2024常州高三上学期期末学业水平监测试题数学含解析

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注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号等填写在答题卡和试卷指定位置上．
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．
3．考试结束后，将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合A＝{x|x2＝x}，B＝{x|lnx＜0}，则A∪B＝
A．[0，1] B．(0，1] C．[0，1) D．(0，1)
2．在复平面内，复数z＝－eq \f(1,2)＋eq \f(\r(,3),2)i对应的向量为eq \\ac(\S\UP7(→),OA)，复数z＋1对应的向量为eq \\ac(\S\UP7(→),OB)，那么向量eq \\ac(\S\UP7(→),AB)对应的复数是
A．1 B．－1 C．eq \r(,3)i D．－eq \r(,3)i
3．已知实数a，b满足等式lga＝lnb，下列三个关系式中可能成立的个数为
①a＜b＜1；②1＜a＜b；③a＝b．
A．0 B．1 C．2 D．3
4．对任意实数a，b，C，在下列命题中，真命题是
A．“ac2＞bc2”是“a＞b”的必要条件
B．“ac2＝bc2”是“a＝b”的必要条件
C．“ac2＝bc2”是“a＝b”的充分条件
D．“ac2≥bc2”是“a≥b”的充分条件
5．已知扇形AOB的半径为5，以O为原点建立如图所示的平面直角坐标系，eq \\ac(\S\UP7(→),OA)＝(5，0)，eq \\ac(\S\UP7(→),OB)＝(4，3)，弧AB的中点为C，则eq \\ac(\S\UP7(→),OC)＝
(第5题图)
A．(eq \f(9,2)，eq \f(3,2)) B．(eq \f(3\r(,10),2)，eq \f(\r(,10),2)) C．(4，2) D．(2eq \r(,5)，eq \r(,5))
6．已知正三棱锥P－ABC的侧棱长为3，当该三棱锥的体积取得最大值时，点A到平面PBC的距离是
A．3eq \r(,2) B．eq \r(,6) C．3 D．eq \f(3\r(,3),2)
7．已知定义在R上的函数f(x)的导数为f′(x)，f(1)＝e，且对任意的x满足f′(x)－f(x)＜ex，则不等式f(x)＞xex的解集是
A．(－∞，1) B．(－∞，0) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞)
8．已知圆C的直径AB长为8，与C相离的直线l垂直于直线AB，垂足为H，且0＜AH＜2，圆C上的两点P，Q到l的距离分别为d1，d2，且d1≠d2．若d1＝AP，d2＝AQ，则d1＋d2＝
A．2 B．4 C．6 D．8
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．已知一组样本数据x1，x2，…，xn(n≥4)，其中x1＜0＜xn，若由yk＝2xk＋1(k＝1，2，…，n)生成一组新的数据y1，y2，…，yn，则这组新数据与原数据可能相等的量有
A．极差 B．平均数 C．中位数 D．标准差
10．对某城市进行气象调查，发现从当天上午9：00开始计时的连续24小时中，温度θ(单位：°C)与时间t(单位：h)近似地满足函数关系θ＝Asinωx＋B(A＞0，B＞0，0＜ω＜eq \f(1,2))，其中0≤t≤24．已知当天开始计时(t＝0)时的温度为25°C，第二天凌晨3：00时温度最低为19°C，则
A．ω＝eq \f(π,12)
B．当天下午3：00温度最高
C．温度为28°C是当天晚上7：00
D．从当天晚上23：00到第二天清晨5：00温度都不高于22°C
11．在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，P在线段BD1上运动(包括端点)，下列说法正确的有
A．存在点P，使得CP⊥平面A1DB
B．不存在点P，使得直线C1P与平面A1DB所成的角为30°
C．PC＋PD的最小值为2eq \r(,3)
D．以P为球心，PA为半径的球体积最小时，被正方形ADD1A1截得的弧长是eq \f(2\r(,2),3)π
12．关于函数f(x)＝eq \f(2x＋1,\r(,x\s(2)＋1))，下列说法正确的有
A．函数f(x)的图象关于点(－eq \f(1,2)，0)对称
B．函数f(x)在(－∞，2)上单调递增，在(2，＋∞)上单调递减
C．若方程f(x)＝t恰有一个实数根，则t＝eq \r(,5)
D．若∀x∈R，都有f(x)＞m，则m≤－2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知双曲线的标准方程为eq \f(x\s(2),k－4)＋\f(y\s(2),k－5)＝1，则该双曲线的焦距是 ．
14．已知函数f(x)＝eq \B\lc\{(\a\al(－a－x\s(2)＋\f(3,x)，x＜0，,lg\s\d(3)x－2，x＞0，))若f[f(eq \f(1,3))]＝a，则实数a的值为 ．
(第15题图)
15．如图，以等腰直角三角形BA0A1的直角边BA1为斜边，在△BA0A1外侧作等腰直角三角形BA1A2，以边BA0的中点O1为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A0A1；再以等腰直角三角形BA1A2的直角边BA2为斜边，在△BA1A2外侧作等腰直角三角形BA2A3，以边BA1的中点O2为圆心，作一个圆心角是90°的圆弧A1A2；…；按此规律操作，直至得到的直角三角形BAi－1Ai的直角顶点Ai首次落到线段BA0上，作出相应的圆弧后结束．若BA0＝4，则i＝ ，所有圆弧的总长度为 ．
16．已知二面角α－l－β为60°，α内一条直线m与l所成角为30°，β内一条直线n与l所成角为45°，则直线m与直线n所成角的余弦值是 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(10分)
已知等差数列{an}的前n项和为Sn＝n2＋cn＋c，c∈R．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)记bm为{an}在区间(0，2EQ \S\UP6(a\S\DO(m))](m∈N*)中的项的个数，求数列{bn}的通项公式．
18．(12分)
某制造商生产的5000根金属棒的长度近似服从正态分布N(6，σ2)，其中恰有114根金属棒长度不小于6.04．
(1)求σ；
(2)如果允许制造商生产这种金属棒的长度范围是(5.95，6.05)，那么这批金属棒中不合格的金属棒约有多少根?
说明：对任何一个正态分布X~N(μ，σ2)来说，通过Z＝eq \f(X\s\d(1)－μ,σ)转化为标准正态分布Z~N(0，1)，从而查标准正态分布表得到P(X＜X1)＝Φ(Z)．
可供查阅的(部分)标准正态分布表Φ(Z)
19．(12分)
记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，AC边上的高为h，已知B＝eq \f(π,3)．
(1)若b＝eq \r(,3)h，求eq \f(c,a)的值；
(2)若c－a＝h，求sinA－eq \r(,3)csA的值．
20．(12分)
如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA＝AD，PD＝2eq \r(,3)，M是AB的中点，N是线段PC上一点，且MN∥平面PAD，MN⊥PC．
(1)求证：CD⊥平面PAD；
(2)求平面MNC与平面PBD所成的二面角的正弦值．
(第20题图)
21．(12分)
已知函数f(x)＝mex＋csx＋n，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处切线方程为y＝x．
(1)讨论函数f(x)在[－π，＋∞)上的单调性；
(2)当x∈[0，＋∞)时，f(x)≥3sinx－ax恒成立，求实数a的取值范围．
22．(12分)
已知椭圆C：EQ \F(x\S(2),a\S(2))＋\F(y\S(2),b\S(2))＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，离心率为e，A，B是C上的相异两点，P(2a，0)．
(1)若点A，B关于原点对称，且FA⊥FB，求e的取值范围；
(2)若点A，B关于x轴对称，直线PA交C于另一点D，直线BD与x轴的交点Q的横坐标为1，过Q的直线交C于M，N两点．已知e＝eq \f(1,2)，求EQ \\ac(\S\UP7(→),OM)·EQ \\ac(\S\UP7(→),ON)的取值范围．
Z
1.1
1.2
1.3
1.4
1.5
1.6
1.7
1.8
1.9
Φ(Z)
0.8643
0.8849
0.9032
0.9192
0.9332
0.9452
0.9554
0.9641
0.9713
Z
2.0
2.1
2.2
2.3
2.4
2.5
2.6
2.7
2.8
Φ(Z)
0.9772
0.9821
0.9861
0.9893
0.9918
0.9938
0.9953
0.9965
0.9974