2024泰州高一上学期1月期末考试数学含解析

这是一份2024泰州高一上学期1月期末考试数学含解析，共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 命题“存在，”否定为（ ）
A. 存在，B. 存在，
C. 任意，D. 任意，
3 若角终边经过点，则
A. B. C. D.
4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 4D. 12
5. 函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
6. 可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（ ）

A. B. C. D.
7. 已知函数，，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
10. 已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
11. 已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
12. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A. 的值为2B.
C. 若，则D. 若，则
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则实数______.
14. 已知，则______.
15. 已知二次函数的部分对应值如下：
则关于的不等式的解集为______.
16. 设是正整数，集合.当，集合有______个元素；若集合有100个元素，则______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列各式值：
（1）；
（2）.
18. 设集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”必要不充分条件，求实数的取值范围.
19. 已知函数，.
（1）当时，求在上的值域；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
20. 已知函数，正数，满足，
（1）求的取值范围；
（2）求的最小值.
21. 已知函数.
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）若，且，，都正数，求证：.
22. 已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.
（1）从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围1
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2023~2024学年度第一学期高一期末调研测试
数学试题
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】直接由交集的概念即可得解.
【详解】由题意集合，，则.
故选：B.
2. 命题“存在，”的否定为（ ）
A. 存在，B. 存在，
C. 任意，D. 任意，
【答案】D
【解析】
【分析】由命题的否定的定义即可得解.
【详解】由题意命题“存在，”的否定为任意，.
故选：D.
3. 若角终边经过点，则
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【详解】分析：利用三角函数的定义，即可求出.
详解：角终边经过点，则
由余弦函数的定义可得
故选B.
点睛：本题考查三角函数的定义，属基础题.
4. 已知是定义域为的奇函数，当时，，则（ ）
A. B. C. 4D. 12
【答案】C
【解析】
【分析】由奇函数的性质代入求值即可.
【详解】由题意是定义域为的奇函数，当时，，
所以.
故选：C.
5. 函数的减区间为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意根据复合函数单调性、二次函数以及对数函数单调性即可得解.
【详解】由题意在定义域内单调递增，若要单调递减，
只需关于单调递减，
所以函数的减区间为.
故选：B.
6. 可以用尺规作图画出正五角星，作法如下：以任意一点为圆心，以1为半径画圆，在圆内作互相垂直的直径和.取线段的中点，以为圆心，以为半径作弧，交于.以为圆心，以为半径在圆上依次截取相等的圆弧，连接，，，，，得到如图所示的正五角星，则图中扇形的面积为（ ）

A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】如图，连接OG，OM，OH，则，由得，结合扇形的面积公式计算即可求解.
【详解】如图，连接OG，OM，OH，则，

又，所以，化为弧度为，
所以扇形的面积为.
故选：A.
7. 已知函数，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由题意得，结合诱导公式以及平方关系即可得解.
【详解】由题意，所以，
所以
.
故选：C.
8. 已知，，则（ ）
A. 2B. 3C. 4D. 5
【答案】D
【解析】
【分析】由题意结合对数运算性质运算即可得解.
【详解】由题意，
所以，
所以.
故选：D.
【点睛】关键点睛：关键是都对已知等式两边同时取以6为底的对数，由此即可顺利得解.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知函数，则（ ）
A. 函数的最小正周期为
B. 函数的图象关于直线对称
C. 函数的图象关于点中心对称
D. 将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象
【答案】AC
【解析】
【分析】对于A，由周期公式验算即可；对于BC，由代入检验法即可判断；对于D，由平移变换法则验算即可.
【详解】对于A，函数的最小正周期为，故A正确；
对于B，，故函数的图象不关于直线对称，故B错误；
对于C，，故函数的图象关于点中心对称，故C正确；
对于D，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，故D错误.
故选：AC.
10. 已知正数，满足，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】ABD
【解析】
【分析】由不等式的性质结合逐一判断每一个选项即可.
【详解】对于A，由题意，所以，故A正确；
对于B，，因为，所以，所以，故B正确；
对于C，令，则，故C错误；
对于D，因为，所以，故D正确.
故选：ABD.
11. 已知函数，若的值域为，则实数的值可以是（ ）
A. B. C. D.
【答案】BD
【解析】
【分析】分别求出值域，根据值域的并集为建立不等式，逐项判断即可.
【详解】当时，单调递增，其值域为，
当时，单调递增，其值域为，
由题意的值域为，所以，所以，
记，且，在一个坐标系内作出函数图象，如图：
因为，所以，
又因为，所以，
所以，要使，则，
因为，所以，
因为，所以，所以，
结合选项可知，实数的值可以是，.
故选：BD
12. 已知函数满足：①对任意，；②若，则.则（ ）
A. 的值为2B.
C. 若，则D. 若，则
【答案】ABC
【解析】
分析】对于A，令，结合“若，则”即可判断；对于B，由基本不等式相关推理结合即可判断；对于C，令得，，由此即可判断；对于D，令，即可判断.
【详解】对于A，令，得，解得或，
若，令，得，即，
但这与②若，则矛盾，
所以只能，故A正确；
对于B，令，结合得，，
解得或，
又，所以，
所以只能，故B正确；
对于C，若，令得，，
所以，所以，
所以，故C正确；
对于D，取，
则
且单调递增，
满足，但，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：判断D选项的关键是构造，由此即可证伪.
三、填空题：本题共4小题，每题5分，共20分.
13. 已知幂函数的图象过点，则实数______.
【答案】
【解析】
【分析】直接代入坐标即可求解.
【详解】由题意，所以.
故答案为：.
14. 已知，则______.
【答案】
【解析】
【分析】由商数关系切弦互换即可求解.
【详解】由题意有.
故答案为：.
15. 已知二次函数的部分对应值如下：
则关于的不等式的解集为______.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出具体二次函数，再解不等式即可.
【详解】由已知得必过,代入函数中得，，，
解得，，，故，
令，解得，
即关于的不等式的解集为.
故答案为：
16. 设是正整数，集合.当，集合有______个元素；若集合有100个元素，则______.
【答案】 ①. 2 ②. 198或199
【解析】
【分析】第一空：当，，由此即可得解；第二空：原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，值得注意的是考虑上半圆盘以及即可.
【详解】由题意当，，周期为，
所以，经过去重得此时，即此时集合有2个元素；
原问题等价于单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，
由对称性可知，只需考虑上半圆盘以及，
所以如果集合有100个元素，即相应横坐标的所有可能数为100，
则可能是，和上半圆盘与下半圆盘各99个点的横坐标（它们关于轴对称），即此时，
还有一种可能：即和，以及上半圆盘与下半圆盘各98个点的横坐标（它们关于轴对称），也就是，
综上所述，若集合有100个元素，则或.
故答案为：2；198或199.
【点睛】关键点睛：第二空的关键是研究单位圆盘等分后，相应横坐标的所有可能数与的对应关系，由此即可顺利得解.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 求下列各式的值：
（1）；
（2）.
【答案】（1）
（2）0
【解析】
【分析】（1）直接由分数指数幂的运算即可得解.
（2）直接由对数运算性质即可得解.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 设集合，.
（1）当时，求；
（2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）解对数不等式得到，根据并集概念求出答案；
（2）根据必要不充分条件得到⫋，从而得到不等式，求出，得到答案.
【小问1详解】
时，，解得，故，
，故；
【小问2详解】
，，解得，
故，
因为“”是“”的必要不充分条件，
所以⫋，
故，解得，
故实数的取值范围是.
19. 已知函数，.
（1）当时，求在上的值域；
（2）若在上单调递增，求实数的取值范围.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由题意得，由此即可得解.
（2）由题意得在上单调递增，由此列出不等式即可得解.
【小问1详解】
由题意当时，，若，则，
所以在上的值域为.
【小问2详解】
由题意，所以时，，且关于单调递增，
若在上单调递增，则由复合函数单调性可知在上单调递增，
所以，解得，即取值范围为.
20. 已知函数，正数，满足，
（1）求的取值范围；
（2）求最小值.
【答案】（1）
（2）4
【解析】
【分析】（1）先利用基本不等式求出，然后利用对数函数单调性求解范围即可；
（2）先利用基本不等式求解的最小值，然后利用对数函数单调性求解最小值即可.
【小问1详解】
因为正数，满足，所以，
所以，当且仅当时等号成立，
又函数在定义域上单调递增，所以，
即的取值范围为；
【小问2详解】
，
因为
，
当且仅当，即或时，等号成立，
所以，
即的最小值为4.
21. 已知函数.
（1）判断在上的单调性，并证明；
（2）若，且，，都为正数，求证：.
【答案】（1）在上单调递增，证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）根据函数单调性的定义，结合作差法以及分解因式，可得答案；
（2）利用分类讨论的解题思想，结合基本不等式以及函数单调性与奇偶性，可得答案.
【小问1详解】
在上单调递增，证明如下：
任取，设，
，
由，则，故，
所以在上单调递增.
【小问2详解】
当都是正数时，
，
当目仅当时等号成立，则；
当中只有一个负数时，不妨设，则，
且，由，则，
由，则，则，
，当且仅当时，等号成立，则，
，
当中有两个负数或三个都是负数时，不合题意.
故得证.
22. 已知偶函数和奇函数满足，为自然对数的底数.
（1）从“①；②”两个条件中选一个合适的条件，使得函数与的图象在区间上有公共点，并说明理由；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围
【答案】22. ①不满足题意，②满足题意，理由见解析
23.
【解析】
【分析】（1）首先得出，结合基本不等式，以及零点存在定理即可进一步求解.
（2）由题意首先通过换元得出恒成立，分析得知，进一步解不等式组即可得解.
【小问1详解】
由题意，
解得，
①令，有，等号成立当且仅当，而此时，
所以此时恒成立，即函数与的图象在区间上没有公共点，不满足题意；
②令，则，，即，
且此时的图象连续不断，
所以由零点存在定理可知此时存在零点，即此时函数与的图象在区间上有公共点，满足题意.
【小问2详解】
由题意关于的不等式恒成立，首先显然有，
其次有恒成立，
所以恒成立，
令，因为，所以，
所以恒成立，即恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
因为，若，则，此时不等式变为了恒成立，这显然不可能成立，
所以，即，
所以，
所以，即，
解得，即数的取值范围为.
【点睛】关键点睛：第二问的关键是通过换元得出（一元二次）不等式恒成立，所以，当然这也要求有一定的计算能力，由此即可顺利得解.1
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