2024届江苏如皋高三上学期1月诊断测试数学试题+答案

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2024.1
注意事项（请考生作答前认真阅读以下内容）：
答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、座位号填写在答题卡上，并用 2B 铅笔填涂准考证号.
作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上.
非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上。
考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回.
试卷共4页，共19小题；答题卡共2页.满分150分.考试用时120分钟. 命题：马超
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
抛物线的焦点坐标为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
在等比数列中，，，且前x项和，（ ▲ ）.
A. 4B. 5C. 6D. 7
已知m，n表示两条不同直线，表示平面，则（ ▲ ）.
A. 若，，则B. 若，，则
C. 若，，则D. 若，，则
有5辆车停放6个并排车位，货车甲车体较宽，停靠时需要占两个车位，并且乙车不与货车甲相邻停放，则共有（ ▲ ）种停放方法.
A. 72B. 144C. 108D. 96
已知的边BC的中点为D，点E在所在平面内，且，若，则（ ▲ ）.
A. 5B. 7C. 9D. 11
函数的图象为椭圆轴上方的部分，若，，成等比数列，则点的轨迹是（ ▲ ）.
A. 线段（不包含端点）B. 椭圆一部分
C. 双曲线一部分D. 线段不包含端点和双曲线一部分
已知，，则（ ▲ ）.
A. 3B. C. D. 2
双曲线C：的左、右焦点分别是，，离心率为，点是C的右支上异于顶点的一点，过作的平分线的垂线，垂足是M，，若C上一点T满足，则T到C的两条渐近线距离之和为（ ▲ ）.
A. B. C. D.
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．
已知复数是关于x的方程的两根，则（ ▲ ）.
A. B.
C. D. 若，则
若函数，则（ ▲ ）.
A. 的最小正周期为B. 的图象关于直线对称
C. 的最小值为D. 的单调递减区间为，
设a为常数，，，则（ ▲ ）.
A. B. 恒成立
C. D. 满足条件的不止一个
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．
集合，若A中元素至多有1个，则a的取值范围是 ▲ .
已知圆锥的母线长为2，则当圆锥的母线与底面所成角的余弦值为 ▲ 时，圆锥的体积最大，最大值为 ▲ .
函数的最小值 ▲ .
四、解答题：本题共5小题，共77分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（本小题满分13分）
设，曲线在点处取得极值.
（1）求a；
（2）求函数的单调区间和极值.
（本小题满分15分）
袋中装有5个乒乓球，其中2个旧球，现在无放回地每次取一球检验．
（1）若直到取到新球为止，求抽取次数X的概率分布及其均值；
（2）若将题设中的“无放回”改为“有放回”，求检验5次取到新球个数X的均值．
（本小题满分15分）
如图，在三棱柱中，，，且平面平面
（1）证明：平面平面；
（2）设点P为直线BC的中点，求直线与平面所成角的正弦值.
（本小题满分17分）
已知抛物线E：的焦点为F，若的三个顶点都在抛物线E上，且满足，则称该三角形为“核心三角形”．
（1）设“核心三角形ABC”的一边AB所在直线的斜率为2，求直线AB的方程；
（2）已知是“核心三角形”，证明：三个顶点的横坐标都小于
（本小题满分17分）
对于给定的正整数n，记集合，其中元素称为一个n维向量.特别地，称为零向量.
设，，，定义加法和数乘：，.
对一组向量，，…，，若存在一组不全为零的实数，，…，，使得，则称这组向量线性相关．否则，称为线性无关．
（1）对，判断下列各组向量是线性相关还是线性无关，并说明理由．
①，；
②，，；
③，，，
（2）已知，，线性无关，判断，，是线性相关还是线性无关，并说明理由．
（3）已知个向量，，…，线性相关，但其中任意个都线性无关，证明：
①如果存在等式，则这些系数，，…，或者全为零，或者全不为零；
②如果两个等式，同时成立，其中，则