天津市宁河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析）

这是一份天津市宁河区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了对于二次函数，下列说法正确的是等内容，欢迎下载使用。

考试注意事项：
1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将区县、学校、姓名、考试号、座号填写在答题卡和试卷规定位置，并核对条形码．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔涂黑答题卡对应题目的答案标号；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．
3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，字体工整、笔迹清晰，写在答题卡各题目指定区域内如需改动，先划掉原来答案，然后再写上新答案，严禁使用涂改液、胶带纸、修正带修改，不允许使用计算器．
4．保证答题卡清洁、完整，严禁折叠，严禁在答题卡上做任何标记．
5．评分以答题卡上的答案为依据，不按以上要求作答的答案无效．
一、选择题：共12小题，每小题3分，共36分．
1．下列事件中为必然事件的是（ ）
A．经过红绿灯路口，遇到绿灯B．打开电视，正在播放广告
C．抛一枚硬币，正面向上D．从三个黑球中摸出一个是黑球
2．七巧板是我国的一种传统智力玩具，下列用七巧板拼成的图形是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
3．已知⊙O的半径为5，点P到圆心O的距离为6，那么点P与⊙O的位置关系是( )
A．点P在⊙O上B．点P在⊙O内
C．点P在⊙O外D．无法确定
4．已知圆的半径为，圆中一条弦长为，则这条弦所对的圆心角的度数是（ ）
A．B．C．D．
5．已知关于x的方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ）
A．6B．﹣6C．9D．﹣9
6．对于二次函数，下列说法正确的是（ ）
A．图像开口向上B．当时，y随x的增大而减小
C．顶点坐标是D．当时，y有最小值是0
7．参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛场，设共有个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（ ）
A．B．
C．D．
8．如图，将绕点A旋转到的位置，若，，则的度数为（ ）
A．B．C．D．
9．如图，是的直径，弦于点E，，，则的长为（ ）
A．B．C．D．
10．根据圆规作图的痕迹，可用直尺成功找到外心的是（ ）
A．B．C． D．
11．同一个圆的内角正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为（ ）
A．B．C．D．
12．如图，已知开口向上的抛物线与轴交于点，对称轴为直线．下列结论：①；②；③若关于的方程一定有两个不相等的实数根；④.其中正确的个数有（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分．请将答案直接填在题中横线上．
13．不透明袋子中装有3个黑球、2个白球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是 ．
14．若方程的两根为，则 ．
15．在一个不透明的口袋中装有个红球和若干个白球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球实验后发现，摸到红球的频率稳定在附近，则估计口袋中白球大约有 个．
16．已知点，点是二次函数图像上的两个点，则与的大小关系是 ．
17．已知圆锥的底面圆半径为3，母线长为5，则圆锥的全面积是 ．
18．在平面直角坐标系中，点，点，把绕点逆时针旋转，得，点旋转后的对应点为，．如图，当点落在边上时，旋转角的大小为 ，点的坐标为 ．
三、解答题：本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程．
19．解下列方程：
(1)；
(2)．
20．如图，顶点的坐标分别为，，．
(1)画出绕点A顺时针旋转后得到的；
(2)在旋转的过程中，点B旋转到点时经过的路径长为______．（结果保留）
21．已知内接于，，，D是上的点．

(1)如图①，求和的大小；
(2)如图②，，垂足为E，求的大小．
22．一个不透明的口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4．随机摸出一个小球然后放回，再随机摸出一个小球．
(1)用画树状图或列表的方法表示出两次取出的小球所有可能出现的结果；
(2)求两次取出的小球标号的和等于4的概率．
23．中国是世界上最大的茶叶种植国，拥有全球最多的饮茶人口，并发展出独具民族特色的茶文化，某茶商购进一批茶叶，进价为元/盒，销售价为元/盒时，每天可售出盒．为了扩大销售量，增加利润，经市场调查发现，如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒，针对这批茶叶的销售情况，请回答下列问题：
(1)当销售单价为元时，每天的销售量为_____盒，每天盈利______元；
(2)若在让利于顾客的情况下，每盒茶叶降价多少元时，商家平均每天能盈利元？
24．如图，已知内接于，为的直径，过点作的垂线，与相交于点，与过点的的切线相交于点．
(1)如图①，若，求和的大小；
(2)如图②，若，，求的长．
25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与直线交于点，．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上的一个动点，过点P作x轴的平行线交于点C，求的最大值及此时点P的坐标；
(3)已知点M是抛物线的顶点，若在x轴上存在一点N，使的周长最小，求点N的坐标．
参考答案与解析
1．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件；不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件；不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：A．经过红绿灯路口，遇到绿灯，是随机事件，不符合题意；
B．打开电视，正在播放广告，是随机事件，不符合题意；
C．抛一枚硬币，正面向上，是随机事件，不符合题意；
D．从三个黑球中摸出一个是黑球，是必然事件，符合题意．
故选：D．
2．D
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，根据中心对称图形定义去逐一判断即可得到答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
B、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
C、不是中心对称图形，不符合题意，选项错误；
D、是中心对称图形，符合题意，选项正确，
故选D．
【点睛】本题考查了中心对称图形的定义，准确理解定义是解题关键．
3．C
【详解】因为OP=6＞5，所以点P与⊙O的位置关系是点在圆外．
故选：C．
【点睛】点与圆的位置关系．
4．C
【分析】本题考查了等边三角形的判定，圆心角．熟练掌握等边三角形的判定，圆心角的定义是解题的关键．
由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，进而可求答案．
【详解】解：由题意知，弦长与半径围成的三角形的三边长相等，是等边三角形，
∴这条弦所对的圆心角的度数为，
故选：C．
5．C
【分析】直接根据一元二次方程根的判别式等于0即可得．
【详解】解：由题意得：这个方程根的判别式，
解得，
故选：C．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握当一元二次方程根的判别式时，方程有两个相等的实数根．
6．B
【分析】本题考查了二次函数的性质，由二次函数解析式可得：抛物线开口向下，对称轴为直线，当时，y随x的增大而减小，抛物线的顶点坐标是，当时，y有最大值是，由此即可得出答案，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键．
【详解】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，故A错误，不符合题意；
当时，y随x的增大而减小，故B正确，符合题意；
抛物线的顶点坐标是，故C错误，不符合题意；
当时，y有最大值是，故D错误，不符合题意；
故选：B．
7．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，熟练掌握每两队之间都进行两场比赛的意义是解题的关键．
【详解】根据题意，得，
故选D．
8．B
【分析】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键；由题意易得，则有，然后根据直角三角形的两个锐角互余可进行求解．
【详解】解：由旋转的性质可知：，，
∴，，即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
故选B．
9．A
【分析】本题考查垂径定理，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．根据垂径定理推出，再利用勾股定理求出即可解决问题．
【详解】解：，是直径，，
，
在中，（），
（），
故选：．
10．C
【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握作图技巧是解题的关键．根据三角形外心的定义即可得到答案．
【详解】解：三角形外心为三边垂直平分线的交点，
故选：C．
11．A
【分析】本题主要考查了正多边形和圆的性质，构造直角三角形是解题的关键．经过圆心作圆的内接正变形的一边的垂线，垂足是，连接，再得到答案．
【详解】解：设圆的半径为，
则正三角形的边心距为，
正方形的边心距为，
正六边形的边心距为，
故正三角形、正方形、正六边形的边心距的比为．
故选A．
12．D
【分析】利用二次函数图象与性质逐项判断即可．
【详解】解：∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线与y轴交点在负半轴，
∴，
∵对称轴为，
∴，
∴，
故①正确；
∵抛物线的对称轴为，
∴，
∴，
故②正确；
∵函数与直线有两个交点．
∴关于的方程一定有两个不相等的实数根，
故③正确；
∵时，即，
∵，
∴，即，
∵，
∴，
∴，
故④正确，
故选：D
【点睛】此题考查的是二次函数的图象与系数的关系，由开口，对称轴，与y轴交点分别判断出系数的正负，这些内容都是解决问题的关键．
13．
【分析】本题主要考查概率公式，解题的关键是掌握随机事件的概率（A）＝事件可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．根据随机事件概率大小的求法，找准两点：①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，二者的比值就是其发生的概率的大小．
【详解】解：不透明袋子中装有5个球，其中有3个黑球，2个白球，
从袋子中随机取出1个球，则它是黑球的概率是：．
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，代数式求值．熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解题的关键．
由题意知，，，然后代值求解即可．
【详解】解：∵，
∴，，
∴，
故答案为：．
15．
【分析】由摸到红球的频率稳定在附近得出口袋中得到红色球的概率，进而求出白球个数即可．
【详解】解：设白球个数为个
∵摸到红球的频率稳定在0.25附近
∴口袋中得到红色球的概率为0.25
∴
解得：
经检验，符合题意
即白球的个数为15个
故答案为：15
【点睛】本题考查了利用频率估计概率，解题关键是大量反复试验下频率稳定值即概率．
16．
【分析】本题主要考查二次函数的对称性，二次函数的图像和性质，熟练掌握二次函数的对称性是解题的关键．
【详解】解：依题意得：对称轴，
故和关于对称轴对称，
故．
故答案为：．
17．24π．
【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．
【详解】解：底面周长是：2×3π＝6π，
则侧面积是：×6π×5＝15π，
底面积是：π×32＝9π，
则全面积是：15π+9π＝24π．
故答案为24π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．
18． ##45度
【分析】本题考查了坐标与图形、旋转的性质、勾股定理、等腰直角三角形的性质，由点，点得出，从而得出是等腰直角三角形，由勾股定理可得，当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，求出即可得出答案，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
【详解】解：点，点，
，
是等腰直角三角形，
，，
当点落在边上时，由旋转的性质可得：，，
旋转角的大小为，，
点的坐标为，
故答案为：，．
19．(1)，
(2)，
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，解一元二次方程的方法有：公式法、因式分解法、配方法、直接开平方法，选择合适的方法进行计算是解此题的关键．
（1）利用因式分解法计算即可；
（2）利用因式分解法计算即可．
【详解】（1）解：，
，
或，
，；
（2）解：，
，
，
，
或，
，．
20．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查作图，旋转以及弧长公式，熟练掌握弧长的公式是解题的关键．
（1）根据旋转的基本作图技巧画图即可；
（2）根据弧长公式求解即可．
【详解】（1）解：图形即为所求．
（2）解：，
．
21．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查圆的内接四边形，圆的性质，熟练掌握圆的性质是解题的关键．
（1）由四边形是的内接四边形的性质求出答案即可；
（2）根据等弧所对的圆周角相等求出答案．
【详解】（1）解：，
．
四边形是的内接四边形，
．
，
；
（2）解：连接．
，
．
．
．
．

22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了用树状图或列表法求等可能事件的概率，方法是用树状图或列表法列举出所有可能出现的结果总数，找出符合条件的结果数，用分数表示即可，注意每种情况发生的可能性相等．
（1）根据题意画出树状图即可；
（2）根据概率公式进行计算即可．
【详解】（1）解：画出树状图，如图所示：
由树状图可知，所有可能出现的结果共有16种，这些结果出现的可能性相等；
（2）解：两次取出的小球标号的和等于4的结果有3种，
∴．
23．(1)；
(2)每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，正确理解题意是解题关键．
（1）根据“如果每盒茶叶每降价2元，那么平均每天可多售出4盒”即可求解；
（2）设每盒茶叶降价x元，依题意得．据此即可求解．
【详解】（1）解：当销售单价为元时，每天的销售量为：（盒），
每天盈利：（元），
故答案为：；
（2）解：设每盒茶叶降价x元，依题意得：
．
解得：，．
∵需要让利于顾客，
∴取．
∴每盒茶叶降价元时，能让利于顾客并且商家平均每天能盈利元．
24．(1)，
(2)
【分析】本题主要考查了圆周角定理、切线的性质、等腰三角形的性质、勾股定理知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键．
（1）连接，由圆周角定理可得，从而可得，，由切线的性质可得，从而得出，结合，即可得出答案；
（2）连接，由等边对等角得出，求出，设的长为，则的长为，在中，由勾股定理有，求解即可得出答案．
【详解】（1）解：如图，连接，
，
是的直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
与相切于点，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：连接，
，
与相切于点，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设的长为，则的长为，
在中，由勾股定理有，
解得，
的长为．
25．(1)
(2)有最大值1．点P的坐标为
(3)
【分析】本题考查了抛物线的解析式求解以及二次函数与线段周长问题，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．
（1）把，代入抛物线即可求解；
（2）求出直线的解析式，设可得，进一步可得，即可求解；
（3）作点A关于x轴的对称点E，连接与x轴的交点即为点N．据此即可求解．
【详解】（1）解：把，代入抛物线中得：
，
∴．
∴抛物线的解析式为；
（2）解：设直线的解析式为．
把，代入，
得，
∴．
∴直线的解析式为．
设，
在中，令，得，
∴．
∴．
∴当时，有最大值1．
此时点P的坐标为．
（3）解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线顶点M的坐标为．
作点A关于x轴的对称点E，则，
连接与x轴的交点即为点N，则，
此时，周长，即周长最小，
设直线的解析式为，把，代入，
有．
解得．
∴直线的解析式为．
当时，，
∴．