吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)

这是一份吉林省通化市梅河口市第五中学2023-2024学年高二上学期1月期末考试数学试卷(含答案)，共19页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．在一组样本数据、、···、(、、、···、不全相等）的散点图中,若所有的样本点都在直线上,则这组样本数据的相关系数为( )
A.2B.-2C.-1D.1
2．某学生要从5门选修课中选择1门,从4个课外活动中选择2个,则不同的选择种数为( )
A.11B.10C.20D.30
3．设,随机变量的分布列为：
则( )
A.B.C.D.
4．已知的展开式的二项式系数之和为256,则其展开式中第4项的系数为( )
A.B.C.D.
5．( )
A.120B.119C.110D.109
6．三棱柱中,所有棱长都相等,,则异面直线与所成角的余弦值为( )
A.B.C.D.
7．某学校实行新课程改革,即除语、数、外三科为必考科目外,还要在理、化、生、史、地、政六科中选择三科作为选考科目.已知某生的高考志愿为某大学环境科学专业,按照该大学上一年高考招生选考科目要求理、化必选,为该生安排课表（上午四节、下午四节,每门课每天至少一节）,已知该生某天最后两节为自习课,且数学不排下午第一节,语文、外语不相邻（上午第四节和下午第一节不算相邻）,则该生该天课表有( )
A.444种B.1776种C.1440种D.1560种
8．用1,2,3,4,5,6写出没有重复数字的六位数中,满足相邻的数字奇偶性不同的数有_____个( )
A.18B.36C.72D.86
二、多项选择题
9．已知双曲线C的方程为,则下列说法正确的是( )
A.双曲线C的实轴长为6
B.双曲线C的渐近线方程为
C.双曲线C的焦点到渐近线的距离为4
D.双曲线C上的点到焦点距离的最小值为8
10．在正方体中,E,F分别为AB,BC中点,则( )
A.平面
B.平面
C.与平面成角正弦值为
D.平面与平面成角余弦值为
11．“杨辉三角”是中国数学史上的一个伟大成就,揭示了二项式系数在三角形中的一种几何排列规律.请结合“杨辉三角”判断下列叙述,正确的是( )
A.
B.第20行中,第11个数最大
C.记第n行的第i个数为,则
D.第34行中,第15个数与第16个数的比为
12．已知椭圆,双曲线,椭圆与双曲线有共同的焦点,离心率分别为,,椭圆与双曲线在第一象限的交点为P且,则( )
A.若,则
B.的最小值为
C.的内心为I,I到y轴的距离为
D.的内心为I,过右焦点做直线PI的垂线,垂足为D,点D的轨迹为圆
三、填空题
13．的展开式中项的系数为____________．
14．若直线l过直线和的交点,且在x轴的截距是y轴截距的2倍,则直线l的方程是__________________.
15．在平面直角坐标系xOy中,O为坐标原点,点,若圆上存在动点M满足,则r的取值范围为_____________.
16．已知抛物线的焦点为F,,过点M作直线的垂线,垂足为Q,点P是抛物线C上的动点,则的最小值为___________．
四、解答题
17．已知,若.
（1）求n的值;
（2）求的值.（结果可以用幂指数表示）
18．回答下列问题.
（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法？
（2）把6个相同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法？
（3）把6个不同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法？
（4）把6个不同的小球放入4个不同的箱子中,每个箱子都不空,共有多少种放法？
19．如图,长方体的底面ABCD为正方形,,E为上一点.
（1）证明：;
（2）若平面ACE,求平面ACD与平面ACE夹角的余弦值.
20．已知双曲线的离心率为,且其焦点到渐近线的距离为1.
（1）求C的方程;
（2）若动直线l与C恰有1个公共点,且与C的两条渐近线分别交于P,Q两点,O为坐标原点,证明：的面积为定值.
21．设抛物线的焦点为F,动直线l交抛物线于A,B两点,当直线l过焦点且AB的中点M的横坐标为2时.
（1）求抛物线C的方程;
（2）已知点,当焦点为F为的垂心时,求直线l的方程.
22．如图,在四棱锥中,底面ABCD是正方形,,,E为BC的中点．

（1）证明：．
（2）若二面角的平面角为,G是线段PC上的一个动点,求直线DG与平面PAB所成角的最大值．
参考答案
1．答案：C
解析：因为所有的样本点都在直线上,所以相关系数r满足.
又因为,所以,所以.
故选：C.
2．答案：D
解析：先从5门选修课中选择1门,有5种选法;
再从4个课外活动中选择2个,有种选法.
所以该学生不同的选择种数为.
故选：D.
3．答案：D
解析：由,得,
所以.
故选：D.
4．答案：A
解析：因为二项式系数之和为256,所以,得,
的展开式的通项,
令,得.
故选：A.
5．答案：B
解析：因为,
所以.
故选：B.
6．答案：B
解析：如图所示,设,,棱长为1,
则,
因为,
可得,
又由,
,
所以,
所以异面直线与所成角的余弦值为.
故选：B.
7．答案：B
解析：理、化、生、史、地、政六选三,且理、化必选,
所以只需在生、史、地、政中四选一,有（种）.
对语文、外语排课进行分类,第1类：语文、外语有一科在下午第一节,则另一科可以安排在上午四节课中的任意一节,剩下的四科可全排列,有（种）;
第2类：语文、外语都不在下午第一节,则下午第一节可在除语、数、外三科的另三科中选择,有（种）,
语文和外语可都安排在上午,即上午第一、三节,上午第一、四节,上午第二、四节3种,
也可一科在上午任一节,一科在下午第二节,有（种）,
其他三科可以全排列,有（种）.
综上,共有（种）.
故选：B.
8．答案：C
解析：由题意,可先对计数1,3,5进行全排列,共有种排法;
再对构成的4个空隙中,连续前三个空隙或后相邻的三个空隙,放入偶数2,4,6,
共有种放法,
根据分步计数原理,可得共有种不同的排法.
故选：C.
9．答案：AC
解析：由双曲线,可得,,则,
对于A中,双曲线C的实轴长为,所以A正确;
对于B中,双曲线的渐近线方程为,所以B不正确;
对于C中,设双曲线C的右焦点,不妨设一条渐近线方程为,即,
可得焦点到渐近线的距离为,所以C正确;
对于D中,根据双曲线的性质,可得双曲线上的点到焦点的最短距离为,所以D错误.
故选：AC.
10．答案：ACD
解析：令正方体棱长为2,构建如下图示的空间直角坐标系,
则,,,,,,,
所以,,若面一个法向量为,
则,取,则,而,
所以,即,又面,故平面,A对;
,,若面一个法向量为,
则,取,则,而,
所以不存在使,故平面不成立,B错;
由正方体性质知：面ABCD,面ABCD,则,又,
,,面,则面,
所以是面的一个法向量,,
则与平面成角正弦值为,C对;
由是面的一个法向量,是面的一个法向量,
平面与平面成角余弦值为,D对.
故选：ACD.
11．答案：BCD
解析：由图知,第n行的第i个数为,则,
对于A,由可得,
,故A错误;
对于B,第20行有21项,中间一项最大为,是第11个数,故B正确;
对于C,第n行的第i个数为,,
,故C正确;
对于D,第34行中,第15个数与第16个数的比为
,故D正确.
故选：BCD.
12．答案：AC
解析：若椭圆、双曲线半焦距为c,则,且,分别为左右焦点,
中,令,,则,
,
所以,则,
上式消去mn,得,而,
若,即,则,A对;
由上知,故,
当且仅当,即,时取等号,B错;
若C,E,F为内切圆I与各边切点,如下图,则,
又,
所以,即切点E为双曲线右顶点,有轴,
所以I到y轴的距离为,C对;
延长交于H,若J中点,连接DJ,OD,
由题意且PD平分,故为等腰三角形且,
所以,在中DJ为中位线,则,
且,故为平行四边形,令,则,
所以,又P在第一象限且不定,故点D的轨迹不为圆,D错.
故选：AC.
13．答案：80
解析：可以看成6个因式相乘,
所以的展开式中含的项为3个因式取、3个因式取
或2个因式取、1个因式取、3个因式取1,
所以的展开式中含项的系数为．
故答案为：80.
14．答案：或
解析：联立,解得,故交点坐标为,
当在x轴的截距与在y轴的截距为0时,设直线l方程为,
将代入得,解得,故直线l的方程为;
当在x轴的截距与在y轴的截距不为0时,设直线l方程为,
将代入得,解得,
故直线l方程为,即,
所以直线l的方程为或.
故答案为：或
15．答案：
解析：设,由两边平方得,
即,,
,所以M点的轨迹是以为圆心,半径为的圆,
圆C的圆心为,半径为r,
依题意,圆与圆C有公共点,
两圆的圆心距为,则,
解得.
故答案为：.
16．答案：
解析：由得,
所以直线过点．
连接AM,则,由题意知点Q在以AM为直径的圆上,
设,所以点Q的轨迹方程为（不包含点）,
记圆的圆心为,过点Q,P,N分别作准线的垂线,
垂足分别为B,D,S,连接DQ,则,
当且仅当B,P,Q,N四点共线且点Q在PN中间时等号同时成立,所以的最小值为．
故答案为：.
17．答案：（1）11
（2）
解析：（1）由题意得,
故,
所以,解得;
（2）由（1）中通项公式可得,,,···,大于0,,,,···,小于0,
在中,令得,
,
令得,故,
故.
18．答案：（1）2;
（2）10;
（3）65;
（4）1560.
解析：（1）把6个相同的小球放入4个相同的箱子中,每个箱子至少放1个小球,每个箱子先放入1个小球,还剩下2个小球,
则余下2个小球放在1个箱子中,或分开放在2个箱子中,
所以共有2种放法;
（2）6个相同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少放1个小球,将6个相同的小球排成一列,在形成的中间5个空隙中插入3块隔板,
所以不同的放法种数为;
（3）6个不同的小球放入4个相同的箱子,每个箱子至少放1个小球,先把6个不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1两种方案分成4组,
每一种分法的4组小球分别放入4个箱子满足要求,一种分组方法即为一种放法,
所以不同的放法种数为;
（4）6个不同的小球放入4个不同的箱子,每个箱子至少放1个小球,先把6个不同的小球按2,2,1,1和3,1,1,1两种方案分成4组,
每一种分法的4组小球全排列,得到的每一个排列的4组小球分别放入4个箱子满足要求,
所以不同的放法种数为．
19．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）证明：由题可知,平面ABCD,所以.
连接BD,因为四边形ABCD为正方形,所以.
又,,平面,所以平面,
所以.
（2）以A为坐标原点,AB,AD,所在直线分别为x,y,z轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
设,,
则,,,,.
因为平面ACE,所以,解得,
所以平面ACE的一个法向量为.
易知是平面ACD的一个法向量,
,所以平面ACD与平面ACE夹角的余弦值为.
20．答案：（1）
（2）证明见解析
解析：（1）设右焦点为,一条渐近线方程为,
所以该焦点到渐近线的距离为.
因为,所以.
故C的方程为.
（2）当直线l的斜率不存在时,l的方程为,此时,.
当直线l的斜率存在时,不妨设,且.
联立方程组得.
由,得.
联立方程组,得.
不妨设l与的交点分别为P,Q,则.
同理可求,所以.
因为原点O到l的距离,所以.
因为,所以.
故的面积为定值,定值为.
21．答案：（1）;
（2）或.
解析：设,,则AB中点M的横坐标,可得,
由抛物线定义有,解得,
可得抛物线方程为.
（2）因为F为的垂心,可得,
又,,则,
所以,设直线AB方程为,,,
由,整理得,整理得①,
故,可得,且,,
垂心性质知,有,
所以,即,
整理得,
由①可得,
整理有,
所以,解得,,经检验符合题意,
则直线方程为或.
22．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）如图,取AD的中点F,连接PF,EF．
底面ABCD是正方形,, ,．
,EF,平面PEF, 平面PEF．
又平面PEF, ．
（2）由（1）可知,二面角的平面角为,且为,
过点P作PO垂直于直线EF,垂足为O,
平面PEF,平面PEF, ,
,AD,平面ABCD, 平面ABCD,
以O为原点,OE,OP所在的直线分别为y轴、z轴,建立如图所示的空间直角坐标系．

易得,,,,
则,,,,,
,,,,
设平面PAB的法向量为,则
得取,则．
设,,则,
设直线DG与平面PAB所成的角为,
则,
令,则,．
当时,,;
当时,,
当,即,时,取得最大值,且最大值为,此时．
所以直线DG与平面PAB所成角的最大值为．
5
8
9
P