镇海中学2023学年第一学期期末高三数学试卷（含答案）

这是一份镇海中学2023学年第一学期期末高三数学试卷（含答案），共10页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分.
考试时间120分钟，本次考试不得使用计算器，请考生将所有题目都做在答题卷上.
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 则（ ）
A. B. C. D.
2．函数的零点所在区间为（ ）
A. B. C. D.
3．设函数（，），则函数的单调性（ ）
A．与有关，且与有关B．与无关，且与有关
C．与有关，且与无关D．与无关，且与无关
4．已知等差数列，则k=2是成立的（ ）条件
A．充要B．充分不必要C．必要不充分D．既不充分也不必要
5. 已知直线a，m，n，l，且m，n为异面直线，平面，平面．若l满足，，则下列说法中正确的是（ ）
A. B. C. 若，则 D.
6.已知是单位向量，且它们的夹角是.若，且，则（ ）
A．2B．C．2或D．3或
7．函数在上的图象大致为（ ）
A． B．
C．D．
8.设实数满足，不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.已知复数，则下列结论正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.已知，的定义域为，且（），，若为奇函数，则（ ）
A. 关于x=1对称 B. 为奇函数 C. D. 为偶函数
11.已知为坐标原点，曲线， ，为曲线上动点， 则（ ）
A. 曲线关于轴对称 B. 曲线的图象具有3条对称轴
C. D. 的最大值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12. 在中，角的对边分别为，，，已知．则角=
13. 镇海中学举办大观红楼知识竞赛，该比赛为擂台赛，挑战者向守擂者提出挑战，两人轮流答题，直至一方答不出或答错，则另一方自动获胜，挑战者先答题，守擂者和挑战者每次答对问题的概率都是，每次答题互相独立，则挑战者最终获胜的概率为 .
14．在四面体中，，若，则四面体体积的最大值是 ，它的外接球表面积的最小值为 .
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15．（13分）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，且．
（1）求A；（2）若的外接圆半径为2，且，求的面积．
16. （15分）已知Tn为正项数列{an}的前n项的乘积，且a1＝3，，数列满足.
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）若数列为递增数列，求实数k的取值范围；
17. （15分）某款游戏预推出一项皮肤抽卡活动，玩家每次抽卡需要花费10元，现有以下两种方案.方案一：没有保底机制，每次抽卡抽中新皮肤的概率为；方案二：每次抽卡抽中新皮肤的概率为，若连续次未抽中，则第次必中新皮肤.已知，玩家按照一、二两种方案进行抽卡，首次抽中新皮肤时的累计花费为（元）.
（1）求的分布列；
（2）求；
（3）若，根据花费的均值从游戏策划角度选择收益较高的方案.
：.
18. （17分）已知椭圆：（，）的左、右焦点分别为、，离心率为，经过点且倾斜角为的直线与椭圆交于、两点（其中点在轴上方），的周长为8．
（1）求椭圆的标准方程；
（2）如图，将平面沿轴折叠，使轴正半轴和轴所确定的半平面（平面）与轴负半轴和轴所确定的半平面（平面）互相垂直．
若，求三棱锥的体积，
若，异面直线和所成角的余弦值；
是否存在，使得折叠后的周长为与折叠前的周长之比为？若存在，求的值；若不存在，请说明理由．
19.（17分）在几何学常常需要考虑曲线的弯曲程度，为此我们需要刻画曲线的弯曲程度.考察如图所示的光滑曲线上的曲线段，其弧长为，当动点从沿曲线段运动到点时，点的切线也随着转动到点的切线，记这两条切线之间的夹角为（它等于的倾斜角与的倾斜角之差）.显然，当弧长固定时，夹角越大，曲线的弯曲程度就越大；当夹角固定时，弧长越小则弯曲程度越大，因此可以定义为曲线段的平均曲率；显然当越接近，即越小，就越能精确刻画曲线在点处的弯曲程度，因此定义（若极限存在）为曲线在点处的曲率.（其中分别表示在点处的一阶、二阶导数）
（1）求单位圆上圆心角为的圆弧的平均曲率；
（2）求椭圆在处的曲率；
（3）定义为曲线的“柯西曲率”.已知在曲线上存在两点和,且处的“柯西曲率”相同，求的取值范围.
答案：
C B D B C D C B
9. BC 10. ACD 11.ABC
12.60° 13.1/3 14.
11.【解析】
将用替换代入方程，方程不变，故曲线关于轴对称，A正确；
令，，代入整理可得，
其中，为点所在终边对应的角度，且，
因为，故，
因为曲线关于轴对称，故对应的图象关于轴（即轴对称）对称，
注意到关于的周期为，
故曲线也关于和（即）对称，
故B选项正确；
，C正确；
，D错误；
综上，选ABC.
C另解：，该方程关于有解，
由实根分布可知.
D另解：，
解得.
15. 解：（1）由已知，即，
由正弦定理得，即，
整理得，即，又，故；
（2）因，所以，则，
即，又，所以．
因为的外接圆半径，
所以由正弦定理可得，所以，
所以．
16.
17. 【解析】
（1），.
（2）；
（3）；
，
因为，故选择方案二.
18. 解：（1）由椭圆的定义知： ，
所以的周长，所以，
又椭圆离心率为，所以，所以，，
由题意，椭圆的焦点在轴上，
所以椭圆的标准方程为；
（2）①
由直线：与，
联立求得，（因为点在轴上方）以及，
②由，，故，
为坐标原点，折叠后原轴负半轴，原轴，原轴正半轴所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，则
，，，，
，．
记异面直线和所成角为，则；
②设折叠前，，折叠后，在新图形中对应点记为，，，，
将直线方程与椭圆方程联立，得，
，，
在折叠后的图形中建立如图所示的空间直角坐标系（原轴仍然为轴，原轴正半轴为轴，原轴负半轴为轴）；
，，
所以，（i）
又，
所以，（ii）
由（i）（ii）可得，
因为，
所以，
即，
所以，解得，
因为，所以．
另解：设
由三余弦定理可知，，在三角形ABF1中，由余弦定理
联立解出
19. 【解析】
（1）.
（2），，，
故，，故.
（3），，故，其中，
令，则，则，其中（不妨）
令吗，在递减，在递增，故；
令，则，
（自行补证）
则在递增，又，，故，
故.