安徽省2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷(含答案)

这是一份安徽省2022-2023学年高三下学期开学考数学试卷(含答案)，共17页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
1．已知集合,,则( )
A.B.C.D.
2．若,则( )
A.B.C.D.
3．已知函数在R上的导函数为,则“”是“是的极值点”的( )
A.充分必要条件B.既不充分也不必要条件
C.充分不必要条件D.必要不充分条件
4．的展开式中的系数为( )
A.192B.240C.432D.256
5．若，则( )
A.3B.2C.D.1
6．下表为某外来生物物种入侵某河流生态后的前3个月繁殖数量y(单位:百只)的数据,通过相关理论进行分析,知可用回归模型对y与t的关系进行拟合,则根据该回归模型,预测从第( )个月开始该物种的繁殖数量超过5000只(参考数据:,)
A.4B.5C.6D.7
7．已知双曲线(,)的左顶点为A,点B,直线AB与双曲线的两条渐近线分别交于P,Q两点,若线段PQ的垂直平分线经过双曲线的右顶点,则双曲线的离心率为( )
A.B.C.D.
8．已知函数,若在定义域上恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.B.C.D.
二、多项选择题
9．已知正六边形ABCDEF的边长为1,P为正六边形边上的动点,则的值可能为( )
A.－2B.－1C.1D.2
10．已知,,,则( )
A.B.C.D.
11．已知抛物线的焦点为F,直线l过点F且与抛物线C交于,两点,其中,且,则( )
A.直线l的斜率为
B.
C.
D.(点O为坐标原点)的面积为6
12．如图,在正方体中,E为棱上的一个动点,F为棱上的一个动点,则直线与平面EFB所成的角可能是( )
A.B.C.D.
三、填空题
13．已知随机变量,且,则________.
14．已知函数f的部分图象如图所示,将的图象向右平移(T为的最小正周期)个单位长度得到的图象,则________.
15．已知圆锥内有一个内接圆柱,圆柱的底面在圆锥的底面内,当圆柱与圆锥体积之比最大时,圆柱与圆锥的底面半径之比为________.
16．已知函数,,在区间I上均有定义,若对任意,,,成等差数列,则称函数,,在区间I上成“等差函数列”.若,,在区间上成等差函数列,且恒成立,则实数b的取值范围是________.
四、解答题
17．已知数列的前n项和.
（1）求的通项公式;
（2）设,求数列的前项和.
18．某超市为改善某产品的销售状况并制订销售策略,统计了过去100天该产品的日销售收入(单位:万元)并分成六组制成如图所示的频率分布直方图.
（1）求a的值并估计过去100天该产品的日销售收入的平均值;(同一区间数据以中点值作代表)
（2）该超市过去100天中有30天将该商品降价销售,在该商品降价的30天中有18天该产品的日销售收入不低于0.6万元,判断能否有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.
附:,其中.
19．在中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知.
（1）证明:;
（2）若,,求的面积.
20．如图所示,四棱台的上､下底面均为正方形,且底面ABCD.
（1）证明:;
（2）若,求二面角的正弦值.
21．已知函数.
（1）设是的最小零点,求曲线在点处的切线方程;
（2）证明:当时,.
22．已知椭圆的离心率为,且为C上一点.
（1）求C的标准方程;
（2）点A,B分别为C的左,右顶点,M,N为C上异于A,B的两点,直线MN不与坐标轴平行且不过坐标原点О,点M关于原点О的对称点为,若直线与直线BN相交于点P,直线OP与直线MN相交于点Q,证明:点Q位于定直线上.
参考答案
1．答案：C
解析：由题意,,,所以.
故选:C
2．答案：A
解析：,则.
故选:A
3．答案：D
解析：由极值点的定义,若为的极值点,则有,而由不一定推得为的极值点,例如,
故“”是“是的极值点”的必要不充分条件.
故选:D
4．答案：C
解析：原式即,化简得,展开式中项为,系数为432.
故选:C.
5．答案：A
解析：由题意，即，.
6．答案：C
解析：由题意,两边取自然对数得,令,则.
,,将数值代入回归直线,得,得,因此,则.
当时,;当时,;当时,,从第6个月开始,该物种的繁殖数量超过5000只.
故选:C
7．答案：B
解析：不妨设点P在直线上,
由题可知,,,
由,得,,同理,
的中点为,则PQ的垂直平分线方程为,
将代入整理得,则.
故选:B.
8．答案：B
解析：由得,
所以,即,
构造函数,则不等式转化为,
又易知在R上单调递增,
故不等式等价于,即.
设,
若,,不符合题意;
若,则当时,,符合题意;
若,则在上单调递减,在上单调递增,
所以,
要使恒成立,只需,
所以.
综上可知a的取值范围是.
故选:B.
9．答案：BCD
解析：由题意知,,
当P点与D重合时,向量在方向上的投影的数量最大,为,
当P点与A重合时,向量在方向上的投影的数量最小,为,
所以的最大值为,最小值.
可知,故A不满足,BCD都满足.
故选:BCD.
10．答案：CD
解析：A选项,由题可得,得,故A错误;
B选项,
,当且仅当,
即,时取等号.故B错误;
C选项,,
当且仅当,即,时取等号.
则,故C正确;
D选项,由B选项分析得,
则,故D正确.
故选:CD
11．答案：BC
解析：因为,所以点M在第一象限,显然直线l不与x轴垂直,设直线:,联立,可得,由韦达定理可得:,.做MA,NB垂直于x轴,则,
得,则,.
A选项,,则直线斜率为,故A错误;
B选项,因,,则,故B正确;
C选项,由抛物线定义,,
又,则,故C正确;
D选项,由图有,故D错误.
故选:BC.
12．答案：AB
解析：以D为坐标原点,DA,DC,所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
如图所示,设,,,其中m,,
则,,,,,,,,
设平面EFB的法向量为,则,即,
取,则.
设直线与平面EFB所成的角为,,
当时,,当时,,
该式随着m的增大而增大,随着n的增大而减小,当,时,取得最大值,所以,
综上,的取值范围是,所以,故CD错误.
故选:AB.
13．答案：
解析：由题意可知,
所以,
所以.
故答案为:.
14．答案：
解析：由图可知,,
,.又,
所以,又,
所以,
,
,
.
故答案为:.
15．答案：
解析：设圆锥的底面半径为R,圆锥的轴截面为等腰三角形,底边长为2R,设其底角为,则圆锥的高为,圆锥的体积为.设圆锥内接圆柱的底面半径为r,高为h,则,即,则圆柱的体积为,.圆柱与圆锥体积之比为,设,,则.由,得,当时,,当时,,所以当时,取得最大值,即圆柱与圆锥体积之比最大,此时.
故答案为:
16．答案：
解析：根据“等差函数列”的定义知:,则,
由,可得,恒成立,
则直线恒在半圆的上方,
所以,因为,所以.
故答案为:
17．答案：（1）
（2）
解析：（1）,
当时,有,,
两式相减得,
当时,符合上式,
故.
（2）设数列的前项和为,
则.
由题意得,
,
,
.
18．答案：（1）,
（2）有
解析：（1）依题意有,得.
;
（2）依题意作列联表:
因为,所以有97.5%的把握认为该商品的日销售收入不低于0.6万元与该日是否降价有关.
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）由及正弦定理得,
因为,所以,
所以.
因为,,所以,
所以,或,
即或(舍去).
（2）由及正弦定理得,
由,得,
所以,.
由余弦定理得,得,
整理得,解得或.
当时,,
当时,可得,此时不满足,故舍去.
综上所述,的面积为.
20．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）平面ABCD,平面ABCD,,
如图,连接BD,四边形ABCD为正方形,,
又,,平面,
平面,
平面,.
（2）由题意知直线DA,DC,两两互相垂直,故以D为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
由已知可得,,,,
,,.
设平面与平面的法向量分别为,.
则令,则,
,令,则,
,
故二面角的正弦值为.
21．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）函数的定义域为,
令,得,或,,
是的最小零点,
,为,
,则
曲线在点处的切线方程为.
（2）在上为负,在上为正,在上为正,在上为负,
又,,
当时,,当时,,当时,,
故只需证时,,
令,则,是反比例函数平移,易得在上单调递增,
且,故当时,,当时,,
在上单调递减,在上单调递增,
当时,,
当时,,即,
,
要证,只需证,
令,则,
令,
则,
当时,,,则在时,,
即在上单调递减,
,
在上单调递减,
,故在上恒成立,
综上可得原命题成立.
22．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设椭圆C的焦距为,
由题意得,解得,
C的标准方程为.
（2）由题可知,,
设,,
则,设.
联立消去x得,
,,
又,,,
又点P为直线和BN的交点,
,
故
,
,故.
联立消去y得,
因此,点Q位于定直线上.
第t个月
1
2
3
繁殖数量y
0.050
0.025
0.010
3.841
5.024
6.635
降价
非降价
总计
不低于万元
18
12
30
低于万元
12
58
70
总计
30
70
100