高三数学知识点总结：35：排列组合和二项式定理

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（1）分类计数定理（加法原理）：如果完成一件事，有类方式，在第1类方式中有种不同的方法，在第2类方式中有种不同的方法，，在第类方式中有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（2）分步计数定理（乘法原理）：如果完成一件事，需要完成个步骤，做第1步有种不同的方法，做第2步有种不同的方法，，做第步有种不同的方法，那么完成这件事共有种不同的方法.
（3）两个计数原理的区别
分类计数原理与分步计数原理的区别关键在于看事件能否完成，事件完成了就是分类，分类后要将种数相加；事件必须要连续若干步才能完成的则是分步，分步后要将种数相乘.
排列
排列的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从个不同元素中取出个元素的一个排列.
排列数的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素的所有排列的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的排列数，用符号表示.
排列数公式：.
特别地： = 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①（全排列） = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②
3.组合
（1）组合的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素并成一组，叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合.
（2）组合数的定义：一般地，从个不同元素中取出个元素的所有组合的个数，叫做从个不同元素中取出个元素的组合数，用符号表示.
（3）组合数公式：.
特别地：.
组合数的性质：①；②； = 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③.
解决排列与组合问题的常用方法
通法：先特殊后一般（有限制条件问题），先组合后排列（分组问题），先分类后分步（综合问题）.
例：某校开设9门课程供学生选修，其中A、B、C三门由于上课时问相同，至多选一门，学校规定，每位同学选修4门，共有多少种不同的选修方案？答：
特殊元素、位置优先安排法：对问题中的特殊元素或位置优先考虑排列，然后排列其他一般元素或位置.
例4-1：0、2、3、4、5这五个数字，组成没有重复数字的三位数，其中偶数共有几个？
答：
限制条件排除法：先求出不考虑限制条件的个数，然后减去不符合条件的个数.也适用于解决“至多”“至少”的排列组合问题.
例4-2：从7名男同学和5名女同学中选出5人，若至少有2名女同学当选，问有多少种情况？
答：
（3）相邻问题“捆绑法”：将必须相邻的元素“捆绑”在一起，当作一个元素进行排列，待整个问题排好之后再考虑它们内部的排列数，它主要用于解决相邻问题.
例4-3：5个男生3个女生排成一列，要求女生排一起，共有几种排法？ 答：
不相邻问题“插空法”：先把无位置要求的元素进行排列，再把规定不相邻的元素插入已排列好的元素形成的“空档”中（注意两端）.
例4-4：5个男生3个女生排成一列，要求女生不相邻且不可排两头，共有几种排法？
答：
（5）元素相同“隔板法”：若把个不加区分的相同元素分成组，可通过个相同元素排成一排，在元素之间插入块隔板来完成分组，共种方法.
例4-5：10张参观公园的门票分给5个班，每班至少1张，有几种选法？ 答：
（6）元素不多“列举法”：即把符合条件的一一列举出来.
例4-6：将数字1、2、3、4填入标号为1、2、3、4的四个方格内，每个方格填一个，则每个方格的标号与所填的数字均不相同的填法种数有 种。答：9.
（7）选排问题先取后排法：常先取出元素（组合）再排列.
例4-7：高三（6）班有34个男生，11个女生，从45名学生中选3名男生、2名女生分别担任班长、副班长、学习委员、文娱委员、体育委员，共有多少种不同的方法？答：
（8）定序问题消序法：甲、乙、丙顺序一定，采用消序法即除法，用总排列数除以顺序一定的排列数.
例4-8:2名女生、4名男生排成一排，问：女生甲必须排在女生乙的左边（不一定相邻）的不同排法共有多少种？答：
注意：在计算排列组合问题时，可能会遇到“分组”问题，要特别注意是平均分组还是不平均分组．比如将4个元素分为两组，若一组一个、一组三个共有种不同的分法；而平均分为两组则有种不同的分法．
二项式定理
定理内容：.右边的多项式叫做的二项展开式，它共有项，二项展开式的通项为第项，即二项展示式中的叫做第项的二项式系数.
注意：二项展开式中某项的系数不同于该项的二项式系数.例：在的展开式中，第4项的二项式系数是而第4项的系数是
（2）二项式系数的性质
展开式的二项式系数有如下性质：
= 1 \* GB3 \* MERGEFORMAT ①； = 2 \* GB3 \* MERGEFORMAT ②；
= 3 \* GB3 \* MERGEFORMAT ③当时，；当时，；
= 4 \* GB3 \* MERGEFORMAT ④若是偶数，则中间项(第项)的二项公式系数最大，其值为C；若是奇数，则中间两项(第项和第项)的二项式系数相等，并且最大，其值为C= C；
= 5 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑤所有二项式系数和等于，即；
= 6 \* GB3 \* MERGEFORMAT ⑥奇数项的二项式系数和等于偶数项的二项式系数和，即

注：在应用二项式定理求系数和（或二项式系数和）时，通常会采用特殊化的方式（“赋值法”）来处理问题，即将二项式定理中的变量用一些特殊的数字、代数式代入（或求导后再赋值），从而得到所要研究的对象.
1. .
2. .
3. .
4. .
5. .
例：已知的展开式的二项式系数的和比的展开式的二项式系数和大在的展开式中：（1）求二项式系数最大的项；（2）求各项系数的和；（3）求系数的绝对值最大的项. 答：（1）；（2）1；（3）
百分位数
（1）定义：一般地，一组数据的第百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值.
（2）算法：可以通过下面的步骤计算一组个数据的第百分位数：
第一步，按从小到大排列原始数据.
第二步，计算.
第三步，若不是整数，而大于的比邻整数为则第百分位数为第项数据；若是整数，则第百分位数为第项与第项数据的平均数.
应用：我们初中学过的中位数，相当于是第50百分位数.在实际应用中，除了中位数外，常用的分位数还有第25百分位数，第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等.另外，像第1百分位数，第5百分位数，第95百分位数和第99百分位数在统计中也经常被使用.
例1．根据所给的以下数据:3.81，3.65，3.68，3.83，3.68，3.80，3.72，3.73，3.75，3.80，求他们的75%，50%分位数.
例2.我国是世界上严重缺水的国家之一，某市为了制定合理的节水方案，对家庭用水情况进行了调查，通过抽样，获得了某年100个家庭的月均用水量（单位：t），将数据按照，，，，分成5组，制成了如图所示的频率分布直方图.求全市家庭月均用水量的25%分位数的估计值（精确到0.01）.
答案：例1. 3.80；3.74； 例2.