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备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第5讲椭圆
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第八章平面解析几何第5讲椭圆，共11页。
（1）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于① 常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数.
注意 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思维拓展
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F∉l，d表示点P到直线l的距离}.
椭圆的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}.
注意 椭圆的第三定义中的两个定点（椭圆的顶点）在x轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点.
2.椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近于圆.
常用结论
1.椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）当P为短轴端点时，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，最大值为bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
2.设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），则当点Px0,y0在椭圆上时，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e为椭圆的离心率）.
1.（1）的推导过程：在焦点三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cs θ，
则cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜，即点P是短轴端点时取等号，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函数y＝cs x在（0，π）上单调递减，∴当P为短轴的端点时，θ最大.
1.（2）的推导过程：由上条结论的推导过程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sinθ2csθ22cs2θ2＝b2tan θ2.
1.设P是椭圆C：x25＋y23＝1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析 根据椭圆的定义，可知点P到椭圆的两个焦点的距离之和为25.故选C.
2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，则（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析 由题意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故选B.
3.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易错题]平面内一点M到两定点F1（－6，0），F2（6，0）的距离之和等于12，则点M的轨迹是 线段F1F2 .
解析 由题意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2.
5.[易错题]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝ 4或8 .
解析 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知椭圆的一个焦点为F（6，0），且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是 x248＋y212＝1 .
解析 由已知得椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一个焦点为F（6，0），知c＝6，又△FB1B2为等边三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故椭圆的标准方程为x248＋y212＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 椭圆的定义及其应用
例1 （1）[2023全国卷甲]设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析 解法一 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
解法二 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析 由椭圆C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
则｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
（3）动圆M与圆M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，与圆M2：（x－1）2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹是 椭圆 .
解析 设圆M的半径为R.因为圆M与圆M1外切，与圆M2内切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的轨迹是椭圆.
方法技巧
1.椭圆定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
训练1 （1）[2023全国卷甲]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29＋y26＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝35，则｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析 解法一 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图，不妨令F1（－3，0），F2（3，0）.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），两边同时平方求｜OP｜）
解法二 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图（图同解法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因为cs∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知椭圆x24＋y23＝1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若点A的坐标为（1，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析 设椭圆的右焦点为F2（1，0），则｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3（此时点P是射线F2A与椭圆的交点）.
（3）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析 因为△ABC的周长为20，顶点B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆的一部分，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以点A的轨迹方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命题点2 椭圆的标准方程
例2 （1）[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，2），F2（0，－2），P为椭圆上任意一点，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析 由题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝23，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
（2）[2022全国卷甲]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2＝－1，则C的方程为（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析 依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为x29＋y28＝1，故选B.
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定a，b，c的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系数法求出m，n的值.
训练2 （1）[2023银川市质检]已知A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点，焦距为4，直线y＝kx（k≠0）与C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为－12，则椭圆C的方程为（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析 解法一 因为A是椭圆C的右顶点，所以点A的坐标为（a，0），因为直线y＝kx（k≠0）过原点，所以与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交点P，Q关于原点对称，因此可设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1），（－x1，－y1），则kAP·kAQ＝y1x1－a·－y1－x1－a＝y1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因为点P（x1，y1）在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.
解法二 由二级结论可知，直线AP和AQ的斜率之积为－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.（二级结论：过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q两点，A为椭圆上任意一点，且直线AP和AQ与坐标轴不垂直，则直线AP和AQ的斜率之积为定值－b2a2）
（2）若椭圆经过两点（1，32）和（2，22），则椭圆的标准方程为 x24+y2=1 .
解析 解法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，与a＞b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
解法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵椭圆过（1，32）和（2，22）两点，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
命题点3 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设椭圆C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析 解法一（直接求解法） 由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故选A.
解法二（选项代入验证法） 若a＝233，则e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）[2022全国卷甲]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析 解法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因为点P在椭圆C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故选A.
解法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故选A.
（3）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析 依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝ca≤22，故选C.
方法技巧
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由椭圆的定义求离心率.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）构造关于a，c的齐次式求离心率.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
注意 将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于a，b，c的齐次式的方法.
2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
训练3 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析 由题意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（负值舍去），故选B.
（2）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析 由题意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故选D.
角度2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 （1）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析 设点P（x，y），则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.当2y＋12＝0，即y＝－14时，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故选A.
（2）设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析 依题意得3m≥tan∠AMB2，03，所以3m≥tan60°，03，解得0＜m≤1或m≥9.
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
训练4 （1）[2023贵阳摸底]已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，则｜MN｜的最大值为（ A ）
A.3B.4C.5D.6
解析 设PF1，PF2的中点分别为A，B，因为MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，所以M在以A为圆心，PF1为直径的圆上，N在以B为圆心，PF2为直径的圆上，所以直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M，N（M，N的位置如图所示）时，｜MN｜最大，此时｜MN｜＝｜PA｜＋｜AB｜＋｜PB｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜.又椭圆C：x24＋y23＝1，所以a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝1，所以｜MN｜的最大值为｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜＝a＋c＝2＋1＝3，故选A.
（2）如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1（b＞0）的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为 4 .
解析 由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为（x0，y0），－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F（－1，0），A（2，0），PF＝（－1－x0，－y0），PA＝（2－x0，－y0），x024＋y023＝1，所以PF·PA＝x02－x0－2＋y02＝14x02－x0＋1＝14（x0－2）2，则当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.体会数形结合的思想.
椭圆的定义及其应用
2023全国卷甲T7；2023全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全国卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9
该讲是高考命题的热点，主要体现：（1）以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；（2）以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积，弦长等.题型既有小题也有大题，难度中等偏上.在2025年高考的备考中，应关注椭圆的定义和几何性质在解题中的应用.
椭圆的标准方程
2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；2022全国卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT21
椭圆的几何性质
2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T10；2021全国卷乙T11；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
几
何
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：⑥ x轴、y轴 .对称中心：⑦ 原点
焦点
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
顶点
A1－a，0,A2a，0,
B10，－b,B20，b
A10，－a,A20，a,
B1－b，0,B2b，0
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为⑧ 2a ，短轴长为⑨ 2b
焦距
｜F1F2｜＝2c
离心率
e＝ca＝1－b2a2∈⑩ （0，1）
a，b，c
的关系
⑪ a2＝b2＋c2
（1）定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于① 常数 （大于｜F1F2｜）的点的轨迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的② 焦点 ，两焦点间的距离叫做椭圆的③ 焦距 .
集合语言：P＝{M｜｜MF1｜＋｜MF2｜＝2a，2a＞｜F1F2｜}，｜F1F2｜＝2c，其中a＞c＞0，且a，c为常数.
注意 若2a＝｜F1F2｜，则动点的轨迹是线段F1F2；若2a＜｜F1F2｜，则动点的轨迹不存在.
（2）标准方程
a.中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆的标准方程为④ x2a2+y2b2=1 （a＞b＞0）；
b.中心在坐标原点，焦点在y轴上的椭圆的标准方程为⑤ y2a2+x2b2=1 （a＞b＞0）.
思维拓展
椭圆的第二定义、第三定义
椭圆的第二定义：{P｜｜PF｜d＝e，0＜e＜1，其中F为定点，l为定直线，e为离心率，F∉l，d表示点P到直线l的距离}.
椭圆的第三定义：{P｜kPA·kPB＝e2－1，0＜e＜1，其中kPA，kPB分别表示点P与两定点A，B连线的斜率，e为离心率}.
注意 椭圆的第三定义中的两个定点（椭圆的顶点）在x轴上，且利用椭圆第三定义得出的轨迹方程不包括这两个定点.
2.椭圆的几何性质
说明 离心率表示椭圆的扁平程度，当e越接近于1时，c越接近于a，从而b＝a2－c2越小，因此椭圆越扁平；当e越接近于0时，c越接近于0，从而b＝a2－c2越大，因此椭圆越接近于圆.
常用结论
1.椭圆的焦点三角形
以椭圆上的点P（x0，y0）与两焦点F1，F2为顶点的△PF1F2叫做焦点三角形.
如图所示，设∠F1PF2＝θ.
（1）当P为短轴端点时，θ最大.（2）S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2tanθ2=c｜y0｜，当｜y0｜＝b，即P为短轴端点时，S△PF1F2取最大值，最大值为bc.（3）｜PF1｜max＝a＋c，｜PF1｜min＝a－c.（4）焦点三角形的周长为2（a＋c）.
2.设椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1（－c，0），F2（c，0），则当点Px0,y0在椭圆上时，｜PF1｜＝a＋ex0，｜PF2｜＝a－ex0（e为椭圆的离心率）.
1.（1）的推导过程：在焦点三角形PF1F2中，由余弦定理可得｜F1F2｜2＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－2｜PF1｜｜PF2｜cs θ，
则cs θ＝｜PF1｜2＋｜PF2｜2－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝(|PF1｜＋｜PF2｜）2－2｜PF1||PF2｜－｜F1F2｜22｜PF1||PF2｜
＝（2a）2－4c2－2｜PF1||PF2｜2｜PF1||PF2｜
＝2b2｜PF1||PF2｜－1，
∵｜PF1｜｜PF2｜≤（｜PF1｜＋｜PF2｜2）2＝a2，当且仅当｜PF1｜＝｜PF2｜，即点P是短轴端点时取等号，
∴cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1≥2b2a2－1.
又函数y＝cs x在（0，π）上单调递减，∴当P为短轴的端点时，θ最大.
1.（2）的推导过程：由上条结论的推导过程得cs θ＝2b2｜PF1||PF2｜－1，∴｜PF1｜｜PF2｜＝2b21+csθ，
∴S△PF1F2＝12｜PF1｜｜PF2｜sin θ＝12·2b21+csθ·sin θ＝b2·sinθ1+csθ＝b2·2sinθ2csθ22cs2θ2＝b2tan θ2.
1.设P是椭圆C：x25＋y23＝1上的动点，则P到椭圆的两个焦点的距离之和为（ C ）
A.22B.23C.25D.42
解析 根据椭圆的定义，可知点P到椭圆的两个焦点的距离之和为25.故选C.
2.已知椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为12，则（ B ）
A.a2＝2b2B.3a2＝4b2C.a＝2bD.3a＝4b
解析 由题意得，ca＝12，∴c2a2＝14，又a2＝b2＋c2，∴a2－b2a2＝14，∴b2a2＝34，∴4b2＝3a2.故选B.
3.[多选]下列说法正确的是（ CD ）
A.平面内与两个定点F1，F2的距离的和等于常数的点的轨迹是椭圆
B.椭圆的离心率e越大，椭圆就越圆
C.关于x，y的方程mx2＋ny2＝1（m＞0，n＞0，m≠n）表示的曲线是椭圆
D.x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）与y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）的焦距相同
4.[易错题]平面内一点M到两定点F1（－6，0），F2（6，0）的距离之和等于12，则点M的轨迹是 线段F1F2 .
解析 由题意知｜MF1｜＋｜MF2｜＝12，但｜F1F2｜＝12，即｜MF1｜＋｜MF2｜＝｜F1F2｜，所以点M的轨迹是线段F1F2.
5.[易错题]椭圆x210－m＋y2m－2＝1的焦距为4，则m＝ 4或8 .
解析 当焦点在x轴上时，10－m＞m－2＞0，10－m－（m－2）＝4，∴m＝4.当焦点在y轴上时，m－2＞10－m＞0，m－2－（10－m）＝4，∴m＝8.
6.已知椭圆的一个焦点为F（6，0），且B1，B2是短轴的两个端点，△FB1B2是等边三角形，则这个椭圆的标准方程是 x248＋y212＝1 .
解析 由已知得椭圆的焦点在x轴上，设方程为x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）.由一个焦点为F（6，0），知c＝6，又△FB1B2为等边三角形，得b＝23，所以a2＝b2＋c2＝48，故椭圆的标准方程为x248＋y212＝1.
研透高考 明确方向
命题点1 椭圆的定义及其应用
例1 （1）[2023全国卷甲]设F1，F2为椭圆C：x25＋y2＝1的两个焦点，点P在C上，若PF1·PF2＝0，则｜PF1｜·｜PF2｜＝（ B ）
A.1B.2C.4D.5
解析 解法一 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，则S△PF1F2＝12｜PF1｜·｜PF2｜＝b2tan∠F1PF22，得12｜PF1｜·｜PF2｜＝1×tan90°2，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
解法二 因为PF1·PF2＝0，所以PF1⊥PF2，所以PF12+PF22=F1F22＝2c2=16.因为｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝25，所以(|PF1｜＋｜PF2|)2＝20，即｜PF1｜2＋｜PF2｜2＋2｜PF1｜·｜PF2｜＝20，所以｜PF1｜·｜PF2｜＝2，故选B.
（2）[2021新高考卷Ⅰ]已知F1，F2是椭圆C：x29＋y24＝1的两个焦点，点M在C上，则｜MF1｜·｜MF2｜的最大值为（ C ）
A.13B.12C.9D.6
解析 由椭圆C：x29＋y24＝1，得｜MF1｜＋｜MF2｜＝6，
则｜MF1｜·｜MF2｜≤（｜MF1｜＋｜MF2｜2）2＝32＝9，当且仅当｜MF1｜＝｜MF2｜＝3时等号成立.
（3）动圆M与圆M1：（x＋1）2＋y2＝1外切，与圆M2：（x－1）2＋y2＝25内切，则动圆圆心M的轨迹是 椭圆 .
解析 设圆M的半径为R.因为圆M与圆M1外切，与圆M2内切，所以MM1=1+R,｜MM2｜＝5－R，所以｜MM1｜＋｜MM2｜＝1＋R＋5－R＝6＞｜M1M2｜＝2，所以M的轨迹是椭圆.
方法技巧
1.椭圆定义的主要应用
（1）确认平面内与两定点有关的动点轨迹是否为椭圆；（2）解决与焦点有关的距离或范围问题.
2.解决焦点三角形问题常利用椭圆的定义以及余弦定理.
训练1 （1）[2023全国卷甲]设O为坐标原点，F1，F2为椭圆C：x29＋y26＝1的两个焦点，点P在C上，cs∠F1PF2＝35，则｜OP｜＝（ B ）
A.135B.302C.145D.352
解析 解法一 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图，不妨令F1（－3，0），F2（3，0）.设｜PF1｜＝m，｜PF2｜＝n，在△F1PF2中，cs∠F1PF2＝m2＋n2－122mn＝35 ①，由椭圆的定义可得m+n=2a=6 ②.由①②，解得mn＝152.设｜OP｜＝x.在△F1OP和△F2OP中，∠F1OP＋∠F2OP＝π，由余弦定理得x2+3－m223x＝－x2+3－n223x，得x2＝m2＋n2－62＝（m＋n）2－2mn－62＝152，所以｜OP｜＝302.（也可由PO＝12（PF1＋PF2），两边同时平方求｜OP｜）
解法二 依题意a＝3，b＝6，c＝a2－b2＝3.如图（图同解法一），设点P的坐标为（x0，y0），利用焦点三角形面积公式知S△F1PF2＝b2sin∠F1PF21+cs∠F1PF2.因为cs∠F1PF2＝35，所以sin∠F1PF2＝45，故S△F1PF2＝6×451+35＝3.又S△F1PF2＝12×2c｜y0｜＝3｜y0｜，故y02＝3，又x029＋y026＝1，所以x02＝92，故｜OP｜2＝x02＋y02＝152，得｜OP｜＝302.
（2）已知椭圆x24＋y23＝1，F是椭圆的左焦点，P是椭圆上一点，若点A的坐标为（1，1），则｜PA｜＋｜PF｜的最小值为（ A ）
A.3B.10C.5＋12D.5＋1
解析 设椭圆的右焦点为F2（1，0），则｜AF2｜＝1，PA+PF=PA+4-PF2=4+PA-PF2.又｜｜PA｜－｜PF2｜｜≤｜AF2｜＝1，所以-1≤PA-PF2≤1，所以｜PA｜＋｜PF｜的最小值为3（此时点P是射线F2A与椭圆的交点）.
（3）已知△ABC的周长为20，且顶点B（0，－4），C（0，4），则顶点A的轨迹方程是 x220＋y236＝1（x≠0） .
解析 因为△ABC的周长为20，顶点B（0，－4），C（0，4），所以｜BC｜＝8，｜AB｜＋｜AC｜＝20－8＝12，因为12＞8，所以点A到两个定点的距离之和等于定值，所以点A的轨迹是焦点在y轴上的椭圆的一部分，设椭圆方程为x2b2＋y2a2＝1（a＞b＞0），易得a＝6，c＝4，所以b2＝20，所以点A的轨迹方程是x220＋y236＝1（x≠0）.
命题点2 椭圆的标准方程
例2 （1）[2023南京模拟]已知椭圆的两个焦点分别为F1（0，2），F2（0，－2），P为椭圆上任意一点，若｜F1F2｜是｜PF1｜，｜PF2｜的等差中项，则此椭圆的标准方程为（ D ）
A.x264＋y260＝1B.y264＋x260＝1
C.x216＋y212＝1D.y216＋x212＝1
解析 由题意得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2｜F1F2｜＝8＝2a，故a＝4，又c＝2，则b＝23，又焦点在y轴上，故椭圆的标准方程为y216＋x212＝1.
（2）[2022全国卷甲]已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的离心率为13，A1，A2分别为C的左、右顶点，B为C的上顶点.若BA1·BA2＝－1，则C的方程为（ B ）
A.x218＋y216＝1B.x29＋y28＝1
C.x23＋y22＝1D.x22＋y2＝1
解析 依题意得A1（－a，0），A2（a，0），B（0，b），所以BA1＝（－a，－b），BA2＝（a，－b），BA1·BA2＝－a2＋b2＝－c2＝－1，故c＝1，又C的离心率e＝ca＝13，所以a＝3，故a2＝9，b2＝a2－c2＝8，即C的方程为x29＋y28＝1，故选B.
方法技巧
求椭圆标准方程的两种方法
1.定义法
先根据椭圆的定义确定a，b，c的值，再结合焦点位置求出椭圆的标准方程.
2.待定系数法
若焦点位置明确，则可设出椭圆的标准方程，结合已知条件求出a，b的值；若焦点位置不明确，则需要分焦点在x轴上和y轴上两种情况讨论，也可设椭圆方程为mx2+ny2=1m>0,n>0,m≠n，用待定系数法求出m，n的值.
训练2 （1）[2023银川市质检]已知A是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的右顶点，焦距为4，直线y＝kx（k≠0）与C相交于P，Q两点，若直线AP与直线AQ的斜率之积为－12，则椭圆C的方程为（ B ）
A.x26＋y22＝1B.x28＋y24＝1
C.x29＋y25＝1D.x232＋y216＝1
解析 解法一 因为A是椭圆C的右顶点，所以点A的坐标为（a，0），因为直线y＝kx（k≠0）过原点，所以与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的交点P，Q关于原点对称，因此可设P，Q两点的坐标分别为（x1，y1），（－x1，－y1），则kAP·kAQ＝y1x1－a·－y1－x1－a＝y1x1－a·y1x1＋a=y12x12－a2.因为点P（x1，y1）在椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）上，所以x12a2＋y12b2＝1，故y12＝b2（1－x12a2）＝b2a2（a2－x12），所以kAP·kAQ＝y12x12－a2＝b2a2（a2－x12）x12－a2＝－b2a2，由已知可得－b2a2＝－12，所以a2＝2b2.由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2=4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.
解法二 由二级结论可知，直线AP和AQ的斜率之积为－b2a2，所以－b2a2＝－12，所以a2＝2b2，由焦距2c＝4，得c＝2，再结合椭圆中a2＝b2＋c2，可得a2＝8，b2＝4，故椭圆C的方程为x28＋y24＝1，故选B.（二级结论：过原点的直线与椭圆x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）相交于P，Q两点，A为椭圆上任意一点，且直线AP和AQ与坐标轴不垂直，则直线AP和AQ的斜率之积为定值－b2a2）
（2）若椭圆经过两点（1，32）和（2，22），则椭圆的标准方程为 x24+y2=1 .
解析 解法一 当椭圆的焦点在x轴上时，设所求椭圆的方程为x2a2＋y2b2＝1 （a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴1a2＋34b2=1，2a2＋12b2=1，解得a=2，b=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.当椭圆的焦点在y轴上时，设所求椭圆的方程为y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）.∵椭圆经过两点（1，32）和（2，22），∴34a2＋1b2=1，12a2＋2b2=1，解得a=1，b=2，与a＞b矛盾，故舍去.
综上可知，所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
解法二 设椭圆方程为mx2＋ny2＝1 （m＞0，n＞0，m≠n）.
∵椭圆过（1，32）和（2，22）两点，∴m＋3n4=1，2m＋n2=1，解得m＝14，n=1.∴所求椭圆的标准方程为x24＋y2＝1.
命题点3 椭圆的几何性质
角度1 离心率
例3 （1）[2023新高考卷Ⅰ]设椭圆C1：x2a2＋y2＝1（a＞1），C2：x24＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝3e1，则a＝（ A ）
A.233B.2C.3D.6
解析 解法一（直接求解法） 由已知得e1＝a2－1a，e2＝4－12＝32，因为e2＝3e1，所以32＝3×a2－1a，得a＝233.故选A.
解法二（选项代入验证法） 若a＝233，则e1＝a2－1a＝（233）2－1233＝12，又e2＝32，所以e2＝3e1，所以a＝233符合题意，由于是单选题，故选A.
（2）[2022全国卷甲]椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，点P，Q均在C上，且关于y轴对称.若直线AP，AQ的斜率之积为14，则C的离心率为（ A ）
A.32B.22C.12D.13
解析 解法一 设P（m，n）（n≠0），则Q（－m，n），易知A（－a，0），所以kAP·kAQ＝nm＋a·n－m＋a＝n2a2－m2＝14 ①.因为点P在椭圆C上，所以m2a2＋n2b2＝1，得n2＝b2a2（a2－m2），代入①式，得b2a2＝14，所以e＝1－b2a2＝32.故选A.
解法二 设椭圆C的右顶点为B，则直线BP与直线AQ关于y轴对称，所以kAQ＝－kBP，所以kAP·kBP＝－kAP·kAQ＝－14＝e2－1，所以e＝32.故选A.
（3）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的上顶点，若C上的任意一点P都满足｜PB｜≤2b，则C的离心率的取值范围是（ C ）
A.[22，1）B.[12，1）C.（0，22]D.（0，12]
解析 依题意，得B（0，b），设椭圆上一点P（x0，y0），则｜y0｜≤b，由x02a2＋y02b2＝1，可得x02＝a2－a2b2y02，则｜PB｜2＝x02＋（y0－b）2＝x02＋y02－2by0＋b2＝－c2b2y02－2by0＋a2＋b2≤4b2.因为当y0＝－b时，｜PB｜2＝4b2，所以－b3c2≤－b，得2c2≤a2，所以离心率e＝ca≤22，故选C.
方法技巧
1.求椭圆离心率的方法
（1）直接利用公式求离心率.e＝ca＝1－（ba）2.
（2）由椭圆的定义求离心率.设F1，F2为椭圆的两个焦点，P为椭圆上一点，则e＝ca＝2c2a＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜.
（3）构造关于a，c的齐次式求离心率.可以不求出a，c的具体值，而是得出a与c的关系，从而求得e.
注意 将余弦定理与椭圆的定义结合列方程，是常见的构造关于a，b，c的齐次式的方法.
2.求椭圆离心率范围时，要注意对几何图形的临界情况的应用.
训练3 （1）已知椭圆C：x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）的左顶点为A，上顶点为B，右焦点为F，且△ABF是等腰三角形，则椭圆C的离心率为（ B ）
A.5－12B.3－12C.3－1D.5－1
解析 由题意知｜AB｜＞｜BF｜，｜AF｜＞｜BF｜，故｜AB｜＝｜AF｜，即a2＋b2＝a＋c，所以2a2－c2＝a2＋2ac＋c2，即2c2＋2ac－a2＝0，即2e2＋2e－1＝0，解得e＝3－12（负值舍去），故选B.
（2）已知F1，F2是椭圆C的两个焦点，P是C上的一点.若PF1⊥PF2，且∠PF2F1＝60°，则C的离心率为（ D ）
A.1－32B.2－3C.3－12D.3－1
解析 由题意可得，｜PF2｜∶｜PF1｜∶｜F1F2｜＝1∶3∶2.因为｜F1F2｜＝2c，所以｜PF2｜＝c，｜PF1｜＝3c，由椭圆的定义得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a，故椭圆C的离心率e＝ca＝｜F1F2｜｜PF1｜＋｜PF2｜＝23+1＝3－1.故选D.
角度2 与椭圆性质有关的最值（范围）问题
例4 （1）[2021全国卷乙]设B是椭圆C：x25＋y2＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（ A ）
A.52B.6C.5D.2
解析 设点P（x，y），则根据点P在椭圆x25＋y2＝1上可得x2＝5－5y2.易知点B（0，1），所以｜PB｜2＝x2＋（y－1）2＝5－5y2＋（y－1）2＝－4y2－2y＋6＝254－（2y＋12）2（｜y｜≤1）.当2y＋12＝0，即y＝－14时，｜PB｜2取得最大值254，所以｜PB｜max＝52.故选A.
（2）设A，B是椭圆C：x23＋y2m＝1长轴的两个端点.若C上存在点M满足∠AMB＝120°，则m的取值范围是（ A ）
A.（0，1]∪[9，＋∞）B.（0，3]∪[9，＋∞）
C.（0，1]∪[4，＋∞）D.（0，3]∪[4，＋∞）
解析 依题意得3m≥tan∠AMB2，0
方法技巧
利用椭圆的简单几何性质求最值或范围的思路
（1）代数法，设坐标，利用坐标构造函数或不等关系，利用函数或基本不等式求最值或范围；
（2）几何法，通过数形结合、几何意义等结合椭圆性质求解.
训练4 （1）[2023贵阳摸底]已知椭圆C：x24＋y23＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P在椭圆上且异于长轴端点.点M，N在△PF1F2所围区域之外，且始终满足MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，则｜MN｜的最大值为（ A ）
A.3B.4C.5D.6
解析 设PF1，PF2的中点分别为A，B，因为MP·MF1＝0，NP·NF2＝0，所以M在以A为圆心，PF1为直径的圆上，N在以B为圆心，PF2为直径的圆上，所以直线AB与两圆的交点（△PF1F2所围区域之外）分别为M，N（M，N的位置如图所示）时，｜MN｜最大，此时｜MN｜＝｜PA｜＋｜AB｜＋｜PB｜＝｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜.又椭圆C：x24＋y23＝1，所以a＝2，b＝3，c＝a2－b2＝1，所以｜MN｜的最大值为｜PF1｜＋｜PF2｜2＋｜AB｜＝a＋c＝2＋1＝3，故选A.
（2）如图，焦点在x轴上的椭圆x24＋y2b2＝1（b＞0）的离心率e＝12，F，A分别是椭圆的一个焦点和顶点，P是椭圆上任意一点，则PF·PA的最大值为 4 .
解析 由题意知a＝2，因为e＝ca＝12，所以c＝1，b2＝a2－c2＝3.故椭圆方程为x24＋y23＝1.设P点坐标为（x0，y0），－2≤x0≤2，－3≤y0≤3.因为F（－1，0），A（2，0），PF＝（－1－x0，－y0），PA＝（2－x0，－y0），x024＋y023＝1，所以PF·PA＝x02－x0－2＋y02＝14x02－x0＋1＝14（x0－2）2，则当x0＝－2时，PF·PA取得最大值4.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
1.掌握椭圆的定义、标准方程及简单几何性质.
2.了解椭圆的简单应用.
3.体会数形结合的思想.
椭圆的定义及其应用
2023全国卷甲T7；2023全国卷甲T12；2021新高考卷ⅠT5；2021全国卷甲T15；2020新高考卷ⅠT9
该讲是高考命题的热点，主要体现：（1）以定义作为命题思路求解椭圆的标准方程、离心率等；（2）以特殊的几何图形为命题背景，求解三角形的面积，弦长等.题型既有小题也有大题，难度中等偏上.在2025年高考的备考中，应关注椭圆的定义和几何性质在解题中的应用.
椭圆的标准方程
2023全国卷乙T20；2022全国卷甲T11；2022全国卷乙T20；2021新高考卷ⅡT20；2020新高考卷ⅠT22；2020新高考卷ⅡT21；2020全国卷ⅠT20；2020全国卷ⅡT19；2020全国卷ⅢT20；2019全国卷ⅠT10；2019全国卷ⅡT21
椭圆的几何性质
2023新高考卷ⅠT5；2022新高考卷ⅠT16；2022全国卷乙T20；2022全国卷甲T10；2021全国卷乙T11；2020全国卷ⅡT19；2019全国卷ⅢT15
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
图形
标准方程
x2a2＋y2b2＝1（a＞b＞0）
y2a2＋x2b2＝1（a＞b＞0）
几
何
性
质
范围
－a≤x≤a，－b≤y≤b
－b≤x≤b，－a≤y≤a
对称性
对称轴：⑥ x轴、y轴 .对称中心：⑦ 原点
焦点
F1（－c，0），F2（c，0）
F1（0，－c），F2（0，c）
顶点
A1－a，0,A2a，0,
B10，－b,B20，b
A10，－a,A20，a,
B1－b，0,B2b，0
轴
线段A1A2，B1B2分别是椭圆的长轴和短轴，长轴长为⑧ 2a ，短轴长为⑨ 2b
焦距
｜F1F2｜＝2c
离心率
e＝ca＝1－b2a2∈⑩ （0，1）
a，b，c
的关系
⑪ a2＝b2＋c2
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