，当，即时，，
所以Q点纵坐标的最大值为.
故答案为：
四、解答题
26．（2022秋·广东中山·高二统考期末）已知圆过三个点.
(1)求圆的方程；
(2)过原点的动直线与圆相交于不同的两点，求线段的中点的轨迹.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）设圆的方程为，列出方程组，求得的值，即可求得圆的方程；
（2）根据题意得到，得出在以为直径的圆上，得到以为直径的圆的方程，再联立两圆的方程组，求得交点坐标，即可得到点的轨迹方程.
【详解】（1）解：设圆的方程为，
因为圆过三个点，
可得，解得，
所以圆的方程为，即.
（2）解：因为为线段的中点，且，所以在以为直径的圆上，
以为直径的圆的方程为，
联立方程组，解得或，
所以点的轨迹方程为.
27．（2022秋·福建龙岩·高二统考期末）已知平面直角坐标系上一动点满足：到点的距离是到点的距离的2倍.
(1)求点的轨迹方程；
(2)若点与点关于直线对称，求的最大值.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）直接法求动点的轨迹方程，设点，列方程即可.
（2）点关于直线对称的对称点问题，可以先求出点到直线的距离最值的两倍就是的距离，也可以求出点的轨迹方程直接求解的距离.
（1）
设，由题意，得：
，
化简得，
所以点的轨迹方程为
（2）
方法一：设，因为点与点关于点对称，
则点坐标为，
因为点在圆，即上运动，
所以，
所以点的轨迹方程为，
所以两圆的圆心分别为，半径均为2，
则.
方法二：由可得：
所以点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆
轨迹的圆心到直线的距离为：
28．（2022秋·江西南昌·高二南昌大学附属中学校考期末）已知圆：，点A是圆上一动点，点，点是线段的中点.
(1)求点的轨迹方程；
(2)直线过点且与点的轨迹交于A，两点，若，求直线的方程.
【答案】(1)；
(2)x＝1或y＝1.
【分析】(1)设线段中点为，点，用x，y表示，代入方程即可；
(2)分l斜率存在和不存在进行讨论，根据弦长求出l方程.
(1)
设线段中点为，点，
，，
，，
，
即点C的轨迹方程为.
(2)
直线l的斜率不存在时，l为x＝1，
代入得，则弦长满足题意；
直线l斜率存在时，设直线l斜率为k，其方程为，即，
圆的圆心到l的距离，
则；
综上，l为x＝1或y＝1.
29．（2022秋·山西晋中·高二统考期末）在平面直角坐标系中，已知.
(1)求直线的方程；
(2)平面内的动点满足，到点与点距离的平方和为24，求动点的轨迹方程.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）结合点斜式求得直线的方程.
（2）设，根据已知条件列方程，化简求得的轨迹方程.
(1)
，
于是直线的方程为，即
(2)
设动点，于是，
代入坐标得，
化简得，
于是动点的轨迹方程为
30．（2022秋·湖北荆州·高二沙市中学统考期末）已知点到两个定点的距离比为．
(1)求点的轨迹方程；
(2)若过点的直线被点的轨迹截得的弦长为，求直线的方程．
【答案】(1)
(2)或
【分析】（1）设出，表达出，直接法求出轨迹方程；（2）在第一问的基础上，先考虑直线斜率不存在时是否符合要求，再考虑斜率存在时，设出直线方程，表达出圆心到直线的距离，利用垂径定理列出方程，求出直线方程.
（1）
设,则，，故，两边平方得：
（2）
当直线斜率不存在时，直线为，此时弦长为，满足题意；
当直线斜率存在时，设直线，则圆心到直线距离为，由垂径定理得：，解得：，此时直线的方程为，
综上：直线的方程为或.
31．（2022秋·湖北·高二校联考期末）已知线段的端点，端点A在圆上运动.
(1)点在线段上，且，求点的轨迹方程；
(2)若直线与点的轨迹相交，求实数的取值范围.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）利用相关点法即可求得点的轨迹方程；
（2）利用直线与圆相交列出关于实数的不等式，解之即可求得实数的取值范围.
【详解】（1）设点、，
由题意可得，即，可得，
因为点A在圆上，所以，
即，化简可得，
故点的轨迹方程为.
（2）由（1）得点的轨迹方程为，
此圆圆心坐标为，半径为.
由直线与点的轨迹相交，可得，
解之得，则实数的取值范围为.
32．（2022秋·内蒙古包头·高二包头市第九中学校考期末）已知圆：，点是坐标原点，是圆上一动点．
(1)求线段的中点的轨迹方程；
(2)设是（1）中轨迹上一点，求的最大值和最小值．
【答案】(1)
(2)最大值：；最小值：
【分析】（1）设出中点并确定其与的关系，代入圆的方程即可；
（2）明确的几何意义，利用点与圆的位置关系即可求解.
【详解】（1）设点，，
为线段的中点，
，即，
是圆上一动点，
，
，即
所以线段的中点的轨迹方程为：.
（2），
可以看作点与的距离的平方再减4，
只要求得圆的圆心到的距离，
就可以求得点与的距离的最大值与最小值.
，
与的距离的最大值为：，
与的距离的最小值为：
的最大值为：，
的最小值为：
相关试卷
通关练08 与圆有关的轨迹问题-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)： 这是一份通关练08 与圆有关的轨迹问题-2023-2024学年高二数学期末导与练(人教A版选择性必修第一册)，文件包含通关练08与圆有关的轨迹问题原卷版docx、通关练08与圆有关的轨迹问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共32页， 欢迎下载使用。
通关练15 圆锥曲线的定值问题-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)： 这是一份通关练15 圆锥曲线的定值问题-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含通关练15圆锥曲线的定值问题原卷版docx、通关练15圆锥曲线的定值问题解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共54页， 欢迎下载使用。
通关练07 动直线的恒过定点问题及其应用-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)： 这是一份通关练07 动直线的恒过定点问题及其应用-2023-2024学年高二数学专题高分突破(人教A版选择性必修第一册)，文件包含通关练07动直线的恒过定点问题及其应用原卷版docx、通关练07动直线的恒过定点问题及其应用解析版docx等2份试卷配套教学资源，其中试卷共27页， 欢迎下载使用。
