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备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第6讲双曲线
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第6讲双曲线，共11页。
（1）定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的① 绝对值 等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④ 两条射线 ；
b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤ x2a2－y2b2＝1 （a＞0，b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥ y2a2－x2b2＝1 （a＞0，b＞0）.
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
思维拓展
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F∉l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l的距离}.
双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.
2.双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
（2）特殊双曲线
常用结论
1.双曲线的焦点三角形与焦半径
F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，则
（1）S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.
（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点Px0,y0在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－ex0＋a.
（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
2.双曲线中两个常见的直角三角形
如图所示，F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝｜OB｜＝c.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B.关于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线y29－x24＝1的渐近线方程是y＝±23x
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2
2.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ C ）
A.22B.1C.2D.2
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.
3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为2，则C的标准方程为 x22－y22＝1 .
解析 解法一 因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
解法二 因为双曲线C的离心率e＝2，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为 x216－y216＝1 .
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.
5.[教材改编]设双曲线x29－y2b2＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝ 11 .
解析 由双曲线的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知PF1-PF2=±2a=±6，又｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝11.
6.已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为43，实轴长为42，则双曲线C的渐近线方程为 2x±y＝0 .
解析 由题意知，2c＝43，2a＝42，则b＝c2－a2＝2，所以C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x，即2x±y＝0.
研透高考 明确方向
命题点1 双曲线的定义及应用
例1 （1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝（ A ）
A.1B.2C.4D.8
解析 解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2＝a2+4a2＝5，所以a＝1，故选A.
解法二 由题意及双曲线焦点三角形的结论，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（ C ）
A.双曲线B.椭圆
C.双曲线左支D.双曲线右支
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1－3,0和C23,0为焦点的双曲线的左支.
方法技巧
1.双曲线定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；
（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
训练1 （1）已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（ D ）
A.1B.2＋155
C.4＋155D.22＋1
解析 设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为22＋1，故选D.
（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 23 .
解析 解法一 不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜＝12，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以S△F1PF2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝23.
解法二 由题意可得双曲线C的标准方程为x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22，可得S△F1PF2＝2tan30°＝23.
命题点2 求双曲线的标准方程
例2 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ B ）
A.x2＋y23＝1B.x2－y23＝1
C.x23＋y2＝1D.x23－y2＝1
解析 如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为x2－y23＝1.
（2）[2023天津高考]双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ D ）
A.x28－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x24－y22＝1D.x22－y24＝1
解析 解法一 由题意可知该渐近线方程为y＝bax，直线PF2的方程为y＝－ab（x－c），与y＝bax联立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝bax（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（a2c，abc），且直线PF1的斜率为24，所以abca2c＋c＝24，化简得aba2＋c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a2－22a＋2＝0，即（a－2）2＝0，解得a＝2.所以双曲线的方程为x22－y24＝1，故选D.
解法二 因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）
再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1（－23，0），F2（23，0），渐近线方程为y＝±22x，由题意可知该渐近线方程为y＝22x，则直线PF2的方程为y=-2（x－23），与渐近线方程y＝22x联立，得P（433，263），则kPF1＝25，又直线PF1的斜率为24，所以双曲线方程x28－y24＝1不符合题意，排除A.故选D.
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
（2）常见设法
①与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0）；
②与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1（-b2<λ训练2 （1）[浙江高考]已知点O（0，0），A（－2，0），B（2，0）.设点P满足PA-PB=2，且P为函数y＝34－x2图象上的点，则｜OP｜＝（ D ）
A.222B.4105C.7D.10
解析 由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP｜＝x2＋y2=134＋274＝10，故选D.
（2）与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点P（32，2）的双曲线的标准方程为 x212－y28＝1 .
解析 解法一 设所求双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1（－25，0），F225,0，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴a＝12，∴b2＝c2－a2＝8，故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
解法二 设所求双曲线的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线过点P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4.
故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
命题点3 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
例3 （1）[2022北京高考]已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝ -3 .
解析 依题意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33x，解得m＝－3.
（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 y＝±3x .
解析 e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.
方法技巧
（1）求双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为xa±yb＝0，也就是y＝±bax.
（2）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式k2＝e2－1.
角度2 离心率
例4 （1）[2021全国卷甲]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（ A ）
A.72B.132C.7D.13
解析 设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜－｜PF2｜＝7m2m＝72.
（2）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足｜AF｜＞2｜BF｜，则双曲线离心率e的取值范围是（ B ）
A.（1，2）B.（1，32）
C.（32，2）D.（1，3+32）
解析 由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e＞1，则1＜e＜32.
所以双曲线离心率e的取值范围是（1，32）.
（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F2B，则C的离心率为 355 .
解析 解法一 由题意可知，F1（－c，0），F2（c，0），设A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F2B＝（－c，y0），因为F2A＝－23F2B，所以x1－c＝23c，y1＝－23y0，即x1＝53c，y1＝－23y0，所以A（53c，－23y0）.
F1A＝（83c，－23y0），F1B＝（c，y0），因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即83c2－23y02＝0，解得y02＝4c2.
因为点A（53c，－23y0）在双曲线C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25（a2＋b2）9a2－16（a2＋b2）9b2＝1，化简得b2a2＝45，所以e2＝1＋b2a2＝95，所以e＝355.
解法二 由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c－c）2＋（－23y0）2＝4c29＋4y029＝4c29＋16c29＝25c3，由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即45c3－25c3＝2a，即53c＝a，所以双曲线的离心率e＝ca＝35＝355.
方法技巧
1.求双曲线的离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率：e＝ca＝1+（ba）2.
（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形F1PF2中，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则e＝ca＝｜F1F2｜||PF1｜－｜PF2||＝sinθ｜sinα－sinβ｜.
（3）构造关于a，b，c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解.
2.求双曲线离心率的取值范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中两边之和大于第三边等；
（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a，c的不等关系求解.
角度3 与双曲线性质有关的最值（范围）问题
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ B ）
A.4B.8C.16D.32
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时等号成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（2）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（ A ）
A.（1，5+12）B.（1，3+12）
C.（0，5+12）D.（3+12，32）
解析 不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F-c，0,B0，b,直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上.
由题意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a，baa2＋b2＜a2+2b2，解得1＜b2a2＜5+12，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（1，5+12）.
方法技巧
求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法
1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.
训练3 （1）[2023绵阳二诊]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，A，B两点在双曲线C上且关于原点对称，若｜AB｜＝2｜OF｜（O为坐标原点），｜BF｜＝3｜AF｜，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.6x±2y＝0B.2x±6y＝0
C.2x±3y＝0D.3x±2y＝0
解析 记F'为双曲线C的左焦点，连接AF'，BF'，则F，F'关于原点对称，又A，B也关于原点对称，所以四边形AFBF'为平行四边形，又｜AB｜＝2｜OF｜，所以四边形AFBF'为矩形.因为｜BF｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜－｜AF｜＝2｜AF｜＝2a，所以｜AF｜＝a，｜AF'｜＝3a.在Rt△FAF'中，AF2+AF'2=FF'2,所以a2＋（3a）2＝（2c）2，所以c2＝5a22，又a2＋b2＝c2，所以b2＝3a22，所以ba＝62，所以双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±62x，即6x±2y＝0，故选A.
（2）如图，设双曲线C：x2－y224＝1的左、右焦点分别是F1、F2，点A是C右支上的一点，则｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 由双曲线C：x2－y224＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝｜AF2｜＋4｜AF2｜＋2.由双曲线的性质可知｜AF2｜≥c－a＝4，令｜AF2｜＝t，则t≥4，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝t＋4t＋2.令f（t）＝t＋4t＋2（t≥4），则ft在[4，＋∞）上单调递增，（易忽视｜AF2｜的范围，错误地使用基本不等式求最值）
所以当t＝4时，f（t）取得最小值4＋44＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点（1，0），即｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为7.故选C.
（3）[2023湖北省重点中学联考]若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形（其中M为双曲线的右顶点），则离心率e的取值范围为 （1，233） .
解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.要使该双曲线右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形，则需过右顶点M，且斜率为33的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线y＝bax的斜率，所以33＞ba，即b＜33a，即b2＜13a2，所以c2＜a2+13a2，即c＜233a.又e＞1，所以1＜e＜233.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.
2.体会数形结合的思想.
双曲线的定义及应用
2020全国卷ⅢT11
该讲每年必考，命题热点为双曲线的定义、标准方程、渐近线、离心率，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上.在2025年高考备考中，训练常规题型的同时，应强化有关解答题的训练.
求双曲线的标准方程
2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21
双曲线的几何性质
2023新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全国卷甲T5；2021全国卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全国卷ⅠT15；2020全国卷ⅡT8；2020全国卷ⅢT11；2019全国卷ⅠT16 ；2019全国卷ⅡT11；2019全国卷ⅢT10
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
几
何
性
质
范围
｜x｜≥a，y∈R
｜y｜≥a，x∈R
对称性
对称轴：⑦ x轴，y轴 ；对称中心：⑧ 原点
焦点
F1⑨ （－c，0） ，F2⑩ （c，0）
F1⑪ （0，－c） ，F2⑫ （0，c）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为⑬ 2a ，虚轴长为⑭ 2b ；实半轴长为a，虚半轴长为b
焦距
｜F1F2｜＝⑮ 2c
离心率
e＝⑯ ca ＝1+b2a2，e∈⑰ （1，＋∞）
渐近线
直线⑱ y＝±bax
直线⑲ y＝±abx
a，b，c
的关系
a2＝⑳ c2－b2
等轴双曲线
共轭双曲线
定义
实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲线互为共轭双曲线.
性质
（1）a＝b；（2）e＝2；（3）渐近线互相垂直；（4）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
（1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
（1）定义
在平面内到两定点F1，F2的距离的差的① 绝对值 等于常数（小于｜F1F2｜且大于零）的点的轨迹叫做双曲线.定点F1，F2叫做双曲线的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜｜MF1｜－｜MF2｜｜＝2a，2a＜｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a，c为常数且a＞0，c＞0.
a.当2a＝2c时，P点的轨迹是④ 两条射线 ；
b.当2a＞2c时，P点轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的双曲线的标准方程为⑤ x2a2－y2b2＝1 （a＞0，b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的双曲线的标准方程为⑥ y2a2－x2b2＝1 （a＞0，b＞0）.
规律总结
焦点位置的判断
在双曲线的标准方程中，看x2项与y2项的系数的正负，若x2项的系数为正，则焦点在x轴上；若y2项的系数为正，则焦点在y轴上，即“焦点位置看正负，焦点随着正的跑”.
思维拓展
双曲线的第二定义、第三定义
双曲线的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，e＞1，F∉l，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，d为点P到直线l的距离}.
双曲线的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，e＞1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}（注意，此时确定的双曲线不包含两个顶点，且焦点在x轴上）.
2.双曲线的几何性质
（1）双曲线的几何性质
（2）特殊双曲线
常用结论
1.双曲线的焦点三角形与焦半径
F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是双曲线上一点，则
（1）S△PF1F2＝b2tanθ2，其中θ为∠F1PF2.
（2）△PF1F2内切圆圆心的横坐标的绝对值为定值a.
（3）当点P（x0，y0）在双曲线右支上时，｜PF1｜＝ex0＋a，｜PF2｜＝ex0－a；当点Px0,y0在双曲线左支上时，｜PF1｜＝－ex0－a，｜PF2｜＝－ex0＋a.
（4）当点P在双曲线右支上时，｜PF1｜min＝a＋c，｜PF2｜min＝c－a.
2.双曲线中两个常见的直角三角形
如图所示，F1，F2分别为双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，A为右顶点，过点F2向渐近线引垂线，垂足为C，过点A向x轴引垂线交渐近线于点B，则△COF2≌△AOB，且有｜OC｜＝｜OA｜＝a，｜F2C｜＝｜AB｜＝b，｜OF2｜＝｜OB｜＝c.
1.下列说法正确的是（ D ）
A.平面内到点F1（0，4），F2（0，－4）距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线
B.关于x，y的方程x2m－y2n＝1（mn＞0）表示焦点在x轴上的双曲线
C.双曲线y29－x24＝1的渐近线方程是y＝±23x
D.等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于2
2.[浙江高考]渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是（ C ）
A.22B.1C.2D.2
解析 因为双曲线的渐近线方程为x±y＝0，所以无论双曲线的焦点在x轴上还是在y轴上，都满足a＝b，所以c＝2a，所以双曲线的离心率e＝ca＝2.故选C.
3.[2023北京高考]已知双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），离心率为2，则C的标准方程为 x22－y22＝1 .
解析 解法一 因为双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上.又离心率e＝2，所以ca＝2，所以a＝2，则b2＝c2－a2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
解法二 因为双曲线C的离心率e＝2，所以该双曲线为等轴双曲线，即a＝b.又双曲线C的焦点为（－2，0）和（2，0），所以c＝2，且焦点在x轴上，所以a2＋b2＝c2＝4，所以a2＝b2＝2，所以双曲线C的标准方程为x22－y22＝1.
4.已知等轴双曲线过点（5，3），则该双曲线方程为 x216－y216＝1 .
解析 设双曲线方程为x2－y2＝λ（λ≠0），将（5，3）代入方程，可得λ＝52－32＝16，所以双曲线方程为x2－y2＝16，即x216－y216＝1.
5.[教材改编]设双曲线x29－y2b2＝1（b＞0）的焦点为F1，F2，P为双曲线上的一点，若｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝ 11 .
解析 由双曲线的方程x29－y2b2＝1（b＞0），可得a＝3，根据双曲线的定义可知PF1-PF2=±2a=±6，又｜PF1｜＝5，则｜PF2｜＝11.
6.已知双曲线C：y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）的焦距为43，实轴长为42，则双曲线C的渐近线方程为 2x±y＝0 .
解析 由题意知，2c＝43，2a＝42，则b＝c2－a2＝2，所以C的渐近线方程为y＝±abx＝±2x，即2x±y＝0.
研透高考 明确方向
命题点1 双曲线的定义及应用
例1 （1）[全国卷Ⅲ]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，离心率为5.P是C上一点，且F1P⊥F2P.若△PF1F2的面积为4，则a＝（ A ）
A.1B.2C.4D.8
解析 解法一 设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，P为双曲线右支上一点，则由双曲线的定义得m－n＝2a.由题意得S△PF1F2＝12mn＝4，且m2＋n2＝4c2＝（m－n）2＋2mn＝4a2＋16，又e＝ca＝5，故c2a2＝a2+4a2＝5，所以a＝1，故选A.
解法二 由题意及双曲线焦点三角形的结论，得S△PF1F2＝b2tan45°＝4，得b2＝4，又c2a2＝5，c2＝b2＋a2，所以a＝1.
（2）已知圆C1：（x＋3）2＋y2＝1，C2：（x－3）2＋y2＝9，动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹为（ C ）
A.双曲线B.椭圆
C.双曲线左支D.双曲线右支
解析 设动圆M的半径为r，由动圆M同时与圆C1和圆C2相外切，得｜MC1｜＝1＋r，｜MC2｜＝3＋r，｜MC2｜－｜MC1｜＝2＜6，所以动圆圆心M的轨迹是以点C1－3,0和C23,0为焦点的双曲线的左支.
方法技巧
1.双曲线定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为双曲线；
（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用双曲线的定义以及余弦定理.
训练1 （1）已知P是双曲线C：x22－y2＝1右支上一点，直线l是双曲线C的一条渐近线.P在l上的射影为Q，F1是双曲线C的左焦点，则｜PF1｜＋｜PQ｜的最小值为（ D ）
A.1B.2＋155
C.4＋155D.22＋1
解析 设双曲线的右焦点为F2，因为｜PF1｜－｜PF2｜＝22，所以｜PF1｜＝22＋｜PF2｜，｜PF1｜＋｜PQ｜＝22＋｜PF2｜＋｜PQ｜.当且仅当Q，P，F2三点共线，且P在Q，F2之间时，｜PF2｜＋｜PQ｜最小，且最小值为点F2到直线l的距离.点F2到直线l的距离d＝1，故｜PQ｜＋｜PF1｜的最小值为22＋1，故选D.
（2）已知F1，F2分别为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则△F1PF2的面积为 23 .
解析 解法一 不妨设点P在双曲线的右支上，则｜PF1｜－｜PF2｜＝2a＝22，在△F1PF2中，由余弦定理，得cs∠F1PF2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜＝12，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝8，所以S△F1PF2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin 60°＝23.
解法二 由题意可得双曲线C的标准方程为x22－y22＝1，所以可得b2＝2，由双曲线焦点三角形的面积公式S△PF1F2＝b2tan∠F1PF22，可得S△F1PF2＝2tan30°＝23.
命题点2 求双曲线的标准方程
例2 （1）已知定点F1（－2，0），F2（2，0），N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的垂直平分线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹方程是（ B ）
A.x2＋y23＝1B.x2－y23＝1
C.x23＋y2＝1D.x23－y2＝1
解析 如图，当点P在y轴左侧时，连接ON，PF1.因为｜ON｜＝12｜F2M｜＝1，所以｜F2M｜＝2，由PN所在直线为线段MF1的垂直平分线，可得｜PF1｜＝｜PM｜＝｜PF2｜－｜F2M｜＝｜PF2｜－2，所以｜PF2｜－｜PF1｜＝2＜｜F1F2｜＝4.同理，当点P在y轴右侧时，｜PF1｜－｜PF2｜＝2＜｜F1F2｜＝4.故点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线，对应的方程为x2－y23＝1.
（2）[2023天津高考]双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.过F2作其中一条渐近线的垂线，垂足为P.已知｜PF2｜＝2，直线PF1的斜率为24，则双曲线的方程为（ D ）
A.x28－y24＝1B.x24－y28＝1
C.x24－y22＝1D.x22－y24＝1
解析 解法一 由题意可知该渐近线方程为y＝bax，直线PF2的方程为y＝－ab（x－c），与y＝bax联立并解得x＝a2c，y＝abc，即P（a2c，abc）.因为直线PF2与渐近线y＝bax垂直，所以PF2的长度即为点F2（c，0）到直线y＝bax（即bx－ay＝0）的距离，由点到直线的距离公式得｜PF2｜＝bca2＋b2＝bcc＝b，所以b＝2.因为F1（－c，0），P（a2c，abc），且直线PF1的斜率为24，所以abca2c＋c＝24，化简得aba2＋c2＝24，又b＝2，c2＝a2＋b2，所以2a2a2+4＝24，整理得a2－22a＋2＝0，即（a－2）2＝0，解得a＝2.所以双曲线的方程为x22－y24＝1，故选D.
解法二 因为过点F2向其中一条渐近线作垂线，垂足为P，且｜PF2｜＝2，所以b＝2，（双曲线中焦点到渐近线的距离为b）
再结合选项，排除选项B，C.若双曲线方程为x28－y24＝1，则F1（－23，0），F2（23，0），渐近线方程为y＝±22x，由题意可知该渐近线方程为y＝22x，则直线PF2的方程为y=-2（x－23），与渐近线方程y＝22x联立，得P（433，263），则kPF1＝25，又直线PF1的斜率为24，所以双曲线方程x28－y24＝1不符合题意，排除A.故选D.
方法技巧
求双曲线标准方程的两种方法
1.定义法
先根据双曲线定义确定a，b，c的值，再结合焦点的位置求出双曲线方程.
2.待定系数法
（1）先确定焦点在x轴上还是y轴上，设出标准方程，再由题中条件确定a2，b2的值；若不能确定焦点位置，可以设双曲线的方程为mx2＋ny2＝1（mn＜0）.
（2）常见设法
①与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共渐近线的双曲线方程可设为x2a2－y2b2＝λ（a＞0，b＞0，λ≠0）；
②与双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）共焦点的双曲线方程可设为x2a2－λ－y2b2＋λ＝1（-b2<λ
A.222B.4105C.7D.10
解析 由｜PA｜－｜PB｜＝2＜｜AB｜＝4，知点P的轨迹是双曲线的右支，点P的轨迹方程为x2－y23＝1（x≥1），又y＝34－x2，所以x2＝134，y2＝274，所以｜OP｜＝x2＋y2=134＋274＝10，故选D.
（2）与双曲线x216－y24＝1有相同的焦点，且经过点P（32，2）的双曲线的标准方程为 x212－y28＝1 .
解析 解法一 设所求双曲线的左、右焦点分别为F1，F2，则F1（－25，0），F225,0，则｜PF1｜－｜PF2｜＝（32+25）2+4－（32－25）2+4＝212=2a，∴a＝12，∴b2＝c2－a2＝8，故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
解法二 设所求双曲线的方程为x216－λ－y24+λ＝1（－4＜λ＜16）.
∵双曲线过点P（32，2），∴1816－λ－44+λ＝1，解得λ＝4.
故双曲线的标准方程为x212－y28＝1.
命题点3 双曲线的几何性质
角度1 渐近线
例3 （1）[2022北京高考]已知双曲线y2＋x2m＝1的渐近线方程为y＝±33x，则m＝ -3 .
解析 依题意得m＜0，令y2－x2－m＝0，得y＝±1－mx＝±33x，解得m＝－3.
（2）[2021新高考卷Ⅱ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的离心率e＝2，则双曲线C的渐近线方程为 y＝±3x .
解析 e＝ca＝1+（ba）2＝2，得ba＝3，所以双曲线C的渐近线方程为y＝±bax＝±3x.
方法技巧
（1）求双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程的方法：令x2a2－y2b2＝0，即得两渐近线方程为xa±yb＝0，也就是y＝±bax.
（2）在双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）中，离心率e与双曲线的渐近线的斜率k＝±ba满足关系式k2＝e2－1.
角度2 离心率
例4 （1）[2021全国卷甲]已知F1，F2是双曲线C的两个焦点，P为C上一点，且∠F1PF2＝60°，｜PF1｜＝3｜PF2｜，则C的离心率为（ A ）
A.72B.132C.7D.13
解析 设｜PF2｜＝m，｜PF1｜＝3m，则｜F1F2｜＝m2+9m2－2×3m×m×cs60°＝7m，所以C的离心率e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜－｜PF2｜＝7m2m＝72.
（2）双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左顶点为A，右焦点为F，过点A的直线交双曲线C于另一点B，当BF⊥AF时满足｜AF｜＞2｜BF｜，则双曲线离心率e的取值范围是（ B ）
A.（1，2）B.（1，32）
C.（32，2）D.（1，3+32）
解析 由BF⊥AF，可得｜BF｜＝b2a，又｜AF｜＞2｜BF｜，｜AF｜＝a＋c，所以a＋c＞2·b2a，即a＋c＞2·c2－a2a，即a2＋ac＞2（c2－a2），两边同时除以a2，整理可得2e2－e－3<0，又e＞1，则1＜e＜32.
所以双曲线离心率e的取值范围是（1，32）.
（3）[2023新高考卷Ⅰ]已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2.点A在C上，点B在y轴上，F1A⊥F1B，F2A＝－23F2B，则C的离心率为 355 .
解析 解法一 由题意可知，F1（－c，0），F2（c，0），设A（x1，y1），B（0，y0），所以F2A＝（x1－c，y1），F2B＝（－c，y0），因为F2A＝－23F2B，所以x1－c＝23c，y1＝－23y0，即x1＝53c，y1＝－23y0，所以A（53c，－23y0）.
F1A＝（83c，－23y0），F1B＝（c，y0），因为F1A⊥F1B，所以F1A·F1B＝0，即83c2－23y02＝0，解得y02＝4c2.
因为点A（53c，－23y0）在双曲线C上，所以25c29a2－4y029b2＝1，又y02＝4c2，所以25c29a2－16c29b2＝1，即25（a2＋b2）9a2－16（a2＋b2）9b2＝1，化简得b2a2＝45，所以e2＝1＋b2a2＝95，所以e＝355.
解法二 由前面解法一得A（53c，－23y0），y02＝4c2，所以｜AF1｜＝（53c＋c）2＋（－23y0）2＝64c29＋4y029＝64c29＋16c29＝45c3，｜AF2｜＝（53c－c）2＋（－23y0）2＝4c29＋4y029＝4c29＋16c29＝25c3，由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a，即45c3－25c3＝2a，即53c＝a，所以双曲线的离心率e＝ca＝35＝355.
方法技巧
1.求双曲线的离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率：e＝ca＝1+（ba）2.
（2）利用双曲线的定义求离心率：在焦点三角形F1PF2中，设∠F1PF2＝θ，∠PF1F2＝α，∠PF2F1＝β，则e＝ca＝｜F1F2｜||PF1｜－｜PF2||＝sinθ｜sinα－sinβ｜.
（3）构造关于a，b，c的齐次式求离心率：由已知条件得出关于a，b，c的齐次式，然后转化为关于e的方程求解.
2.求双曲线离心率的取值范围的方法
（1）借助平面几何图形中的不等关系求解，如焦半径｜PF1｜∈[c－a，＋∞）或｜PF1｜∈[a＋c，＋∞）、三角形中两边之和大于第三边等；
（2）考虑平面几何图形的临界位置，建立关于a，c的不等关系求解.
角度3 与双曲线性质有关的最值（范围）问题
例5 （1）[全国卷Ⅱ]设O为坐标原点，直线x＝a与双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两条渐近线分别交于D，E两点.若△ODE的面积为8，则C的焦距的最小值为（ B ）
A.4B.8C.16D.32
解析 由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±bax.因为D，E分别为直线x＝a与双曲线C的两条渐近线的交点，所以不妨设D（a，b），E（a，－b），所以S△ODE＝12×a×｜DE｜＝12×a×2b＝ab＝8，所以c2＝a2＋b2≥2ab＝16，当且仅当a＝b＝22时等号成立.所以c≥4，2c≥8，所以C的焦距的最小值为8，故选B.
（2）已知双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的两个顶点分别为A1，A2，F为双曲线的一个焦点，B为虚轴的一个端点，若在线段BF上（不含端点）存在两点P1，P2，使得∠A1P1A2＝∠A1P2A2＝π2，则双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（ A ）
A.（1，5+12）B.（1，3+12）
C.（0，5+12）D.（3+12，32）
解析 不妨设点F为双曲线的左焦点，点B在y轴正半轴上，则F-c，0,B0，b,直线BF的方程为bx－cy＝－bc.如图所示，以O为圆心，A1A2为直径作圆O，则P1，P2在圆O上.
由题意可知b＞a，bcb2＋c2＜a，即b＞a，baa2＋b2＜a2+2b2，解得1＜b2a2＜5+12，即双曲线的渐近线的斜率k的平方的取值范围是（1，5+12）.
方法技巧
求解与双曲线性质有关的最值（范围）问题的方法
1.几何法：如果题中给出的条件有明显的几何特征，那么可以考虑用图形的性质来求解，特别是用双曲线的定义和平面几何的有关结论来求解.
2.代数法：构造函数或不等式，利用函数或不等式的性质求解.
训练3 （1）[2023绵阳二诊]设双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，A，B两点在双曲线C上且关于原点对称，若｜AB｜＝2｜OF｜（O为坐标原点），｜BF｜＝3｜AF｜，则该双曲线的渐近线方程为（ A ）
A.6x±2y＝0B.2x±6y＝0
C.2x±3y＝0D.3x±2y＝0
解析 记F'为双曲线C的左焦点，连接AF'，BF'，则F，F'关于原点对称，又A，B也关于原点对称，所以四边形AFBF'为平行四边形，又｜AB｜＝2｜OF｜，所以四边形AFBF'为矩形.因为｜BF｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜＝3｜AF｜，所以｜AF'｜－｜AF｜＝2｜AF｜＝2a，所以｜AF｜＝a，｜AF'｜＝3a.在Rt△FAF'中，AF2+AF'2=FF'2,所以a2＋（3a）2＝（2c）2，所以c2＝5a22，又a2＋b2＝c2，所以b2＝3a22，所以ba＝62，所以双曲线C：x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±62x，即6x±2y＝0，故选A.
（2）如图，设双曲线C：x2－y224＝1的左、右焦点分别是F1、F2，点A是C右支上的一点，则｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为（ C ）
A.5B.6C.7D.8
解析 由双曲线C：x2－y224＝1可得a2＝1，b2＝24，所以c2＝a2＋b2＝25，所以a＝1，c＝5.由双曲线的定义可得｜AF1｜－｜AF2｜＝2a＝2，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＋2，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝｜AF2｜＋4｜AF2｜＋2.由双曲线的性质可知｜AF2｜≥c－a＝4，令｜AF2｜＝t，则t≥4，所以｜AF1｜＋4｜AF2｜＝t＋4t＋2.令f（t）＝t＋4t＋2（t≥4），则ft在[4，＋∞）上单调递增，（易忽视｜AF2｜的范围，错误地使用基本不等式求最值）
所以当t＝4时，f（t）取得最小值4＋44＋2＝7，此时点A为双曲线的右顶点（1，0），即｜AF1｜＋4｜AF2｜的最小值为7.故选C.
（3）[2023湖北省重点中学联考]若双曲线x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）的右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形（其中M为双曲线的右顶点），则离心率e的取值范围为 （1，233） .
解析 由题意，双曲线的渐近线方程为y＝±bax.要使该双曲线右支上存在两点A，B，使△ABM为正三角形，则需过右顶点M，且斜率为33的直线与双曲线的右支有两个不同的交点，即只需斜率大于渐近线y＝bax的斜率，所以33＞ba，即b＜33a，即b2＜13a2，所以c2＜a2+13a2，即c＜233a.又e＞1，所以1＜e＜233.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，以及简单几何性质.
2.体会数形结合的思想.
双曲线的定义及应用
2020全国卷ⅢT11
该讲每年必考，命题热点为双曲线的定义、标准方程、渐近线、离心率，题型既有选择题、填空题，也有解答题，难度中等偏上.在2025年高考备考中，训练常规题型的同时，应强化有关解答题的训练.
求双曲线的标准方程
2023新高考卷ⅡT21；2023天津T9；2022新高考卷ⅡT21
双曲线的几何性质
2023新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T11；2022全国卷甲T14；2022北京T12；2021新高考卷ⅠT21；2021新高考卷ⅡT13；2021全国卷甲T5；2021全国卷乙T13；2020新高考卷ⅠT9；2020全国卷ⅠT15；2020全国卷ⅡT8；2020全国卷ⅢT11；2019全国卷ⅠT16 ；2019全国卷ⅡT11；2019全国卷ⅢT10
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
图形
标准方程
x2a2－y2b2＝1（a＞0，b＞0）
y2a2－x2b2＝1（a＞0，b＞0）
几
何
性
质
范围
｜x｜≥a，y∈R
｜y｜≥a，x∈R
对称性
对称轴：⑦ x轴，y轴 ；对称中心：⑧ 原点
焦点
F1⑨ （－c，0） ，F2⑩ （c，0）
F1⑪ （0，－c） ，F2⑫ （0，c）
顶点
A1（－a，0），A2（a，0）
A1（0，－a），A2（0，a）
轴
线段A1A2，B1B2分别是双曲线的实轴和虚轴；实轴长为⑬ 2a ，虚轴长为⑭ 2b ；实半轴长为a，虚半轴长为b
焦距
｜F1F2｜＝⑮ 2c
离心率
e＝⑯ ca ＝1+b2a2，e∈⑰ （1，＋∞）
渐近线
直线⑱ y＝±bax
直线⑲ y＝±abx
a，b，c
的关系
a2＝⑳ c2－b2
等轴双曲线
共轭双曲线
定义
实轴长与虚轴长相等的双曲线叫做等轴双曲线.
如果一双曲线的实轴和虚轴分别是另一双曲线的虚轴和实轴，那么这两个双曲线互为共轭双曲线.
性质
（1）a＝b；（2）e＝2；（3）渐近线互相垂直；（4）等轴双曲线上任意一点到中心的距离是它到两焦点距离的等比中项.
（1）它们有共同的渐近线；（2）它们的四个焦点共圆；（3）它们的离心率的倒数的平方和等于1.
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