2024年高考数学重难点突破讲义：专题2　数　列

这是一份2024年高考数学重难点突破讲义：专题2　数　列，共2页。试卷主要包含了四个式子中有一个对即得2分等内容，欢迎下载使用。

(2021·浙江卷)已知数列{an}的前n项和为Sn，a1＝－eq \f(9,4)，且4Sn＋1＝3Sn－9．
(1) 求数列{an}的通项公式；
(2) 设数列{bn}满足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，记{bn}的前n项和为Tn，若Tn≤λbn对任意n∈N*恒成立，求实数λ的取值范围．
【思维引导◎明思路】
【评分标准◎看过程】
(1) 由题意得到①4an＋1＝3an或②an＝a1·qn－1或
③eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a1＝－\f(9,4)，,a2＝－\f(27,16)，,a3＝－\f(81,64)，))(猜，穷举)或④eq \f(Sn＋1＋9,Sn＋9)＝eq \f(3,4)， (2分)
所以{an}的公比为q＝eq \f(3,4)．(4分)
所以an＝－eq \f(9,4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n－1＝－3·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n． (6分)
说明 1．四个式子中有一个对即得2分
2．通项公式若是用不完全归纳法猜的，
没有证明，只要结果正确各得6分
3．eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(4Sn＋1＝…,4Sn＝…))光联立方程不给分
(2) 由(1)知bn＝－eq \f(n－4,3)an＝(n－4)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n，(8分)
所以Tn＝－3×eq \f(3,4)－2×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))2－1×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))3＋0×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))4＋…＋(n－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n，
Tn＝－4n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1．(10分)
由Tn≤λbn得－4n·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n＋1≤λ(n－4)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n恒成立，
即λ(n－4)＋3n≥0恒成立，
所以－3≤λ≤1．(12分)
【老师提醒◎防失误】
考生主要存在的问题情况：
①学生只列举了a1，a2就结束了，没得分．
②公比q算错，不少学生算成eq \f(4,3)的，通项公式中负号遗漏也有不少．
③错位相减法计算出错较多(有不会的，有项数搞错的，对结果不会合并及答案出错)．
④对恒成立问题不会处理，未能转化为最值问题处理．
说明：1．只需把bn代入到Tn中，无论对错，Tn 只要有求和意识(没有用错位相减法也行)，都得2分
2．最终Tn只要出现形如Tn＝kneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,4)))n的形式，无论对错，都得1分(出现kn＋b的形式就不行)
3．λ只要有分离思想，就给2分
4．最后－3≤λ≤1只要有－3或1出现，各给
1分，等号没有也不扣分