备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题18 直线与方程【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版

这是一份备战2024年高考数学一轮复习艺体生高频考点专用复习讲义word版专题18 直线与方程【艺体生专供—选择填空抢分专题】备战2024年高考高频考点题型精讲+精练（新高考通用）解析版，共38页。试卷主要包含了考向解读，知识点汇总，题型专项训练，高考真题及模拟题精选，题型精练，巩固基础等内容，欢迎下载使用。

一、考向解读
考向：高考中直线与方程一般不直接考查，而是结合解析几何中圆锥曲线的内容考查，基础考点是直线的切斜角、斜率、方程和位置关系，以及相关的距离公式等。
考点：直线的斜率，直线的方程、直线平行和垂直
导师建议：掌握直线的斜率和倾斜角之间的关系，了解直线的斜截式、点斜式和一般式方程！
二、知识点汇总
1.直线的斜率
（1）一条直线倾斜角(其中)的正切值叫做这条直线的斜率，斜率通常用小写字母表示，即．
（2）（、）.
2.直线的五种方程
（1）点斜式 (直线过点，且斜率为)．
（2）斜截式 (b为直线在y轴上的截距).
（3）一般式 (其中A、B不同时为0).
（4）两点式 ()(、 ()).
（5）截距式 (分别为直线的横、纵截距，)
3.两条直线的平行和垂直
(1)若，
①;
②.
(2)若,,
①；
②；
5.点到直线的距离
(点,直线：).
【常用结论】
1.两点间距离公式
点到点的距离为
的距离为
2.两平行线间的距离公式
两平行直线，间的距离为
3.设，(，，)是两条直线，则有：
(1)和平行；
(2)和垂直．
三、题型专项训练
目录一览
①直线的倾斜角和斜率
1．已知点，点，则直线的倾斜角为（ ）
A．30°B．60°C．120°D．135°
【答案】B
【分析】先由，求斜率，再求倾斜角.
【详解】设直线的斜率为k,则.令直线的倾斜角为，则，，.
故选：B
2．若直线经过坐标原点和，则它的倾斜角是（ ）
A．B．C．D．或
【答案】C
【分析】求出直线的斜率，进而可求得该直线的倾斜角．
【详解】由题意可知，直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，则，显然，所以，得．
故选：C．
3．已知经过两点和的直线的倾斜角为，则m的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据倾斜角求出直线的斜率，根据过两点的斜率公式列式求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以该直线的斜率为.
所以，解得.
故选:C.
4．如图，已知直线的斜率分别为，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】由题图，利用直线的斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角分别为，
由题图知，直线的倾斜角为钝角，.又直线的倾斜角均为锐角，且，
，.
故选：D.
5．设，为实数，已知直线的斜率，且，，是这条直线上的三个点，则（ ）
A．4B．3C．D．1
【答案】D
【分析】由已知，，是斜率直线上的三个点，进而结合斜率公式，由，得到关于，的方程，解方程即可得答案.
【详解】因为，，是斜率直线上的三个点，
则，所以，解得，．则1．
故选：D.
6．斜拉桥是桥梁建筑的一种形式，在桥梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向与中央索塔一致．如图是阆中市盘龙山嘉陵江大桥，共有10对永久拉索，在索塔两侧对称排列．已知拉索上端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为，拉索下端相邻两个针的间距（，2，…，9）均为．最短拉索的针，，满足，，则最长拉索所在直线的斜率约为（ ）（结果保留两位有效数字）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，建立坐标系，求出点的坐标，再利用斜率坐标公式及对称性求解作答.
【详解】依题意，以直线为x轴，直线为y轴建立平面直角坐标系，如图，
显然，，因此点，
直线的斜率为，由对称性得直线的斜率为，
所以最长拉索所在直线的斜率约为.
故选：C
②直线的方程
7．直线的倾斜角为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】利用直线斜率和倾斜角的关系求解.
【详解】解：设直线的倾斜角为，因为直线的斜率为，
所以，又，所以，故选：A
8．倾斜角为135°，在y轴上的截距为﹣1的直线方程是（ ）
A．x﹣y+1＝0B．x﹣y﹣1＝0C．x+y﹣1＝0D．x+y+1＝0
【答案】D
【分析】先求出直线的斜率，再利用在y轴上的截距是﹣1，用斜截式写出直线方程．
【详解】∵直线倾斜角是135°，∴直线的斜率等于﹣1，
∵在y轴上的截距是﹣1，由直线方程的斜截式得：y＝﹣1×x﹣1，即 y＝﹣x﹣1，
故选：D．
9．直线l：的斜率和在x轴上的截距分别为（ ）
A．，3B．，C．，3D．，
【答案】B
【分析】由可得，据此可得答案.
【详解】，则直线斜率为，
又令，则，故直线在x轴上的截距分别为.
故选：B
10．经过点且倾斜角为的直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先求出直线的斜率，再利用点斜式求出直线方程；
【详解】由倾斜角为知，直线的斜率，因此，其直线方程为，即
故选：B
11．过点和直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先利用斜率公式求得直线的斜率，再利用点斜式即可得解.
【详解】因为直线过点和，
所以，所以直线方程为，即.
故选：A.
12．把直线绕原点逆时针旋转，再向左平移1个单位，所得的直线方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】由旋转角度求旋转后的直线方程，再由平移方向和距离求平移后的方程.
【详解】直线绕原点逆时针旋转，直线仍然过原点，斜率变为，直线方程为，
再向左平移1个单位，所得的直线方程为，即.
故选：B
13．已知直线经过点，则该直线在轴上的截距为（ ）
A．B．C．2D．
【答案】D
【分析】将点代入方程得出，进而由得出所求截距.
【详解】因为直线经过点，所以，解得，
所以直线方程为，令，得．
故选：D
14．直线的倾斜角及在y轴上的截距分别是（ ）
A．，2B．，C．，D．，2
【答案】C
【分析】将直线方程化成斜截式方程，即可求解.
【详解】直线化成斜截式，
可知直线的斜率，故倾斜角为，直线在y轴上的截距为，
故选：C
15．直线恒过定点（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线系方程求解即可.
【详解】将化为，
联立，得，即直线过定点．
故选：C
16．设直线的倾斜角为，且，则满足的关系为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由直线方程可得斜率，得到，结合同角三角函数关系可知，由此可整理得到结果.
【详解】由得：，，
又，，即，整理可得：.
故选：D.
③直线的平行
17．直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．D．或
【答案】B
【分析】两直线平行或重合，，解方程并验证是否重合即可.
【详解】直线与直线平行或重合时，
得，解得或，当时，两直线重合，不成立，所以.
故选：B.
18．已知直线与，若，则（ ）
A．2B．1C．2或-1D．-2或1
【答案】C
【分析】由两直线平行的等价条件，即可得到本题答案.
【详解】因为，所以，解得或.
故选：C
【点睛】本题主要考查利用两直线平行的等价条件求值.
19．已知直线与直线平行，则实数a的值为（ ）
A．B．C．1D．或1
【答案】D
【分析】由两直线平行的条件直接列式求解，注意检验是否重合．
【详解】由，解得或，经过验证满足题意.
故选：D.
20．已知直线与直线，若，则（ ）
A．B．2C．2或D．5
【答案】A
【分析】解方程，再检验即得解.
【详解】解：若，则，
所以或．当时，重合，不符合题意，所以舍去；当时，符合题意．
故选：A
21．“直线与直线相互平行”是“”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】先通过直线平行的判断公式求出，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】因为直线与直线相互平行，
则，解得，又当时，两直线均不重合，故，
所以“直线与直线相互平行”是“”的必要不充分条件.
故选：C.
22．已知直线，，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分又不必要条件
【答案】C
【分析】根据两直线平行可求得实数的值，进而判断可得出结论.
【详解】若，则，即，解得或.
当时，直线的方程可化为，直线的方程可化为，两直线重合，不合乎题意；
当时，直线的方程可化为，直线的方程可化为，
此时，两直线平行，合乎题意.因此，“”是“”的充分必要条件.
故选：C.
④直线的垂直
23．已知直线和互相垂直，则a的值为（ ）
A．1B．C．D．1或
【答案】D
【分析】利用直线垂直的公式计算即可.
【详解】直线和互相垂直,
，解得或.
故选：D.
24．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分必要条件B．充分不必要条件
C．必要不充分条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】根据直线垂直的等价条件结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可.
【详解】若直线与直线相互垂直，
则，即，解得或，
则“”是“直线与直线相互垂直”的充分不必要条件，
故选：B.
【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据直线垂直的等价条件建立方程关系求出的值是解决本题的关键，属于中档题.
25．“”是“直线与直线垂直”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．即不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用直线一般式的垂直公式列方程求出，再根据充分性和必要性的概念得答案.
【详解】若直线与直线垂直，
则，
解得或，又时，直线不存在，所以，
故“”是“直线与直线垂直”的充要条件，
故选：C.
26．已知直线的倾斜角为，直线经过点和，且直线与垂直，的值为（ ）
A．1B．6C．0或6D．0
【答案】D
【分析】求出直线与的斜率，利用两个斜率乘积等于即可求解.
【详解】因为直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，且与垂直，
所以直线斜率存在，
由经过点和，所以直线斜率为，所以，解得：，
故选：D
27．直线 与直线互相垂直，且两直线交点位于第三象限，则实数a的值为（ ）
A．1B．3C．－1D．－3
【答案】C
【分析】根据两直线垂直，列出关于a的方程，求得其值，结合两直线交点在第三象限，即可确定答案.
【详解】由直线 与直线互相垂直，
可得 ，解得 或3，
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，不合题意；
当时，联立 ，解得交点坐标为 ，合乎题意，故实数a的值为 ，
故选:C
⑤与直线相关的距离公式
28．坐标原点O到直线l：的距离是（ ）
A．B．2C．D．
【答案】D
【分析】使用点到直线的距离公式求解.
【详解】O到直线l：的距离.
故选：D
29．若点到直线的距离为（ ）
A．2B．3C．D．4
【答案】B
【分析】直接使用点到直线的距离公式即可.
【详解】由点到直线的距离公式可得,
故选：B.
30．若点到直线的距离为d，则d的最大值为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】A
【分析】由点到直线距离公式求出距离，由三角恒等变换化为一个角的一个三角函数形式，结合正弦函数性质、绝对值的定义得最大值．
【详解】由题意，易知时，．
故选：A．
31．已知直线，当变化时，点到直线的距离的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】确定线过定点，且不与轴垂直，数形结合，即可求得答案.
【详解】由题意知直线过定点，且不与轴垂直，
当直线经过点时，，点到直线的距离最小为0，
当过点的直线垂直于x轴时，点到该直线的距离最大,最大值为3，如图示：
由于的斜率存在，故点到直线的距离小于3，
即点到直线的距离的取值范围是，
故选：D.
32．已知直线和直线，则与之间的距离是（ ）
A．B．C．2D．
【答案】A
【分析】利用平行线间的距离公式计算即可
【详解】由平行线间的距离公式得
故选 ：A
33．直线：与：之间的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】先判断与平行，再由平行线间的距离公式求解即可.
【详解】由可得，即与平行，故与之间的距离为.
故选：B.
34．已知直线与互相平行，则它们之间的距离是（ ）
A．4B．C．D．
【答案】D
【分析】取直线上的定点，再计算到的距离即可.
【详解】取直线上的定点，则到的距离即到的距离为.
故选：D
35．直线关于点对称的直线的方程为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据直线关于直线外一点的对称直线互相平行可知其斜率，再取上一点求其关于点的对称点，即可求出的方程.
【详解】由题意得，故设，
在l上取点，则点关于点的对称点是，所以，即，
故直线的方程为.
故选：C
36．直线关于点对称的直线方程为（ ）
A．4x＋3y－4＝0B．4x＋3y－12＝0
C．4x－3y－4＝0D．4x－3y－12＝0
【答案】B
【分析】首先设对称直线上任意一点，得到关于对称点为，再代入直线即可得到答案。
【详解】设直线关于点对称的直线上任意一点，
则关于对称点为，
又因为在上，所以，即。
故选：B
37．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在的位置为，若将军从山脚下的点处出发，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】D
【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【详解】由关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：D
⑥多选题与填空题
二、多选题
38．已知，直线l的方程为，则直线l的倾斜角可能为（ ）
A．0B．C．D．
【答案】CD
【分析】对分类讨论结合斜率与倾斜角的关系即得.
【详解】当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角可能为，
当时，则直线的斜率不存在，所以直线的倾斜角为，
当时，则直线的斜率为，所以直线的倾斜角范围为，不可能为0和.
故选：CD.
39．已知直线l经过点和，则下列说法正确的是（ ）
A．直线l在两坐标轴上的截距相等
B．直线l的斜率为1
C．原点到直线l的距离为
D．直线l的一个方向向量为
【答案】BC
【分析】由直线l经过的两点坐标，可以求出直线的斜率、直线的方程，利用直线的方程判断选项的正误.
【详解】直线l经过点和，所以直线的斜率，故B正确；
易得直线的方程为，即，
令，得，即纵截距为1，令，得，即横截距为，故A错误；
原点到直线l的距离，故C正确；
因为，所以不是直线l的一个方向向量，故D错误；
故选：BC.
40．下列说法正确的是（ ）
A．点斜式可以表示任何直线
B．已知直线l过点，且在x，y轴上截距相等，则直线l的方程为．
C．直线与直线相互垂直．
D．直线在y轴上的截距为
【答案】CD
【分析】根据直线点斜式方程适用的条件即可判断A；分直线过原点和不过原点两种情况讨论即可判断B；根据两直线垂直的公式即可判断C；根据直线的斜截式方程即可判断D.
【详解】对于A，点斜式表示斜率存在的直线，故A错误；
对于B，若直线过原点，则，所以直线方程为，
若直线不过原点，设直线方程为，将点代入解得，
所以直线方程为，综上，直线l的方程为或，故B错误；
对于C，因为，
所以直线与直线相互垂直，故C正确；
对于D，直线在y轴上的截距为，故D正确.
故选：CD.
41．已知直线：，：，则下列结论正确的是（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为
【答案】AB
【分析】不管为何值，当时，，即可判断A；根据两直线垂直的判定即可求得的值，从而可判断B；根据两直线平行的判定即可求得的值，从而可判断C；结合C选项可得两直线的方程，再根据两直线平行的距离公式即可判断D．
【详解】不管为何值，当时，，所以直线过定点，故A正确；
当时，有，得，故B正确；
当时，有，得，故C错误；
结合C选项知当时，，所以直线：，：，
所以两平行线间的距离为，故D错误．
故选：AB．
42．已知直线：，：（），则（ ）
A．直线过定点B．当时，
C．当时，D．当时，两直线，之间的距离为3
【答案】ABD
【分析】将直线变形为，即可求解定点坐标，进而可判断A，根据两直线垂直和平行满足的系数关系即可代入值求解BC,根据两平行线间距离公式可判断D.
【详解】：（）变形为，
由 则因此直线过定点，故A正确；
当时，：，：，
所以，故两直线平行，故B正确；
当时，：，：，
因为，故两直线不垂直，故C错误；
当时，则满足，解得，此时：，：，即，则两直线间的距离为，故D正确．
故选：ABD．
43．下述四个结论正确的是（ ）
A．过点与圆相切的直线方程为
B．直线与圆相交的充分不必要条件是
C．直线表示过点的所有直线
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】AB
【分析】A选项设过点与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选项B利用充分不必要条件进行判断即可,选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0，或不为0的情况讨论求出即可.
【详解】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：
，
由题设得：，即，解得，
所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，
选项B，若直线与圆相交，则，
所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，
选项C，点在轴上，但是无论取何值，直线不能表示轴上的直线，故C不正确，
选项D，若截距为0时，设直线方程为，
将点代入得：，所以方程为：，
若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，
则设直线方程为：，将点代入得：，
所以所求方程为：.故选项D不正确，
故选：AB.
44．已知直线，则下列表述正确的是（ ）
A．当时，直线的倾斜角为
B．当实数变化时，直线恒过点
C．当直线与直线平行时，则两条直线的距离为1
D．直线与两坐标轴正半轴围成的三角形面积的最小值为4
【答案】ABD
【分析】A选项，可求出直线斜率，即可判断选项正误；
B选项，将直线方程整理为，由此可得直线所过定点；
C选项，由题可得，后由平行直线距离公式可判断选项；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
则围成三角形面积为，后由基本不等式可判断选项.
【详解】A选项，当时，直线方程为，可得直线斜率为1，则倾斜角为，故A正确；
B选项，由题可得，则直线过定点，故B正确；
C选项，因直线与直线平行，则，则直线方程为：，即.则与直线之间的距离为
，故C错误；
D选项，分别令，可得直线与轴，x轴交点为，.
又交点在两坐标轴正半轴，则.故围成三角形面积为，当且仅当
，即时取等号.即面积最小值为4，故D正确.
故选：ABD.
三、填空题
45．若直线的倾斜角为，则实数的值为__________．
【答案】
【分析】根据倾斜角与斜率的知识求得正确答案.
【详解】直线的倾斜角为，所以直线的斜率为，则.
故答案为：
46．已知两直线与平行，则________.
【答案】
【分析】判断不合题意，再根据两直线平行可得斜率相等，列出关于a的等式，求得答案.
【详解】当时，为，
为，两直线不平行；
故时，两直线与平行
可得，解得或，
当时， 即，
即，两直线重合，不合题意，
故，
故答案为：
47．过点且与直线垂直的直线方程___________.
【答案】
【分析】根据题意设出和已知直线垂直的方程为，代入点的坐标可求出，即可得到所求直线方程.
【详解】与直线垂直的直线方程可设为，
因为点在所求直线上，则，所以，所以所求直线为.
故答案为：.
48．已知直线：，：，则与之间的距离为______.
【答案】
【分析】由两平行线间的距离公式即可求得.
【详解】由题意可知与平行，由平行间的距离公式可得.
故答案为：
49．直线与直线关于点对称，则直线的方程为______.
【答案】
【分析】由题意可知，直线应与直线平行，可设直线方程为，由于两条至直线关于点对称，可通过计算点分别到两条直线的距离，通过距离相等，即可求解出，完成方程的求解.
【详解】解：由题意可设直线的方程为，
则，解得或舍去，
故直线的方程为．
故答案为：.
50．直线经过的定点坐标是______．
【答案】
【分析】将直线方程化为点斜式方程判断即可.
【详解】解：将化为点斜式方程得，
所以，直线经过的定点坐标为
故答案为：
四、高考真题及模拟题精选
一、单选题
1．（2021·全国·高考真题）点到双曲线的一条渐近线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先确定渐近线方程，然后利用点到直线距离公式求得点到一条渐近线的距离即可.
【详解】由题意可知，双曲线的渐近线方程为：，即，
结合对称性，不妨考虑点到直线的距离：.
故选：A.
2．（2021·全国·统考高考真题）抛物线的焦点到直线的距离为，则（ ）
A．1B．2C．D．4
【答案】B
【分析】首先确定抛物线的焦点坐标，然后结合点到直线距离公式可得的值.
【详解】抛物线的焦点坐标为，
其到直线的距离：，解得：(舍去).
故选：B.
3．（2020·山东·统考高考真题）已知直线的图像如图所示，则角是（ ）
A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角
【答案】D
【分析】本题可根据直线的斜率和截距得出、，即可得出结果.
【详解】结合图像易知，，，则角是第四象限角，
故选：D.
4．（2020·山东·统考高考真题）直线关于点对称的直线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】设对称的直线方程上的一点的坐标为,则其关于点对称的点的坐标为，代入已知直线即可求得结果.
【详解】设对称的直线方程上的一点的坐标为，
则其关于点对称的点的坐标为，
因为点在直线上，所以即.
故选：D.
5．（2020·全国·统考高考真题）点(0，﹣1)到直线距离的最大值为（ ）
A．1B．C．D．2
【答案】B
【分析】首先根据直线方程判断出直线过定点，设，当直线与垂直时，点到直线距离最大，即可求得结果.
【详解】由可知直线过定点，设，
当直线与垂直时，点到直线距离最大，即为.
故选：B.
【点睛】该题考查的是有关解析几何初步的问题，涉及到的知识点有直线过定点问题，利用几何性质是解题的关键，属于基础题.
6．（2023·天津·统考一模）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在位置为，若将军从点处出发，河岸线所在直线方程为，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A．B．5C．D．
【答案】A
【分析】设关于的对称点为，列方程求对称点坐标，再应用两点距离公式求“将军饮马”的最短总路程.
【详解】设关于的对称点为，
所以，可得，即对称点为，又
所以“将军饮马”的最短总路程为.
故选：A
7．（2023·陕西安康·统考二模）已知直线：，：，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】斜率相等且截距不同的两条直线平行，或不存在斜率的两个不同直线也平行，由此利用条件的充分性和必要性定义即可得出答案.
【详解】当时，：，：，所以，充分性成立；
当时，，即，可得或，必要性不成立
故选：A．
8．（2023·吉林·统考二模）已知，若直线与直线垂直，则的最小值为（ ）
A．1B．3C．8D．9
【答案】D
【分析】根据两直线方程表达式及其位置关系可得，在利用基本不等式即可求得的最小值.
【详解】由题可知，两条直线斜率一定存在，
又因为两直线垂直，所以斜率乘积为，即，即，
整理可得，
所以，当且仅当时，等号成立；
因此的最小值为.
故选：D
9．（2023·贵州贵阳·统考一模）已知直线，直线，其中实数，则直线与的交点位于第一象限的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】首先由两条直线相交，联立方程组写出两条直线的交点坐标，接下来根据交点在第一象限得到a的范围，利用几何概型概率计算公式计算即可
【详解】当时，，此时，
所以，直线与无交点；当时，由，解得：，
由题意，解得，又，
由几何概型的概率公式知，所求的概率为.
故选：A.
二、填空题
10．（2021·全国·统考高考真题）双曲线的右焦点到直线的距离为________．
【答案】
【分析】先求出右焦点坐标，再利用点到直线的距离公式求解.
【详解】由已知，，所以双曲线的右焦点为，
所以右焦点到直线的距离为.
故答案为：
11．（2023·江西南昌·统考一模）函数在x＝1处的切线平行于直线x－y－1＝0，则切线在y轴上的截距为______．
【答案】
【分析】由题意，求得，所以，则，进而求出函数在x＝1处的切线方程，从而得解.
【详解】，由题意，即，
所以，则，故函数在x＝1处的切线方程为，即，
则切线在y轴上的截距为．
故答案为：．
12．（2022·全国·统考高考真题）设点，若直线关于对称的直线与圆有公共点，则a的取值范围是________．
【答案】
【分析】首先求出点关于对称点的坐标，即可得到直线的方程，根据圆心到直线的距离小于等于半径得到不等式，解得即可；
【详解】解：关于对称的点的坐标为，在直线上，
所以所在直线即为直线，所以直线为，即；
圆，圆心，半径，
依题意圆心到直线的距离，
即，解得，即；故答案为：
五、题型精练，巩固基础
一、单选题
1．（2023秋·安徽黄山·高二统考期末）已知直线与直线平行，则的斜率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据给定条件，求出直线的斜率即可作答.
【详解】直线的斜率，而直线，所以直线的斜率为.
故选：C
2．（2023春·甘肃武威·高二校考开学考试）若直线与直线平行，则的值为（ ）
A．B．C．或D．或
【答案】A
【分析】根据两直线平行可得出关于实数的等式与不等式，解之即可.
【详解】因为直线与直线平行，则，解得.
故选：A.
3．（2023秋·福建福州·高二福建省福州铜盘中学校考期末）若直线与直线平行，则m的值为（ ）
A．2B．C．2或D．或
【答案】B
【分析】根据直线的平行可列出方程，求得m的值，验证直线是否重合，即得答案.
【详解】由题意知直线与直线平行，
而直线的斜率为，
则直线必有斜率，即，则，
故，解得或，
当时，直线与直线重合，不合题意；
当时，直线与直线平行，符合题意，故，
故选：B
4．（2023·全国·高三专题练习）设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【分析】根据直线一般式中平行满足的关系即可求解.
【详解】若直线与直线平行，
则，解得或，
经检验或时两直线平行．
故“”能得到“直线与直线平行”，但是 “直线与直线平行”不能得到“”
故选：A
5．（2023秋·湖南长沙·高二湖南师大附中校考期末）已知直线l1：mx－2y＋1＝0，l2：x－(m－1)y－1＝0，则“m＝2”是“l1平行于l2”的( )
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
【答案】C
【分析】利用两直线平行的等价条件求得m，再结合充分必要条件进行判断即可.
【详解】由直线l1平行于l2得－m(m－1)＝1×(－2)，得m＝2或m＝－1，经验证，当m＝－1时，直线l1与l2重合，舍去，所以“m＝2”是“l1平行于l2”的充要条件，
故选C.
【点睛】本题考查两直线平行的条件，准确计算是关键，注意充分必要条件的判断是基础题
6．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二乌市一中校考开学考试）若直线与直线垂直，则的值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】根据两直线垂直与斜率之间的关系即可求解.
【详解】直线与直线垂直，
当时不满足，
当时，，解得．
故选:D.
7．（2023秋·湖北黄冈·高二统考期末）已知直线与轴垂直，则为（ ）
A．B．0C．D．或0
【答案】A
【分析】由直线与轴垂直得到方程和不等式，求出的值.
【详解】因为与轴垂直，所以直线的斜率为0，
所以，且，解得.
故选：A.
8．（2023春·山东济南·高二统考期末）直线与直线的位置关系是（ ）
A．垂直B．相交且不垂直C．平行D．平行或重合
【答案】A
【分析】分和讨论，其中时，写出两直线斜率，计算其乘积即可判断.
【详解】当时，直线，直线，此时两直线垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率，因为，则两直线垂直，
综上两直线位置关系是垂直，
故选：A.
9．（2023春·湖南长沙·高三长沙麓山国际实验学校校考阶段练习）已知直线，则“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【分析】利用必要不充分条件判断.
【详解】由，所以，
即，解得或，所以充分性不成立，
当时，，所以，故必要性成立，
所以“”是“”必要不充分条件，
故选：B.
10．（2023·全国·高三专题练习）已知直线，，且，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】由两直线垂直得到，再代入消元利用二次函数的性质求解.
【详解】解：，则，∴，
所以，二次函数的抛物线的对称轴为，
当时，取最小值.
故选：A．
11．（2023秋·黑龙江哈尔滨·高二哈尔滨三中校考期末）已知两条直线，，则这两条直线之间的距离为（ ）
A．2B．3C．5D．10
【答案】A
【分析】由两平行线距离公式求解即可.
【详解】这两条直线之间的距离为.
故选：A
12．（2023秋·福建南平·高二统考期末）直线与直线之间的距离为（ ）
A．B．C．D．1
【答案】C
【分析】由两线距离公式求值即可.
【详解】，显然与另一条直线平行，则所求距离为.
故选：C.
13．（2023秋·山西阳泉·高二统考期末）若两条直线与平行，则与间的距离是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】根据平行关系求解，进而根据平行线间距离公式即可求解.
【详解】由与平行，可得，
当时，两直线不重合，故，进而与间的距离为，
故选：B
14．（2023秋·江苏苏州·高二常熟中学校考期末）抛物线上一点到其对称轴的距离为（ ）
A．4B．2C．D．1
【答案】A
【分析】利用代入法进行求解即可.
【详解】把代入抛物线方程中，得，
因为该抛物线的对称轴为纵轴，
所以抛物线上一点到其对称轴的距离为4，
故选：A
15．（2023秋·四川遂宁·高二校考期末）已知直线l经过两直线l1：3x﹣y+12＝0，l2：3x+2y﹣6＝0的交点，且与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，则坐标原点到直线的距离为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【分析】先联立方程求得交点坐标，再利用直线垂直求得直线l的斜率，从而求得直线l的方程，进而利用点线距离公式即可得解.
【详解】联立方程组可得，解得，故交点A的坐标为，
因为直线x﹣2y﹣3＝0的斜率为，又直线l与直线x﹣2y﹣3＝0垂直，所以直线l的斜率为﹣2，
故直线l的方程为，即2x+y﹣2＝0；
所以原点到直线的距离为.
故选：A.
16．（2023·高二课时练习）直线关于直线对称的直线为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【分析】根据两直线关于对称直线对称的概念即可求解
【详解】解：设所求直线上的任意一点为
则关于直线对称点为
点在直线上满足直线方程，即
直线关于直线对称的直线为
故选：C
17．（2023秋·浙江湖州·高二统考期末）数学家欧拉1765在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知的顶点分别为，则的欧拉线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.
【详解】由题可知，△ABC的重心为，
可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，
直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，
联立方程可得△ABC的垂心为，
则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，
故△ABC的欧拉线方程为.
故选：C.
二、多选题
18．（2023春·湖南株洲·高二株洲二中校考阶段练习）下述四个结论正确的是（ ）
A．过点与圆相切的直线方程为
B．直线与圆相交的充分不必要条件是
C．直线表示过点的所有直线
D．过点且在坐标轴上截距相等的直线方程是
【答案】AB
【分析】A选项设过点与圆的切线方程，利用圆心到直线的距离等于半径求出直线的斜率即可，选项B利用充分不必要条件进行判断即可,选项C利用反例即可验证，选项D分截距为0，或不为0的情况讨论求出即可.
【详解】对于选项A，设过点与圆相切的直线方程为：
，
由题设得：，即，解得，
所以过点与圆相切的直线方程为，故A正确，
选项B，若直线与圆相交，则，
所以是直线与圆相交的充分不必要条件，故B正确，
选项C，点在轴上，但是无论取何值，直线不能表示轴上的直线，故C不正确，
选项D，若截距为0时，设直线方程为，
将点代入得：，所以方程为：，
若截距不为0时，设在坐标轴上的截距为，
则设直线方程为：，将点代入得：，
所以所求方程为：.故选项D不正确，
故选：AB.
19．（2023秋·河北邢台·高二邢台一中校考期末）已知两条直线，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．若，则或
C．当时，与相交于点
D．直线过定点
【答案】ACD
【分析】根据直线的位置关系分别判断AB，列方程组求得方程组的解得直线交点坐标判断C，由直线方程观察得定点坐标判断D．
【详解】时，，，A正确；
，则，或，
其中时，方程为，即，方程为，两直线平行，
时，两直线方程均为，两直线重合，不平行，B错；
时，由得，即两直线交点为，C正确；
的方程为，恒过点，D正确．
故选：ACD．
20．（2023秋·吉林长春·高二长春吉大附中实验学校校考期末）以下四个命题表述错误的是（ ）
A．恒过定点
B．若直线与互相垂直，则实数
C．已知直线与平行，则或
D．设直线l的方程为，则直线l的倾斜角的取值范围是
【答案】BCD
【分析】根据题意，求出各直线的斜率，依次判断各选项的正误.
【详解】选项A：直线，即，
所以恒过定点，故A正确；
选项B：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，
此时，与互相垂直，
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为两直线互相垂直，所以，解得，
所以或，故B错误；
选项C：根据题意，当时，直线的斜率，直线的斜率不存在，
此时，与互相垂直，舍去，
当时，直线的斜率，直线的斜率，
因为两直线互相平行，所以，解得，
当时，两直线重合，故舍去，
所以，故C错误；
选项D：根据题意，直线的斜率，
因为，所以，所以，
倾斜角的取值范围是，故D错误；
故选：BCD.
21．（2023春·湖南长沙·高三雅礼中学校考阶段练习）已知直线，则下列说法正确的是（ ）
A．直线一定不过原点
B．存在定点，使得点到直线的距离为定值
C．点到直线的最小值为
D．若直线分别与轴，轴交于两点，则的周长可以等于12
【答案】ABD
【分析】将原点代入直线方程解判断A，设，利用点到直线距离公式判断B，由B可得直线为圆的切线，利用直线和圆的位置关系判断C，利用特殊点判断选项D.
【详解】选项A：将代入直线得，即，其中，，
因为，所以无解，选项A正确；
选项B：设点，则点到直线的距离，
令解得，
故当点坐标为时，点到直线的距离为定值，选项B正确；
选项C：由选项B可知直线为圆的切线，
设点到切线的距离为，
所以，所以点到直线的最小值，选项C错误；
选项D：由图像可知随直线斜率由，的周长先减小，再增大，存在最小值，
不妨在圆上取一点作切线，记为，即，
所以，的周长为，选项D正确；
故选：ABD
三、填空题
22．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）函数在处的切线与直线平行，则a＝______．
【答案】1
【分析】求导函数，利用导数的几何意义求出切线斜率，结合直线平行建立方程求解即可.
【详解】因为，所以，所以函数在处的切线斜率为，
因为该切线与直线平行，故，解得
故答案为：1
23．（2023秋·福建龙岩·高二统考期末）若直线与直线互相垂直，则________．
【答案】
【分析】根据直线一般式方程下的两条直线垂直的公式计算即可.
【详解】直线与直线互相垂直
则，解得.
故答案为：.
24．（2023·高二课时练习）如果直线的倾斜角为，那么的取值范围是______．
【答案】
【分析】根据直线斜率与倾斜角的之间的关系，结合余弦函数、正切函数的性质进行求解即可,
【详解】由，
所以该直线的斜率为，因为，所以，或，
故答案为：
25．（2023秋·福建宁德·高二统考期末）已知，则两平行线与间的距离为__________.
【答案】2
【分析】两平行线与间的距离，转化为上一点到的距离，利用点到直线距离公式计算.
【详解】，过点，点到的距离为，
所以两平行线与间的距离为2.
故答案为：2
26．（2023·高二课时练习）点关于直线的对称点的坐标是______．
【答案】
【分析】根据题意设出对称点，利用中点在对称直线上和垂直直线的斜率之积为，列出方程组，解方程组即可得对称点的坐标.
【详解】解：由题意得：
设点关于直线的对称点的坐标为
则
故答案为：
①直线的倾斜角和斜率
②直线的方程
③直线的平行
④直线的垂直
⑤与直线相关的距离公式
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