（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第21练 空间几何体（原卷版+解析）

这是一份（人教A版2019必修第一册）高考数学（精讲精练）必备 第21练 空间几何体（原卷版+解析），共18页。试卷主要包含了单选题，多选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
3．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
5．圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
6．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
7．在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
8．在中，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A．B．C．D．
9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
二、多选题
11．在边长为2的菱形中，，，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台B．该几何体的高为
C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularslid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式
13．已知正方体的棱长为，则（ ）
A．正方体的外接球体积为B．正方体的内切球表面积为
C．与异面的棱共有4条D．三棱锥与三棱锥体积相等
三、填空题
14．将一个棱长为的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为___________.
15．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面半径为，则该圆柱的表面积为__________．
四、解答题
16．已知正四棱柱，其中．
(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．
(2)求点到平面的距离
17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥，求：
(1)截去的三棱锥的体积；
(2)剩余的几何体的表面积．
18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
第21练 空间几何体
学校____________ 姓名____________ 班级____________
一、单选题
1．已知圆锥的底面半径为1，其侧面展开图是一个圆心角为120°的扇形，则该圆锥的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
设圆锥的母线长为，则，解得，则该圆锥的表面积为.
故选：C.
2．一个底面积为1的正四棱柱的顶点都在同一球面上，若此球的表面积为，则该四棱柱的高为（ ）
A．B．2C．D．
【答案】C
【详解】
设球的半径为，则 ，解得
设四棱柱的高为 ，则 ，解得
故选：C
3．如图，△ABC是水平放置的△ABC的斜二测直观图，其中，则以下说法正确的是（ ）
A．△ABC是钝角三角形B．△ABC是等边三角形
C．△ABC是等腰直角三角形D．△ABC是等腰三角形，但不是直角三角形
【答案】C
【详解】
解：将其还原成原图，如图，
设，则可得，，
从而，
所以，即，
故是等腰直角三角形.
故选：C.
4．已知圆柱的底面半径和高都是2，那么圆柱的侧面积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
因为圆柱的底面半径和高都是，所以圆柱的侧面积.
故选：B.
5．圆柱内有一个球，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，已知圆柱的体积为，则球的体积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
设球的半径为R，则圆柱的底面圆的半径为R，高为2R，
所以，解得：，
则球的体积为
故选：A
6．通用技术老师指导学生制作统一规格的圆台形容器，用如图所示的圆环沿虚线剪开得到的一个半圆环（其中小圆和大圆的半径分别是1cm和4cm）制作该容器的侧面，则该圆台形容器的高为（ ）
A．cmB．1cmC．cmD．cm
【答案】D
【详解】
由已知圆台的侧面展开图为半圆环，不妨设上、下底面圆的半径分别为，，
则，，解得，．
所以圆台轴截面为等腰梯形，其上、下底边的长分别为和，腰长为，
即,过点作,为垂足，
所以，
该圆台形容器的高为，
故选：D．
7．在矩形中，，点，分别是，的中点，沿将四边形折起，使，若折起后点，，，，，都在球的表面上，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
因为矩形中，，点，分别是，的中点，
所以四边形和四边形是正方形，
又沿将四边形折起，使，
所以几何体是正三棱柱，，
设球的球心在底面的射影为，因此，
显然是等边三角形的中心，
，
在直角三角形中，，
所以球的表面积为，
故选：C
8．在中，，，若将绕直线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
旋转体是一个大圆锥去掉一个小圆锥，
作出简图：
所以，，
所以旋转体的体积：.
故选：B.
9．已知S，A，B，C是球O表面上的点，平面ABC，AB⊥BC，，，则球O的表面积等于（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【详解】
因为、、、是球表面上的点，
所以
又平面，平面，
所以，，，
因为，平面，，
所以平面，而平面，
所以，
所以可得为的中点，，，
所以，
所以球的半径径为，
所以球表面积为．
故选：A．
10．已知正四棱锥的侧棱长为l，其各顶点都在同一球面上.若该球的体积为，且，则该正四棱锥体积的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
【答案】C
【详解】
∵ 球的体积为，所以球的半径,
设正四棱锥的底面边长为，高为，
则，,
所以，
所以正四棱锥的体积，
所以，
当时，，当时，，
所以当时，正四棱锥的体积取最大值，最大值为，
又时，，时，,
所以正四棱锥的体积的最小值为，
所以该正四棱锥体积的取值范围是.
故选：C.
二、多选题
11．在边长为2的菱形中，，，垂足为点E，以DE所在的直线为轴，其余四边旋转半周形成的面围成一个几何体，则（ ）
A．该几何体为圆台B．该几何体的高为
C．该几何体的表面积为D．该几何体的体积
【答案】BCD
【详解】
解：由题意可知，该几何体的结构为半个圆锥和半个圆台，
该几何体的高为，
该几何体的表面积为，
体积为.
故选：BCD
12．“阿基米德多面体”也称为半正多面体（semi-regularslid），是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体，它体现了数学的对称美.如图所示，将正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三棱锥，共可截去八个三棱锥，得到八个面为正三角形、六个面为正方形的一种半正多面体，已知，则关于如图半正多面体的下列说法中，正确的有（ ）
A．该半正多面体的体积为
B．该半正多面体过A，B，C三点的截面面积为
C．该半正多面体外接球的表面积为
D．该半正多面体的顶点数V、面数F、棱数E满足关系式
【答案】ABD
【详解】
如图，
该半正多面体，是由棱长为2的正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的.
对于A，因为由正方体沿各棱中点截去8个三棱锥所得到的，所以该几何体的体积为：，故正确；
对于B，过A，B，C三点的截面为正六边形ABCFED，所以，故正确.
对于C，根据该几何体的对称性可知，该几何体的外接球即为底面棱长为，侧棱长为2的正四棱柱的外接球，所以该半正多面体外接球的表面积，故错误；
对于D，几何体顶点数为12，有14个面，24条棱，满足，故正确.
故选：ABD
13．已知正方体的棱长为，则（ ）
A．正方体的外接球体积为B．正方体的内切球表面积为
C．与异面的棱共有4条D．三棱锥与三棱锥体积相等
【答案】ACD
【详解】
∵正方体外接球的半径,内切球的半径
∴正方体的外接球体积为，内切球表面积为
A正确，B不正确；
与异面的棱有，共有4条，C正确；
∵，则三棱锥与三棱锥的高，底面积，故体积相等，D正确；
故选：ACD．
三、填空题
14．将一个棱长为的正四面体放入一个正方体的玻璃容器，若要求该正四面体能在正方体容器中自由旋转，则该正方体容器的棱长的最小值为___________.
【答案】2
【详解】
由题若正四面体能在正方体容器中自由旋转，
则当正方体最小时，其内切球是该正四面体的外接球，
又由棱长为的正四面体的外接球半径，
此时正方体的棱长为.
故答案为：.
15．已知圆柱上、下底面的圆周都在一个体积为的球面上，圆柱底面半径为，则该圆柱的表面积为__________．
【答案】
【详解】
设圆柱外接球半径为：，圆柱的母线长为：，
由圆柱的性质得，外接球球心在上下底面圆心连线的中点处，
所以外接球球心到底面的距离为圆柱母线的一半：，
所以，又，解得，，
所以圆柱的表面积为：.
故答案为：.
四、解答题
16．已知正四棱柱，其中．
(1)若点是棱上的动点，求三棱锥的体积．
(2)求点到平面的距离
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
实际上需求三棱锥的体积．
由正四棱柱，
角形的面积为
因为P是棱上的动点且与平面平行，则只需写出与平面间的距离即可．
由于平面，不妨记三棱锥的高为
则三棱锥的体积
(2)
以D为原点，如图建立空间直角坐标系．
则
可知
设平面的法向量为
则
不妨设，同时设点到平面的距离为d
则
故点到平面的距离为
17．如图，在棱长为1的正方体中，截去三棱锥，求：
(1)截去的三棱锥的体积；
(2)剩余的几何体的表面积．
【答案】(1)(2)
【解析】(1)
∵正方体的棱长为1，
三棱锥的体积
(2)
是边长为的等边三角形，，
∴，
，
所以剩余几何体表面积为．
18．某种“笼具”由内，外两层组成，无下底面，内层和外层分别是一个圆锥和圆柱，其中圆柱与圆锥的底面周长相等，圆柱有上底面，制作时需要将圆锥的顶端剪去，剪去部分和接头忽略不计，已知圆柱的底面周长为，高为，圆锥的母线长为．
(1)求这种“笼具”的体积；
(2)现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”，该材料的造价为每平方米8元，共需多少元？
【答案】(1)(2)元
【解析】(1)
设圆柱的底面半径r，高为h；圆锥的母线长为l，高为h1，
则，则
；
(2)
圆柱的侧面积，
圆柱的底面积，
圆锥的侧面积，
所以：＂笼具＂表面积，
故：50个＂笼具＂的总造价为：．
答：现要使用一种纱网材料制作50个“笼具”共需元．