葫芦岛市第一高级中学2023届高三上学期期末数学试卷(含答案)

这是一份葫芦岛市第一高级中学2023届高三上学期期末数学试卷(含答案)，共20页。试卷主要包含了选择题，多项选择题，填空题，双空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、选择题
1．设集合,,,则( )
A.B.C.D.
2．下列命题中,真命题是( )
A.,B.,
C.,D.,
3．a为正实数,i为虚数单位,,则( )
A. 2B. C. D. 1
4．用清水洗衣服,若每次能洗去污垢的,要使留存的污垢不超过,则至少要洗的次数是( )
（）
A.3B.4C.5D.6
5．如图,在四边形ABCD中,,,E为AC中点.,求的值( )
A.0B.12C.2D.6
6．若过点可以作曲线的两条切线,则( )
A.B.C.D.
7．已知函数.若函数在区间内没有零点 , 则的取值范围是( )
A.B.C.D.
8．已知a,b,,,,则( )
A.B.
C.D.
二、多项选择题
9．函数,则正确的有( )
A.的定义域为RB.的值域为R
C.是偶函数D.在区间上是增函数
10．九本书籍分给三位同学,下列说法正确的是( )
A.九本书内容完全一样,每人至少一本有28种不同分法
B.九本书内容都不一样,分给三位同学有种不同的分法
C.九本书内容完全一样,分给三位同学有55种不同的分法
D.九本书内容都不一样,甲同学至少一本,乙同学至少二本有种不同的分法
11．如图,正方体中,其棱长为3,M,N分别为棱,的中点,过D,M,N三点作该正方体的截面,截面是一个多边形.则( )
A.截面和面ABCD的交线与截面和面的交线等长
B.截面是一个五边形.
C.截面是一个梯形.
D.截面在顶点D处的内角的余弦值为
12．已知定义域为R的函数,是其导函数.则下列说法正确的是( )
A.函数有对称中心,则其导函数一定有对称轴
B.函数有对称轴,则其导函数一定有对称中心.（b不恒为0）
C.函数是奇函数,则原函数一定是偶函数.
D.函数是偶函数,则原函数一定是奇函数.
三、填空题
13．不等式的解集为___________.
14．在数列中,,,则数列的通项公式为___________.
15．已知及其边BC上的一点D满足,,且以A,D为焦点可以作一个椭圆同时经过,C两点,求椭圆的离心率___________.
四、双空题
16．某班为了了解学生每月购买零食的支出情况,利用分层抽样抽取了一个9人的样本统计如下：
估计全班学生每月购买零食的平均支出为__________元,方差为__________.（分数或精确到小数点后一位）
五、解答题
17．已知数列,其前n项和分别为,且分别满足,.
（1）求数列,的通项公式.
（2）将数列,的各项按,,,…,顺序排列组成数列,求数列的前n项和.
18．如图,边长是6的等边三角形和矩形BCDE.现以BC为轴将面ABC进行旋转,使之形成四棱锥,O是等边三角形的中心,M,N分别是BC,DE的中点,且,面BCDE,交于F.
（1）求证面
（2）求DF和面所成角的正弦值.
19．如图,在等腰直角中,,,点M在线段PQ上.
(1)若,求PM的长;
(2)若点N在线段MQ上,且,问：当取何值时,的面积最小？并求出面积的最小值.
20．抗击疫情众志成城.假期期间一高中同学积极参加社区抗疫宣传活动.抗疫宣传活动共分3批次进行,每次活动需要同时派出2名志愿者,且每次派出人员均从5名志愿者同学中随机抽选,已知这5名志愿者中,有2人有活动经验,其他3人没有活动经验.经验可以累积.
（1）求5名志愿者中“小K”,在这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率;
（2）求第二次抽选时,选到没有活动经验志愿者的人数最多可能是几人？请说明理由.
21．已知O为坐标原点,点,过动点W作直线的垂线,垂足为点F,,记W的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程;
（2）若,,,均在C上,直线,的交点为,,求四边形面积的最小值．
22．已知函数
（1）若,求曲线在点处的切线方程;
（2）讨论函数的单调区间;
（3）设,若函数在区间上存在极值点,求k的取值范围.
参考答案
1．答案：A
解析：因为,
所以,
故选：A.
2．答案：C
解析：对于A,由同角三角函数和平方关系,我们知道,所以A为假
命题;
对于B,取特殊值：当时时,,所以B为假命题;
对于C,一元二次方程根的判别式,所以原方程没有实数根,所以C为真命题;
对于D,判别式,所以D错误.
故答案为：C.
3．答案：B
解析：,,,,
故选：B.
4．答案：B
解析：由题意可知,洗次后存留的污垢为
令,解得,因此至少要洗4次.
故选：B.
5．答案：A
解析：,E为AC中点,,
,
,,
.
故选：A.
6．答案：D
解析：在曲线上任取一点,对函数求导得,
所以,曲线在点P处的切线方程为,即,
由题意可知,点在直线上,可得,
令,则.
当时,,此时函数单调递增,
当时,,此时函数单调递减,
所以,,
由题意可知,直线与曲线的图象有两个交点,则,
当时,,当时,,作出函数的图象如下图所示：
由图可知,当时,直线与曲线的图象有两个交点.
故选：D.
解法二：画出函数曲线的图象如图所示,根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.
故选：D.
7．答案：D
解析：(1) ,
,,,
函数在区间内没有零点
,
则,则 ,
取,;
（2）,
则 ,解得： ,
取,;
综上可知：k的取值范围是,
故选：D.
8．答案：D
解析：因为a,b,,
所以由两边取自然对数得,即,故,
再由得,故,
令,则,故在上单调递减,
又由上式可知,故,
由四个选项的不等式同时除以可知,比较的是的大小,
故令,则,
再令,则,
故在上单调递减,
所以,故,
所以在上单调递减,
又因为,所以,即,
上述不等式两边同时乘以得,.
故选：D.
9．答案：ACD
解析：依题意,函数的定义域为R,A正确;,
对于B,因为,当且仅当,即时取等号,又函数在上递增,
因此,B错误;
对于C,,因此函数是R上的偶函数;
对于D,令,,,
,
因为,则,即有,,因此,
即函数在上单调递增,又函数在上递增,所以函数在上递增,D正确.
故选：ACD.
10．答案：ABC
解析：对于A,9本相同的书分给三位同学,每人至少一本,利用挡板法分析,在9本书之间的8个空位中任选2个,插入挡板即可,有种不同的分法,故A正确;
对于B,根据题意,9本书内容都不一样,则每本书都可以分给3人中的任意一人,即有3种分法,所以9本书有种不同的分法,故B正确;
对于C,由9本书内容完全一样,则将这9本书和2个挡板排成一排,利用挡板将9本书分为3组,对应3位同学即可,则有种不同的分法,故C正确;
对于D,可以分11类情况：
①“1,2,6型”有;②“1,3,5型”;
③“1,4,4型”;④“1,7,1型”;⑤“1,8,0型”;
⑥“2,2,5型”;⑦“2,3,4型”;⑧“2,7,0型”;
⑨“3,3,3型”;⑩“3,6,0型”;
⑪“4,5,0型”,
所以有种不同的分法,故D错误．
故选：ABC．
11．答案：ABD
解析：延长至,使;延长至,使;
连接,,因,,则为等腰直角三角形,
同理可得为等腰直角三角形,又,
则,D,三点共线,连接,.因C,分别为,中点,则.
又,,则四边形为平行四边形,
得.又M,N分别是,中点,则.
故,,则,
则M,N,,D,五点共面,
设这五点所在平面为.
,,平面,平面,
则平面,连接交BC于E.
因,,则,得.
同理,可得平面,连接交于F,则.
又,,,
则,.即M,N,E,D,F五点共面.
顺次连接DF,FM,MN,NE,ED,得截面为五边形DFMNE.
对于A,如图可知,截面和面ABCD的交线为DE,截面和面的交线为DF,
又几何体棱长为3,,,
则,
,故,则A正确;
对于BC选项,由图可知B正确,C错误;
对于D选项,由图可知截面在顶点D处的内角为,连接EF,
因,,则四边形为平行四边形,得.
又由A选项分析可知,,,则在三角形DEF中由余弦定理有
,则D正确.
故选：ABD.
12．答案：AC
解析：对于选项A：
若函数有对称中心,则,
两边求导,则,则,
一定有对称轴,故选项A正确;
对于选项B：若函数有对称轴,
则,两边求导,则,
则,一定有对称中心,故选项B错误;
对于选项C：
若函数是奇函数,则,两边积分,
,
,
,
由积分定义可得：,
,其中C为积分常数,
则,则,即原函数一定为偶函数,故选项C正确;
对于选项D：若是可导函数,其导数为偶函数,但原函数为偶函数,不为奇函数,
故选项D错误;
故选：AC.
13．答案：
解析：由可得,解得.
故原不等式的解集为.
故答案为：.
14．答案：
解析：因为,
所以,
所以,,,……,,,
所以,
所以,
因为,所以符号该式,
故答案为：.
15．答案：
解析：设,,所以,,
设该椭圆长半轴长为,由椭圆的定义可知：
,
所以,,,
在中,显然有,
所以,
设,
由余弦定理可知：,
因此椭圆的焦距为,
所以椭圆的离心率为：,
故答案为：.
16．答案：①.110②.288.9
解析：依题意,设女生每月购买零食的支出的样本为,平均数为;
男生每月购买零食的支出的样本为,平均数为;
男女生每月购买零食的支出的平均数为,方差为,
则,
又,,
所以,
所以估计全班学生每月购买零食的平均支出为110元,方差为288.9.
故答案为：110;288.9.
17．答案：（1）
（2）当时, ,
当时,
解析：（1）由条件：知：
,
,,,
当时,符合,
所以;
,,是等比数列,
又,,;
（2）当 时, ,
当时,
;
当 时, ,
当时,.
18．答案：（1）证明见解析
（2）
解析：（1）因为面BCDE,面面,面,
所以,
因为M是BC的中点,是等边三角形,所以,
因为在矩形BCDE中,M,N分别是BC,DE的中点,所以,
又,所以,
又,MN,面,所以面,
因为,所以面.
（2）在线段ND上取点G使得,连接GO,ON,,
因为O是等边三角形的中心,,所以,
因为,所以,所以,
因为,,所以,
所以四边形DFOG为平行四边形,所以,
所以DF和面所成角等于OG和面所成角,
由（1）得面,又,所以面,即面,
所以OG和面的所成角为,即为所求,
在中,,,则,
因为,所以,
联立,解得,
所以DF和面所成角的正弦值为.
.
19．答案：(1)或
（2）当时,的面积的最小值为
解析：(1)在中,,,,
由余弦定理得, ,
得,
解得或.
(2)设, ,
在中,由正弦定理,
得=,
所以,
同理.
故
=
.
因为,
,
所以当时,的最大值为1,
此时的面积取到最小值.
即时,的面积的最小值为.
20．答案：（1）
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人;理由见详解.
解析：（1）5名志愿者中“小K”在每轮抽取中,被抽取到的概率为,
则这3批次安装活动中有且只有一次被抽选到的概率.
（2）第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
设X表示第一次抽取到的没有活动经验志愿者人数,X可能的取值有0,1,2,
则;;.
设表示第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数,可能的取值有,
则;
;
,
因,
故第二次抽取到的没有活动经验志愿者人数最有可能是1人.
21．答案：（1）
（2）2
解析：（1）设,则,所以,
因为,可得,
所以曲线C的方程为.
（2）设,,,,
直线,的方程分别为：,,
将代入抛物线得,所以,,
所以,
因为,同理得：
所以的面积,
当且仅当时等号成立,所以四边形面积的最小值为2.
22．答案：（1）;
（2）见解析;
（3）.
解析：（1）若,函数的定义域为,
则曲线在点处切线的斜率为,
而,则曲线在点处切线的方程为.
（2）函数的定义域为,,
①当时,由,且此时,
可得,
令,解得或,函数为减函数,
令,解得,且,
所以当,时,函数为增函数,
所以函数的单调减区间为,,
单调增区间为,
②当时,函数单调减区间为,无单调增区间,
当时,函数的单调减区间为,,无单调增区间,
当时,由,所以函数的单调减区间为,.
即当时,函数的单调减区间为,,无单调增各区间,
③当时,此时.令,
解得或,但,
所以当,,时,函数为减函数;
令,解得,函数为增函数.
所以函数的单调减区间为,,,
函数的单调增区间为,
综上所述,时,单调减区间为,,
单调增区间为,
时,单调减区间为,,无单调增各区间,
时,单调减区间为,,
单调增区间为.
（3）①当时,由（2）问可知,函数在上为减函数,
所以不存在极值点;
②当时,由（2）可知,在上为增函数,
在上为减函数.
若函数在区间上存在极值点,则,
解得或,
所以.
综上所述,当时,函数在区间上存在极值点.
学生数
平均支出（元）
支出平方的累加值
方差
女生
4
225
男生
5
304