江西省宜春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份江西省宜春市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．下列新能源汽车的标志中，是中心对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列事件中，是必然事件的是（ ）
A．任意抛一枚硬币，正面朝上B．随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数
C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯D．任意画一个圆内接四边形，其对角互补
3．用配方法解方程时，配方后正确的是（ ）
A．B．C．D．
4．若是方程的一个根，则（ ）
A．-1B．0C．1D．3
5．如图，在中，，，则（ ）
A．70°B．55°C．45°D．35°
6．如图，边长为4的正六边形的中心与坐标原点重合，轴，点为的中点，将正六边形绕原点顺时针旋转次，每次旋转，当时，点的坐标为（ ）
A．B．C．D．
二、填空题
7．已知的半径为，如果圆心到直线的距离为，那么直线与的位置关系是 ．
8．已知点，点与点关于原点对称，则点的坐标是 ．
9．将抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的函数表达式为 ．
10．中国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步，问它的长与宽各多少步？利用方程思想，设宽为x步，则依题意列方程为 ．
11．已知：如图，圆锥的底面直径是10cm，高为12cm，则它的侧面展开图的面积是 cm2．
12．如图，内接于，，点Q是上一个动点（不与图中已知点重合），连接，若是等腰三角形，则的度数为 ．
三、解答题
13．(1)解方程：；
(2)如图，是正方形内一点，绕着点旋转后到达的位置．若，求线段的长．

14．某市交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔7月份到9月份的销售量，该品牌头盔7月份销售500个，9月份销售720个，且从7月份到9月份销售量的月增长率相同，求该品牌头盔销售量的月增长率．
15．已知二次函数的图象经过点，顶点坐标为．
(1)求这个函数的解析式；
(2)试判断点是否在此函数图象上．
16．2023年9月23日-10月28日在我国杭州举行了第19届亚运会和亚残运会．亚运会吉祥物“宸宸”、“琮琮”、“莲莲”和亚残运会吉祥物“飞飞”都深受人们的喜爱，小明收集了如图所示的四张小卡片（除正面内容不同外，其余均相同），现将四张卡片背面朝上，洗匀放好．
(1)小明从中随机抽取一张卡片是“飞飞”的概率是___________；
(2)小明从中随机抽取一张卡片（不放回），再从余下的卡片中随机抽取一张，请你用适当的方法求抽到的两张卡片恰好是“莲莲”和“琮琮”的概率．（这四张卡片依次分别用字母，，，表示）
17．请用无刻度的直尺，按要求完成下列作图．
(1)如图1，是半圆的直径，等边的边、与半圆分别交于点、点，请确定半圆所在圆的圆心；
(2)如图2，是半圆的直径，，点、点是半圆上的两个点，连接，在上找一点，使得为等腰三角形．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
(1)求实数的取值范围；
(2)若该方程的两个根都是符号相同的实数，当是最小整数时，试求该方程的根．
19．掷实心球是某市初中毕业升学体育考试选考项目之一．如图1是一名男生掷实心球情境，实心球行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图2所示．掷出时，起点处高度为．当水平距离为4m时，实心球行进至最高点5m处．
图1 图2
(1)求关于的函数表达式；
(2)根据某市2023年初中毕业升学体育考试评分标准（男生版），投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于12.4m时，即可得满分．该男生在此项考试中能否得满分，请说明理由．
20．如图，在中，，是的角平分线，点在上，以点为圆心，长为半径的圆经过点，交于点，交于点．
(1)求证：是的切线；
(2)若，，求半径的长．
21．企鹅塔祖尼是2023年女足世界杯的吉祥物，塔祖尼造型的玩偶非常畅销．某特许经销店销售一种塔祖尼造型玩偶，每件成本为8元，在销售过程中发现，每天的销售量（件）与每件售价（元）之间存在一次函数关系（其中，且为整数）．当每件售价为8元时，每天的销售量为110件；当每件售价为10元时，每天的销售量为100件．
(1)求与之间的函数关系式．
(2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为多少元?
(3)设该商店销售这种玩偶每天获利（元），当每件玩偶的售价为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少元?
22．（1）观察发现
如图1，和都是等边三角形，且点B、C、E在一条直线上，连接和相交于点P填空：
①线段与的数量关系是______；
②的度数为______．

（2）深入探究
如图2，将绕点C逆时针旋转一定的角度，其他条件与（1）中相同，（1）中的结论是否仍然成立，请说明理由．

（3）拓展应用
如图3，四边形中，，，，，，求边的长度．

23．如图，抛物线：与x轴交于点A，顶点为点P．
(1)直接写出抛物线的对称轴是______，用含a的代数式表示顶点P的坐标______；
(2)把抛物线绕点旋转180°得到抛物线（其中），抛物线与x轴右侧的交点为点B，顶点为点Q．
①当时，求线段AB的长：
②在①的条件下，是否存在为等腰三角形，若存在请求出a的值，若不存在，请说明理由．
参考答案：
1．D
【分析】根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形可得答案．
【详解】解：A、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意，
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、是中心对称图形，故选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查了中心对称图形，熟记定义是解答本题的关键．
2．D
【分析】本题考查的是必然事件、不可能事件、随机事件的概念，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断相应事件的类型即可．
【详解】解：A．“任意抛一枚硬币，正面朝上”是随机事件，故此选项不符合题意；
B．“随意翻开一本数学书，这页的页码是偶数”是随机事件，故此选项不符合题意；
C．“经过有交通信号灯的路口，遇到红灯”是随机事件，故此选项不符合题意；
D．“任意画一个圆内接四边形，其对角互补”是必然事件，故此选项符合题意；
故选：D．
3．C
【分析】本题考查了配方法解一元二次方程，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，即可得到结果．
【详解】解：，
，即．
故选：C．
4．D
【分析】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握求代数式值中的整体思想是解题的关键．根据已知可得，从而可得，运用整体思想进行计算即可解答．
【详解】解：由题意得：，
，
，
故选：D．
5．B
【分析】本题考查圆周角定理，连接，根据同弧所对圆周角与圆心角的关系求出，进而求解．
【详解】解：连接，
则，
∴，
∵，
∴
故选：B．
6．B
【分析】本题考查的是正多边形和圆、旋转变换的性质，掌握正多边形的性质、旋转变换的性质是解题的关键．根据正多边形的性质得到，，根据勾股定理求出，根据规律解答即可．
【详解】解：∵正六边形的中心与坐标原点重合，
∴，
∴，，
∴，
∵六边形是正六边形，
∴点A的坐标为，点B的坐标为，点C的坐标为，点D的坐标为，点E的坐标为，点F的坐标为，
∵点为的中点，
∴点Q的坐标为，旋转1次后的坐标为，旋转2次后的坐标为，旋转3次后的坐标为，旋转4次后的坐标为，旋转5次后的坐标为，旋转6次后的坐标为，
∵六边形是正六边形，
∴正六边形绕原点O顺时针旋转6次回到原位置，
∵，
∴当时，点Q的坐标为 ，
故选：B．
7．相切
【分析】根据圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切，可得答案．
【详解】解：已知⊙O的半径为5cm，如果一条直线和圆心O的距离为5cm，即d=r，
那么这条直线和这个圆的位置关系为相切，
故答案为：相切．
【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系；圆心与直线的距离小于半径，直线与圆相交；圆心到直线的距离等于半径，直线与圆相切；圆心到直线的距离大于半径，直线与圆相离．
8．
【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，根据点关于原点成中心对称的点的坐标为求解即可．熟练掌握关于原点对称的点的坐标变化规则是解答的关键．
【详解】解：∵点Q与点关于原点成中心对称，
∴点Q坐标是，
故答案为：．
9．
【分析】本题考查了二次函数图象与几何变换，先确定抛物线的顶点坐标为，再根据点平移的规律得到点平移后所得对应点的坐标为，然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式．
【详解】解：抛物线向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，则得到的抛物线的函数表达式为：，
故答案为：．
10．x(x+12)=864
【分析】本题理清题意后，可利用矩形面积公式，根据假设未知数表示长与宽，按要求列方程即可．
【详解】因为宽为x，且宽比长少12，所以长为x+12，
故根据矩形面积公式列方程：x(x+12)=864，
故答案：x(x+12)=864．
【点睛】本题考查一元二次方程的实际应用，此类型题目去除复杂题目背景后，按照常规公式，假设未知数，列方程求解即可．
11．65π
【详解】解：∵圆锥底面直径为10cm，
∴圆锥底面半径为5cm.
又∵圆锥高为12cm，
∴圆锥母线长为：（cm）.
∴圆锥侧面展开图的面积为：（cm2）.
【点睛】本题考查了圆锥的 侧面积，解题关键是明确当圆锥的底面半径为,圆锥高为，母线长为时，（1）；（2）圆锥侧面积为：S=.
12．或或
【分析】本题考查了弧、弦、圆心角的关系，圆周角定理和等腰三角形的性质，解决本题的关键是综合运用以上知识进行分类讨论．当点Q在的右侧时，只有，当点Q在的左侧时，有两种情形：，，分别求解即可．
【详解】解：若，则点Q与点B重合，不符合题意．
情况1，如图，点Q在的右侧，当时，此时，连接、，
，
，
，
，
；
情况2，如图，点Q在的左侧，当时，连接、，
由情况1知，
优弧所对的圆心角=，
与情况1类似，，
；
情况3，如图，点Q在的左侧，当时，连接，
，
，
，
，
，
，
，
，
故答案为：或或．
13．(1)，
(2)
【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可；
（2）由正方形，旋转的性质可知，，，然后根据勾股定理计算求解即可．
【详解】（1）解：，
，
∴或，
解得，，；
（2）解：由正方形，旋转的性质可知，，，，
∴，
由勾股定理得，，
∴线段的长为．
【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理等知识．熟练掌握因式分解法解一元二次方程，正方形的性质，旋转的性质，勾股定理是解题的关键．
14．
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔7月份及9月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可．
【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为，
依题意，得：，
解得：，（不合题意，舍去）．
答：该品牌头盔销售量的月增长率为．
15．(1)
(2)在此函数图象上
【分析】本题主要考查了待定系数法求二次函数的解析式：
（1）运用待定系数法求出的值即可求出二次函数的解析式；
（2）将坐标代入抛物线的解析式即可知道它是否在该函数的图象上
【详解】（1）解：由题意得，对称轴，
将点代入函数得
将点代入函数得，
解得，，．
这个函数的解析式为．
（2）解：当时，．
在此函数图象上
16．(1)
(2)
【分析】此题考查了概率公式及列表法与树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键．
（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有12种等可能的结果，两次抽取的卡片图案不相同的结果有2种，再由概率公式求解即可．
【详解】（1）解：从中任意抽取1张，抽得卡片上的图案恰好为“飞飞”的概率是，
故答案为：；
（2）解：画树状图如图所示：
由图可知，共有12种等可能结果，其中抽到两张卡片恰好是“莲莲”和“琮琮”的结果有2种，
抽到两张卡片恰好是“莲莲”和“琮琮”的概率为．
答：抽到两张卡片恰好是“莲莲”和“琮琮”概率为．
17．(1)详见解析
(2)详见解析
【分析】（1）连接，交于点J，由直径所对的圆周角是易知、是等边三角形的高，根据“三线合一”可知连接并延长交于点O，点O即为所求；
（2）延长，交于点E，根据可知是等边三角形，连接，交于点J，连接交于点F，由（1）易证，点F即为所求．
【详解】（1）如图1所示，连接，交于点J，连接，延长交于点O，点O即为所求；
（2）如图2所示，延长，交于点E，连接，交于点J，连接交于点F，点F即为所求．
【点睛】本题是无刻度直尺作图，考查了圆周角定理、等边三角形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
18．(1)
(2)，
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式以及根与系数的关系，掌握相关知识是解题关键．
（1）利用根的判别式，即可求出答案；
（2）根据题意，利用根与系数的关系得到，，求出m的范围，再根据“是最小整数时”确定m的值，解一元二次方程，从而得解．
【详解】（1）解：根据题意得，
解得；
（2）解：设，是方程的两根，
根据题意得，，解得，
，
，
为最小整数，
，
当时，原方程为，解得，．
19．(1)
(2)该男生在此项考试中不能得满分
【分析】本题主要考查二次函数的实际运用，掌握二次函数的性质及求解是解题的关键．
（1）由图2可知，顶点坐标为，设二次函数表达式为，由此即可求解；
（2）令（1）中抛物线的解析式，且，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：设关于的函数表达式为，
把代入解析式得：，
解得：，
关于的函数表达式为；
（2）解：该男生在此项考试中不能得满分，
理由：令，则，
解得：，（舍去），
，
该男生在此项考试中不能得满分．
20．(1)详见解析
(2)10
【分析】本题重点考查圆的切线的判定、矩形的判定与性质、勾股定理等知识．
（1）连接，根据等腰三角形的性质和平行线的判定证明，得到，再根据圆的切线的判定定理即可证明是的切线；
（2）设的半径为，则，作于点，则，，可证得四边形是矩形，在中根据勾股定理列方程即可求出r的值．
【详解】（1）证明：如图，连接，
，
，
是的角平分线，
，
，
，
，
经过的半径的端点，且，
是的切线．
（2）解：如图，设的半径为，则，作于点，则，，
，
四边形是矩形，
，，
，，
，
，
，
解得，
的半径长为10．
21．(1)
(2)若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元
(3)每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元
【分析】本题考查二次函数的应用，一次函数的应用，一元二次方程的应用，待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最值．
（1）根据给定的数据,利用待定系数法即可求出y与x之间的函数关系式；
（2）根据题意列出利润的一元二次方程，正确解出即可，并注意x的取值范围；
（3）利用销售该消毒用品每天的销售利润每件的销售利润每天的销售量，即可得出w关于x的函数关系式，再利用二次函数的性质即可解决最值问题．
【详解】（1）解：设每天的销售量（件）与每件售价（元）函数关系式为：，
由题意可知：，
解得：，
与之间的函数关系式为：；
（2）解：根据题意得：，
解得：，（舍去），
答：若该商店销售这种玩偶每天获得360元的利润，则每件玩偶的售价为12元；
（3）解：根据故意得：
，
，且为整数，
当时，随的增大而增大，
当时，有最大值，最大值为525．
答：每件消毒用品的售价为15元时，每天的销售利润最大，最大利润是525元．
22．（1）①；②；（2）（1）中结论仍然成立，理由见解析；（3）8
【分析】（1）①利用等边三角形的性质得到，进而利用证明，由此即可得到；②由全等三角形的性质可得，再由三角形外角的性质可推出
（2）同（1）证明得到，，再根据三角形外角的性质求出，则可得；
（3）先证明是等边三角形，如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，则，证明是等边三角形，得到，进一步证明．由勾股定理得．
【详解】解：（1）①∵和都是等边三角形，
，
，即．
在和中，
，
，
；
故答案为：；
②∵
∴，
，，
；
故答案为：；
（2）（1）中的结论仍然成立，理由如下：
∵和都是等边三角形，
，
，即．
在和中，
∵
，
，
，
，
，
∴（1）中的结论仍然成立；

（3），
是等边三角形，
∴，
如图所示，将绕点C逆时针旋转得到，连接，

∴，
是等边三角形，
，
由旋转的性质知，
，
∴
．
在中，由勾股定理得，
．
【点睛】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，旋转的性质，三角形外角的性质等等，熟练掌握手拉手模型证明三角形全等是解题的关键．
23．(1)直线，
(2)①6；②存在，取或
【分析】（1）根据二次函数的性质，求解即可；
（2）①利用旋转的性质可得，令，确定点的坐标，即可求解；②分三种情况，讨论求解即可．
【详解】（1）解：∵抛物线：，
∴，，
故答案为：直线，．
（2）解：①由旋转知，，
当时，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，，
∴
∵，，
∴，
，
当时，，解得：，（舍去）；
当时，，解得：，（舍去）；
当时，，不成立，
即当取或时，为等腰三角形．
【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，等腰三角形的性质，旋转的性质，解题的关键是熟练掌握相关基础性质．