2024九年级数学下学期期中检测卷（附答案北师大版）

这是一份2024九年级数学下学期期中检测卷（附答案北师大版），共5页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题(每小题3分，共30分)
1．在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝2的是( D )
A．y＝(x＋2)2－3 B．y＝2x2－2 C．y＝－2x2－2 D．y＝2(x－2)2
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5，若cs A＝eq \f(5,13)，则BC的长为( B )
A．8 B．12 C．13 D．18
3．对于二次函数y＝x2－mx＋1，当x≤3时，y随x的增大而减小，则常数m的取值范围为( C )
A．m＝6 B．m＞6 C．m≥6 D．m≤6
4．△ABC在网格中的位置如图所示，AD⊥BC于点D，下列选项中错误的是( C )
A．sinα＝cs α B．tanC＝2 C．sinβ＝cs β D．tanα＝1
eq \(\s\up7(),\s\d5(第4题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第6题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第7题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第8题图))
5．将抛物线C1：y＝x2－2x＋3向左平移1个单位长度后得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的表达式为( A )
A．y＝－x2－2 B．y＝－x2＋2 C．y＝x2－2 D．y＝x2＋2
6．如图所示的是放置在水平地面上的落地式话筒架及其示意图，主杆AB垂直于地面，斜杆CD固定在主杆的点A处，若∠BAC＝α，AB＝120 cm，AD＝40 cm，则话筒夹点D离地面的高度DE为( B )
A．(120＋40sin α)cm B．(120＋40cs α)cm C．(120＋eq \f(40,sin α))cm D．(120＋eq \f(40,cs α))cm
7．如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，以A为圆心，AB的长为半径作圆弧交CD于点E，连接AE，BE，则tan∠AEB的值为( B )
A．2 B．3 C．4 D．5
8．二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图所示，其对称轴为直线x＝－eq \f(1,2)，且与x轴的一个交点坐标为(－2，0).下列结论：①abc＞0；②a＝b；③2a＋c＝0；④关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c－1＝0有两个相等的实数根．其中正确结论的序号是( D )
A．①③B．②④C．③④D．②③
9．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BD⊥CD于点D，∠ABD＝∠A，若BD＝1，AC＝7，则tan∠CBD的值为( B )
A．5 B．2eq \r(6)C．3 D．eq \r(26)
eq \(\s\up7(),\s\d5(第9题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第10题图))
10．如图，在四边形DEFG中，∠E＝∠F＝90°，∠DGF＝45°，DE＝1，FG＝3，Rt△ABC的直角顶点C与点G重合，另一个顶点B(在点C左侧)在射线FG上，且BC＝1，AC＝2.将△ABC沿GF方向平移，点C与点F重合时停止．设CG的长为x，△ABC在平移过程中与四边形DEFG重叠部分的面积为y，则下列图象能正确地反映y与x之间的函数关系的是( B )
eq \(\s\up7(),\s\d5(A)) eq \(\s\up7(),\s\d5(B)) eq \(\s\up7(),\s\d5(C)) eq \(\s\up7(),\s\d5(D))
二、填空题(每小题3分，共15分)
11．已知点P1(－1，y1)，P2(3，y2)，P3(5，y3)均在二次函数y＝ax2－2ax＋c(a＞0)的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是__y1＝y2＜y3__．
12．一人乘雪橇沿坡度为1∶eq \r(3)的斜坡滑下，滑下的距离s(m)与时间t(s)的关系为s＝10t＋2t2，若滑到坡底的时间为4 s，则这个人下降的高度为__36__m.
13．如图，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在二次函数y＝ax2(a＜0)的图象上，且∠1＝15°，则a的值为__－eq \f(\r(2),3)__．
eq \(\s\up7(),\s\d5(第13题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第14题图)) eq \(\s\up7(),\s\d5(第15题图))
14．如图是小明画的卡通图形，每个正六边形的边长都相等，相邻两正六边形的边重合，点A，B，C均为正六边形的顶点，AB与地面BC所成的锐角为β，则tan β的值是__eq \f(19\r(3),15)__．
15．如图，已知点A(4，3)，点B为直线y＝－2上的一动点，点C(0，n)，－2＜n＜3，AC⊥BC于点C，连接AB.若直线AB与x轴正半轴所夹的锐角为α，当sin α的值最大时，n的值为__eq \f(1,2)__．
【解析】过点A分别作AM⊥y轴于点M，AN⊥BN于点N，∵直线y＝－2与x轴平行，∴∠ABN＝α，∴当sin α的值最大时，即tan α＝eq \f(AN,BN)＝eq \f(5,BN)的值最大，即BN的长度最小，BG的长度最大．∵∠CAM＝90°－∠ACM＝∠BCG，∴tan∠CAM＝tan∠BCG，∴eq \f(CM,AM)＝eq \f(BG,CG)，即eq \f(3－n,4)＝eq \f(BG,n＋2)，∴BG＝－eq \f(1,4)(n－3)(n＋2)＝－eq \f(1,4)(n－eq \f(1,2))2＋eq \f(25,16)，∴当n＝eq \f(1,2)时，BG的长度最大，即sin α的值最大．
三、解答题(共75分)
16．(8分)如图，在△ABC中，sin B＝eq \f(1,3)，tan C＝eq \f(\r(2),2)，AB＝3，求AC的长．
解：过点A作AD⊥BC于点D，∵在Rt△ABD中，AD＝AB·sin B＝3×eq \f(1,3)＝1，∴在Rt△ACD中，CD＝eq \f(AD,tan C)＝eq \f(1,\f(\r(2),2))＝eq \r(2)，∴AC＝eq \r(AD2＋CD2)＝eq \r(12＋（\r(2)）2)＝eq \r(3)
17．(8分)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋3(a≠0)与x轴交于A(－3，0)，B(1，0)两点．
(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)若C(m，y1)，D(n，y2)(m＜n)是抛物线y＝ax2＋bx＋3上的两点，若抛物线上点C和点D之间(包含C，D两点)的一动点M的纵坐标的取值范围为－eq \f(9,4)≤yM≤3，求m＋n的值．
解：(1)由题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(9a－3b＋3＝0，,a＋b＋3＝0，)))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,b＝－2，)))∴该抛物线的函数表达式为y＝－x2－2x＋3
(2)∵当y＝－x2－2x＋3＝－eq \f(9,4)时，解得x1＝－eq \f(7,2)，x2＝eq \f(3,2)；当y＝－x2－2x＋3＝3时，解得x3＝－2，x4＝0，∴该抛物线与直线y＝－eq \f(9,4)交于(－eq \f(7,2)，－eq \f(9,4))，(eq \f(3,2)，－eq \f(9,4))两点，与直线y＝3交于(－2，3)，(0，3)两点，∴点C，D的位置有如下2种情况：①如图①，点C(0，3)，点D(eq \f(3,2)，－eq \f(9,4))，∴m＝0，n＝eq \f(3,2)，∴此时m＋n＝0＋eq \f(3,2)＝eq \f(3,2)；②如图②，点C(－eq \f(7,2)，－eq \f(9,4))，点D(－2，3)，∴m＝－eq \f(7,2)，n＝－2，∴m＋n＝－eq \f(7,2)－2＝－eq \f(11,2).综上所述，m＋n的值为eq \f(3,2)或－eq \f(11,2)
如图，将边长为40 cm的正方形硬纸板的四个角各剪掉一个边长为x cm的小正方形后折成一个无盖的长方体盒子(纸板的厚度忽略不计)，设折成的盒子的侧面积为S cm2.
(1)求S与x之间的函数关系式；
(2)求折成的无盖盒子的侧面积的最大值．
解：(1)根据题意可知S与x之间的函数关系式为S＝4(40－2x)x＝－8x2＋160x(0＜x＜20)
(2)∵S＝－8x2＋160x＝－8(x－10)2＋800，0＜x＜20，∴当x＝10时，S最大值＝800，∴折成的无盖盒子的侧面积的最大值为800 cm2
19．(8分)如图，甲、乙两座建筑物的距离BC为78 m，从甲的顶部A处测得乙的顶部D处的俯角为48°，测得底部C处的俯角为58°，求甲、乙建筑物的高度AB和DC(结果取整数，参考数据：tan 48°≈1.11，tan 58°≈1.60).
解：作AE⊥CD交CD的延长线于点E，则四边形ABCE是矩形，∴AE＝BC＝78 m，AB＝CE，∴在Rt△ACE中，EC＝AE·tan∠CAE＝78tan 58°≈78×1.60≈125(m)，在Rt△AED中，DE＝AE·tan∠DAE＝78tan 48°≈78×1.11≈87(m)，∴CD＝EC－DE≈125－87＝38(m)，∴甲建筑物的高度AB约为125 m，乙建筑物的高度DC约为38 m
20．(9分)甲、乙两人进行羽毛球比赛，羽毛球飞行的路线为抛物线的一部分，如图，甲在O点正上方1 m的P处发出一球，羽毛球飞行的高度y(m)与水平距离x(m)之间满足函数表达式y＝a(x－4)2＋h，已知点O与球网的水平距离为5 m，球网的高度为1.55 m.
(1)当a＝－eq \f(1,24)时，
①求h的值；②通过计算判断此球能否过网；
(2)若甲发球过网后，羽毛球飞行到与点O的水平距离为7 m，离地面的高度为eq \f(12,5)m的Q处时乙将扣球成功，求a的值．
解：(1)①当a＝－eq \f(1,24)时，y＝－eq \f(1,24)(x－4)2＋h，将点P(0，1)代入，得－eq \f(1,24)×16＋h＝1，解得h＝eq \f(5,3)
②把x＝5代入y＝－eq \f(1,24)(x－4)2＋eq \f(5,3)，得y＝－eq \f(1,24)×(5－4)2＋eq \f(5,3)＝1.625.∵1.625＞1.55，∴此球能过网
(2)把(0，1)，(7，eq \f(12,5))分别代入y＝a(x－4)2＋h，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(16a＋h＝1，,9a＋h＝\f(12,5)，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝－\f(1,5)，,h＝\f(21,5)，))∴a的值为－eq \f(1,5)
21．(10分)小明和小华约定一同去公园游玩，公园有南北两个门，北门A在南门B的正北方向，小明自公园北门A处出发，沿南偏东30°方向前往游乐场D处；小华自南门B处出发，沿正东方向行走150 m到达C处，再沿北偏东22.6°方向前往游乐场D处与小明会合(如图所示)，两人所走的路程相同，求公园北门A与南门B之间的距离(结果取整数，参考数据：sin 22.6°≈eq \f(5,13)，cs 22.6°≈eq \f(12,13)，tan 22.6°≈eq \f(5,12)，eq \r(3)≈1.732).
解：过点D作DE⊥AB于点E，过点C作CF⊥DE于点F，则四边形BCFE是矩形，∴BE＝CF，EF＝BC＝150 m．设DF＝x m，则DE＝(x＋150)m.∵∠BAD＝30°，∠DCF＝22.6°，∴AD＝2DE＝2(x＋150)＝(2x＋300)m，CD＝eq \f(DF,sin∠DCF)＝eq \f(x,sin 22.6°)≈eq \f(x,\f(5,13))＝eq \f(13,5)x(m).又∵AD＝BC＋CD，∴2x＋300≈150＋eq \f(13,5)x，解得x≈250，∴DF≈250 m，DE≈400 m，AD≈800 m，CD≈650 m，∴AE＝eq \r(AD2－DE2)≈eq \r(8002－4002)＝400eq \r(3)(m)，BE＝CF＝eq \r(CD2－DF2)≈eq \r(6502－2502)＝600 (m)，∴AB＝AE＋BE≈400eq \r(3)＋600≈1 293(m)，∴公园北门A与南门B之间的距离约为1 293 m
22．(10分)某种农产品在某月(按30天计)的第x天(x为正整数)的销售价格p(元/kg)关于x的函数关系式为p＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)x＋4（0(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)当月第几天该农产品的销售额最大？最大销售额是多少？
解：(1)y＝eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(－2x＋80（0(2)设当月第x天的销售额为w元，①当0＜x≤20时，w＝py＝(eq \f(2,5)x＋4)(－2x＋80)＝－eq \f(4,5)x2＋24x＋320＝－eq \f(4,5)(x－15)2＋500，∴当x＝15时，w最大值＝500；
②当20＜x≤30时，w＝py＝(－eq \f(1,5)x＋12)(4x－40)＝－eq \f(4,5)x2＋56x－480＝－eq \f(4,5)(x－35)2＋500，∴当x＝30时，w最大值＝480.∵500>480，∴当月第15天该农产品的销售额最大，最大销售额是500元
23．(14分)如图，抛物线y＝ax2－3x＋c与x轴交于A(－4，0)，B两点，与y轴交于点C(0，4)，点D为x轴上方抛物线上的动点，射线OD交直线AC于点E，将射线OD绕点O逆时针旋转45°得到射线OP，OP交直线AC于点F，连接DF.
(1)求抛物线的表达式；
(2)当点D在第二象限且eq \f(DE,EO)＝eq \f(3,4)时，求点D的坐标；
(3)当△ODF为直角三角形时，请直接写出点D的坐标．
解：(1)根据题意，得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(（－4）2a－3×（－4）＋c＝0，,c＝4，)))
解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\a\vs4\al\c1(a＝－1，,c＝4，)))∴抛物线的表达式为y＝－x2－3x＋4
(2)如图①，过点D作DG∥x轴交AC于点G，则DG∥AB，∴eq \f(DG,AO)＝eq \f(DE,EO)＝eq \f(3,4)，∴DG＝eq \f(3,4)AO＝3.易得直线AC的表达式为y＝x＋4，设点D(n，－n2－3n＋4)，－4＜n＜0.∵点G在直线AC上，则点G(－n2－3n，－n2－3n＋4)，∴－n2－3n－n＝3，解得n＝－1或n＝－3，∴点D的坐标为(－1，6)或(－3，4)
(3)设点F(t，t＋4)，分如下两种情况讨论：①当∠FDO＝90°时，∵∠DOF＝45°，∴DF＝DO.过点D作MN⊥y轴于点N，过点F作FM⊥MN于点M，如图②，则易证△MDF≌△NOD，∴DM＝ON，MF＝DN，∴DN＋ON＝DN＋DM＝MN＝－t，DN－ON＝MF－ON＝－t－4，∴DN＝－t－2，ON＝2，∴yD＝－xD2－3xD＋4＝2，解得xD＝eq \f(－3±\r(17),2)，∴此时点D的坐标为(eq \f(－3＋\r(17),2)，2)或(eq \f(－3－\r(17),2)，2)；②当∠DFO＝90°时，∵∠DOF＝45°，∴DF＝FO.过点F作KL⊥x轴于点L，过点D作DK⊥KL于点K，如图③，则易证△KDF≌△LFO，∴KD＝FL＝t＋4，KF＝LO＝－t，∴KL＝KF＋FL＝－t＋t＋4＝4，∴yD＝－xD2－3xD＋4＝4，解得xD＝0或－3，∴此时点D的坐标为(0，4)或(－3，4).综上所述，点D的坐标为(eq \f(－3＋\r(17),2)，2)或(eq \f(－3－\r(17),2)，2)或(0，4)或(－3，4)