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备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式
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这是一份备考2024届高考数学一轮复习讲义第一章集合常用逻辑用语与不等式第4讲基本不等式，共10页。
1.基本不等式：ab≤a＋b2
（1）基本不等式成立的条件：① a＞0，b＞0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当② a＝b 时取等号.
（3）其中，③ a＋b2 叫做a，b的算术平均数，④ ab 叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.
2.几个重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.
（2）a＋b≥2ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
（3）2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
思维拓展
基本不等式链的几何解释
如图，AB是☉O的直径，AC＝a，CB＝b，点D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，连接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足为E.由图可知，☉O的半径等于AB2＝AC＋CB2＝a＋b2.
（1）因为DC是Rt△ADB斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab⇒DC＝ab.由DO≥DC得a＋b2≥ab，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
（2）因为CE是Rt△DOC斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝DC2DO＝aba＋b2＝21a＋1b.由DC≥DE得ab≥21a＋1b，当且仅当C与E重合，即a＝b时不等式取等号.
（3）因为OC＝AC－AO＝a－a＋b2＝a－b2，OF＝a＋b2，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝OC2＋OF2＝（a－b2）2＋（a＋b2）2＝a2＋b22.由CF≥OF得a2＋b22≥a＋b2，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
则由（1）（2）（3）可得不等式链：21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时不等式取等号.
拓展思维：类似地，我们可以由DO≥DE得a＋b2≥21a＋1b；由CF≥DE得a2＋b22≥21a＋1b；由CF≥DC得a2＋b22≥ab.
归纳总结：不等式链21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22一共包含了6个不等式（它们取等号的条件一致，均是当且仅当a＝b时不等式取等号），对于其中的每一个不等式，我们都可以根据上图给出它的几何解释.
注意 21a＋1b，ab，a＋b2，a2＋b22分别称为正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，故基本不等式链也称为均值不等式.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤ 2P （简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥ S24 （简记：和定积最大）.
注意 应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列说法正确的是（ C ）
A.函数y＝x＋1x的最小值是2
B.函数f（x）＝cs x＋4csx，x∈（0，π2）的最小值为4
C.“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2”的充分不必要条件
D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件
2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（ B ）
A.4B.92C.322D.2
解析 依题意可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2a·2b＝22·ab，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.
3.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（ D ）
A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2C.a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥ab
解析 易知A，B成立；对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以a2＋b22≥（a＋b2）2，所以a2＋b22≥a＋b2，故C成立；对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，选D.
4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是 6 .
解析 由x＞2知x－2＞0，则4x－2＋x＝4x－2＋（x－2）＋2≥24x－2·（x－2）＋2＝6，当且仅当4x－2＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以4x－2＋x的最小值是6.
研透高考 明确方向
命题点1 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为（ D ）
A.4B.6C.3D.10
解析 ∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋9a＋b＋4a－b＝[（a＋b）＋9a＋b]＋[（a－b）＋4a－b]≥2（a＋b）·9a＋b＋2（a－b）·4a－b＝6＋4＝10，当且仅当a＋b＝9a＋b且a－b＝4a－b，即a＝52，b＝12时取等号，故2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为10.故选D.
（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为 2 .
解析 0＜x＜4，则0＜4－x＜4，由基本不等式可得x（4－x）≤x+4－x2＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，等号成立.故x（4－x）的最大值为2.
角度2 常数代换法
例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（ C ）
A.54B.56C.72D.81
解析 解法一 因为8a＋4b＝ab，所以b＝8aa－4＞0，因为a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋8aa－4＝8（a2－3a）a－4＝8[（a－4）＋4a－4＋5]≥8×（24＋5）＝72，当且仅当a＝6时取等号.故选C.
解法二 ∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴8b＋4a＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（8b＋4a）＝64ab＋4ba＋40≥264×4＋40＝72，当且仅当64ab＝4ba，即a＝6，b＝24时取“＝”，故选C.
（2）[山东高考]若直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为8.
解析 ∵直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），∴1a＋2b＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（1a＋2b）＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab和1a＋2b＝1同时成立，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.
角度3 消元法
例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（ C ）
A.2B.22C.4D.42
解析 因为正数x，y满足xy－2x－y＝0，所以y＝2xx－1＞0，则x－1＞0，所以x＋y2＝x＋xx－1＝x＋1x－1＋1＝x－1＋1x－1＋2≥2（x－1）·1x－1＋2＝4，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立.故选C.
（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 45 .
解析 解法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝15y2－y25，则x2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
解法二 因为4＝（5x2＋y2）·4y2≤[（5x2＋y2）+4y22]2＝254（x2＋y2）2，所以x2＋y2≥45，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
方法技巧
1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.
2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.
3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.
训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－1，4）B.（－4，1）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析 ∵正实数x，y满足1x＋4y＝1，∴x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x且1x＋4y＝1，即x＝2，y＝8时取等号.∵不等式x＋y4＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，即m∈（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故选C.
（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为 22 .
解析 因为1a＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22，当且仅当1a＝ab2，2b＝b，即a＝b＝2时取等号，所以1a＋ab2＋b的最小值为22.
（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为 1 .
解析 因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以xyz＝xy4x2－3xy＋y2＝14xy－3+yx≤124xy·yx－3＝12×2－3＝1，当且仅当4xy＝yx，即y＝2x时等号成立，所以xyz的最大值为1.
命题点2 基本不等式的综合问题
角度1 基本不等式的综合应用
例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcs β，sin βcs γ，
sinγcsα三个值中，大于12的个数的最大值是（ C ）
A.0B.1C.2D.3
解析 因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cs β，sin β，cs γ，sin γ，cs α均为正数.由基本不等式可知sin αcs β≤sin2α＋cs2β2，sin βcs γ≤sin2β＋cs2γ2，sin γcsα≤
sin2γ＋cs2α2，三式相加可得sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcsα≤32，当且仅当sin α＝
cs β，sin β＝cs γ，sin γ＝cs α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcsα＜32，所以sin αcs β，sin βcs γ，sin γcsα不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sinπ6csπ3＝12×12＝14＜12，sinπ3csπ4＝32×22＝64＞24＝12，sinπ4csπ6＝22×32＝64＞12，所以三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.
（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ BC ）
A.x＋y≤1B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1
解析 解法一 由题意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，当x＞0且y＞0时，显然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A错误.因为x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确.因为（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确.因为x2＋y2＝xy＋1，所以当xy＜0时，x2＋y2＜1，故D错误.故选BC.
解法二 由x2＋y2－xy＝（x－12y）2＋34y2＝1，可设x－12y＝cs α，32y＝sin α，所以x＝sinα3＋cs α，y＝2sinα3.x＋y＝3sin α＋cs α＝2sin（α＋π6）∈[－2，2]，且当α＝π3时，x＋y可取得最大值2，故A错误，B正确.x2＋y2＝3sin2α－cs2α+43＝2sin（2α－π6）+43∈[23，2]，且当α＝－π6时，x2＋y2取得最小值23，所以C正确，D错误，故选BC.
角度2 利用基本不等式解决实际问题
例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 .
解析 一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4（900x＋x）≥8900x×x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝x2+120x，0（1）写出年利润W（x）（单位：万元）关于年产量x（单位：台）的函数解析式（利润＝销售收入－成本）.
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解析 （1）由题意可得，当0＜x≤50时，W（x）＝200x－（x2＋120x）－200＝－x2＋80x－200，当50＜x≤100时，W（x）＝200x－（201x＋4900x－2 100）－200＝－（x＋4900x）＋1 900，
故W（x）＝－x2+80x－200，0（2）当0＜x≤50时，W（x）＝－x2＋80x－200＝－（x－40）2＋1 400，W（x）max＝
W（40）＝1 400；
当50＜x≤100时，W（x）＝－（x＋4900x）＋1 900≤－2x·4900x＋1 900＝1 760，当且仅当x＝4900x，即x＝70时等号成立，此时W（x）max＝1 760.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1 760万元.
方法技巧
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC中，BD＝13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CE＝xCA＋yCB（x，y∈R），则8x+3y3xy的最小值是（ D ）
A.6B.7C.8D.9
解析 如图，因为BD＝13BC，所以CB＝32CD，因为CE＝xCA＋yCB，所以CE＝xCA＋32yCD，因为A，D，E三点共线，所以x＋32y＝1，易知x＞0，y＞0，所以8x+3y3xy＝83y＋1x＝（83y＋1x）（x＋32y）＝8x3y＋4＋1＋3y2x≥28x3y·3y2x＋5＝9，当且仅当8x3y＝3y2x，即x＝13，y＝49时取等号，所以8x+3y3xy的最小值是9，故选D.
（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（ C ）
A.1 208平方米B.1 448平方米
C.1 568平方米D.1 698平方米
解析 设AB＝x米，x＞0，则种植花卉区域的面积S＝（x－4）（1800x－2）＝－2x－7200x＋1 808.因为x＞0，所以2x＋7200x≥214400＝240，当且仅当x＝60时，等号成立，则S≤－240＋1 808＝1 568，即当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568平方米，故选C.
思维帮·提升思维 快速解题
基本不等式链与柯西不等式的应用
角度1 求最值
例7 已知x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，则x＋y的最小值为 20 .
解析 解法一（基本不等式链法） x＋y2＝（x+2）＋（y+2）2－2≥21x+2＋1y+2－2＝216－2＝10，当且仅当x＝y＝10时取等号，故x＋y的最小值为20.
解法二（柯西不等式法） ∵x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1x+2＋1y+2）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）]－4≥
6[1x+2×（x+2）＋1y+2×（y+2）]2－4＝20，当且仅当（x＋2）2＝（y＋2）2，且1x+2＋1y+2＝16，即x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
解法三（基本不等式法） ∵x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1x+2＋1y+2）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）]－4＝6（2＋y+2x+2＋x+2y+2）－4≥6（2＋2y+2x+2·x+2y+2）－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
角度2 判断关于不等式的命题的真假
例8 [2024四川成都联考]已知正实数m，n满足m＋n＝1，则下列不等式中错误的是（ D ）
A.mn≤14B.2m2＋2n2≥1
C.m（n＋1）＜1D.m＋n≤1
解析 对于A，mn≤（m＋n2）2＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项A正确.
对于B，m＋n2≤m2＋n22⇒m2＋n2≥（m＋n）22＝12，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项B正确.
对于C，易知m，n∈（0，1），mn＜n⇒m（n＋1）＜n＋m＝1，选项C正确.
对于D，m＋n2≤m＋n2＝22⇒m＋n≤2，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项D错误.故选D.
方法技巧
1.柯西不等式：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.
训练3 （1）已知正实数x，y满足1x+3y＋12x＋y＝1，则x＋y的最小值是 3+225 .
解析 x＋y＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]（1x+3y＋24x+2y）≥15[（x+3y）×1x+3y＋（4x+2y）×24x+2y]2＝3+225，当且仅当（x＋3y）2＝12（4x＋2y）2且1x+3y＋12x＋y＝1时等号成立，即x＝4+210，y＝2+3210时，x＋y取得最小值3+225.
（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a＝3，12b＝4，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.ba＞1B.ab＞14C.a2＋b2＞12D.2a－b＞12
解析 由12a＝3，12b＝4得a＝lg123，b＝lg124，a＋b＝lg123＋lg124＝lg1212＝1，且a＝lg123＞lg121＝0，b＝lg124＞lg121＝0.
选项A：ba＝lg124lg123＝lg34＞lg33＝1，故A正确.
选项B：ab≤（a＋b2）2＝14，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以ab＜14，故B错误.
选项C：a2＋b2≥（a＋b）22＝12，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以a2＋b2＞12，故C正确.
选项D：a－b＝lg123－lg124＝lg1234＞lg12112＝－1，
所以2a－b＞2－1＝12，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
掌握基本不等式ab≤a＋b2（a，b≥0）.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
利用基本不等式求最值
2021天津T13；2020新高考卷ⅠT11；2020天津T14；2019天津T13
本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.
基本不等式的综合问题
2022新高考卷ⅡT12；2021浙江T8；2020新高考卷ⅡT12
1.基本不等式：ab≤a＋b2
（1）基本不等式成立的条件：① a＞0，b＞0 .
（2）等号成立的条件：当且仅当② a＝b 时取等号.
（3）其中，③ a＋b2 叫做a，b的算术平均数，④ ab 叫做a，b的几何平均数.基本不等式表明：正数a，b的算术平均数不小于它们的几何平均数.
注意 若a＜0，b＜0，应先转化为－a＞0，－b＞0，再运用基本不等式求解.
2.几个重要不等式
（1）a2＋b2≥2ab（a，b∈R，当且仅当a＝b时取等号）.
（2）a＋b≥2ab（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
（3）2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22（a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时取等号）.
思维拓展
基本不等式链的几何解释
如图，AB是☉O的直径，AC＝a，CB＝b，点D，F在☉O上，且DC⊥AB，FO⊥AB，连接DA，DO，DB，FC，作CE⊥DO，垂足为E.由图可知，☉O的半径等于AB2＝AC＋CB2＝a＋b2.
（1）因为DC是Rt△ADB斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝AC·CB＝ab⇒DC＝ab.由DO≥DC得a＋b2≥ab，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
（2）因为CE是Rt△DOC斜边上的高，所以由射影定理得DC2＝DE·DO，所以DE＝DC2DO＝aba＋b2＝21a＋1b.由DC≥DE得ab≥21a＋1b，当且仅当C与E重合，即a＝b时不等式取等号.
（3）因为OC＝AC－AO＝a－a＋b2＝a－b2，OF＝a＋b2，所以在Rt△COF中，由勾股定理可得CF＝OC2＋OF2＝（a－b2）2＋（a＋b2）2＝a2＋b22.由CF≥OF得a2＋b22≥a＋b2，当且仅当C与O重合，即a＝b时不等式取等号.
则由（1）（2）（3）可得不等式链：21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，当且仅当a＝b时不等式取等号.
拓展思维：类似地，我们可以由DO≥DE得a＋b2≥21a＋1b；由CF≥DE得a2＋b22≥21a＋1b；由CF≥DC得a2＋b22≥ab.
归纳总结：不等式链21a＋1b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22一共包含了6个不等式（它们取等号的条件一致，均是当且仅当a＝b时不等式取等号），对于其中的每一个不等式，我们都可以根据上图给出它的几何解释.
注意 21a＋1b，ab，a＋b2，a2＋b22分别称为正实数a，b的调和平均数、几何平均数、算术平均数、平方平均数，故基本不等式链也称为均值不等式.
3.利用基本不等式求最值
已知x＞0，y＞0.
（1）如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y取得最小值⑤ 2P （简记：积定和最小）；
（2）如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy取得最大值⑥ S24 （简记：和定积最大）.
注意 应用基本不等式求最值应满足三个条件“一正”“二定”“三相等”.
1.下列说法正确的是（ C ）
A.函数y＝x＋1x的最小值是2
B.函数f（x）＝cs x＋4csx，x∈（0，π2）的最小值为4
C.“x＞0且y＞0”是“xy＋yx≥2”的充分不必要条件
D.不等式a2＋b2≥2ab与a＋b2≥ab有相同的成立条件
2.矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是（ B ）
A.4B.92C.322D.2
解析 依题意可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2a·2b＝22·ab，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤628＝92，即矩形面积的最大值为92.故选B.
3.已知a，b为正数，则下列不等式中不成立的是（ D ）
A.ab≤a2＋b22B.ab≤（a＋b2）2C.a2＋b22≥a＋b2D.2aba＋b≥ab
解析 易知A，B成立；对于C，因为a2＋b2≥2ab，所以2（a2＋b2）≥（a＋b）2，所以a2＋b22≥（a＋b2）2，所以a2＋b22≥a＋b2，故C成立；对于D，取a＝4，b＝1，代入可知，不等式不成立，故D不成立.由以上分析可知，选D.
4.[教材改编]已知x＞2，则4x－2＋x的最小值是 6 .
解析 由x＞2知x－2＞0，则4x－2＋x＝4x－2＋（x－2）＋2≥24x－2·（x－2）＋2＝6，当且仅当4x－2＝x－2，即x＝4时取“＝”，所以4x－2＋x的最小值是6.
研透高考 明确方向
命题点1 利用基本不等式求最值
角度1 配凑法
例1 （1）[2024四川省南充第一中学模拟]已知a＞b＞0，则2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为（ D ）
A.4B.6C.3D.10
解析 ∵a＞b＞0，∴a＋b＞0，a－b＞0，∴2a＋9a＋b＋4a－b＝[（a＋b）＋9a＋b]＋[（a－b）＋4a－b]≥2（a＋b）·9a＋b＋2（a－b）·4a－b＝6＋4＝10，当且仅当a＋b＝9a＋b且a－b＝4a－b，即a＝52，b＝12时取等号，故2a＋9a＋b＋4a－b的最小值为10.故选D.
（2）[2024宁夏银川模拟]已知0＜x＜4，则x（4－x）的最大值为 2 .
解析 0＜x＜4，则0＜4－x＜4，由基本不等式可得x（4－x）≤x+4－x2＝2，当且仅当x＝4－x，即x＝2时，等号成立.故x（4－x）的最大值为2.
角度2 常数代换法
例2 （1）[2023江西省南昌一中模拟]已知正数a，b满足8a＋4b＝ab，则8a＋b的最小值为（ C ）
A.54B.56C.72D.81
解析 解法一 因为8a＋4b＝ab，所以b＝8aa－4＞0，因为a＞0，所以a＞4，所以8a＋b＝8a＋8aa－4＝8（a2－3a）a－4＝8[（a－4）＋4a－4＋5]≥8×（24＋5）＝72，当且仅当a＝6时取等号.故选C.
解法二 ∵8a＋4b＝ab，a＞0，b＞0，∴8b＋4a＝1，∴8a＋b＝（8a＋b）（8b＋4a）＝64ab＋4ba＋40≥264×4＋40＝72，当且仅当64ab＝4ba，即a＝6，b＝24时取“＝”，故选C.
（2）[山东高考]若直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），则2a＋b的最小值为8.
解析 ∵直线xa＋yb＝1（a＞0，b＞0）过点（1，2），∴1a＋2b＝1.∵a＞0，b＞0，∴2a＋b＝（2a＋b）（1a＋2b）＝4＋ba＋4ab≥4＋2ba·4ab＝8，当且仅当ba＝4ab和1a＋2b＝1同时成立，即a＝2，b＝4时等号成立，∴2a＋b的最小值为8.
角度3 消元法
例3 （1）[2024河南名校调研]若正数x，y满足xy－2x－y＝0，则x＋y2的最小值是（ C ）
A.2B.22C.4D.42
解析 因为正数x，y满足xy－2x－y＝0，所以y＝2xx－1＞0，则x－1＞0，所以x＋y2＝x＋xx－1＝x＋1x－1＋1＝x－1＋1x－1＋2≥2（x－1）·1x－1＋2＝4，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立.故选C.
（2）[江苏高考]已知5x2y2＋y4＝1（x，y∈R），则x2＋y2的最小值是 45 .
解析 解法一 由5x2y2＋y4＝1得x2＝15y2－y25，则x2＋y2＝15y2＋4y25≥215y2·4y25＝45，当且仅当15y2＝4y25，即y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
解法二 因为4＝（5x2＋y2）·4y2≤[（5x2＋y2）+4y22]2＝254（x2＋y2）2，所以x2＋y2≥45，当且仅当5x2＋y2＝4y2＝2，即x2＝310，y2＝12时取等号，故x2＋y2的最小值是45.
方法技巧
1.基本不等式使用的前提是“一正、二定、三相等”.
2.配凑、常数代换、消元的目的都是为了凑出和为定值或者积为定值的形式.
3.多次使用基本不等式时，尤其要注意等号能否同时成立.
训练1 （1）[2024辽宁省阜新市高级中学模拟]两个正实数x，y满足1x＋4y＝1，若关于m的不等式x＋y4＜m2＋3m有解，则实数m的取值范围是（ C ）
A.（－1，4）B.（－4，1）
C.（－∞，－4）∪（1，＋∞）D.（－∞，－3）∪（0，＋∞）
解析 ∵正实数x，y满足1x＋4y＝1，∴x＋y4＝（x＋y4）（1x＋4y）＝2＋4xy＋y4x≥2＋24xy·y4x＝4，当且仅当4xy＝y4x且1x＋4y＝1，即x＝2，y＝8时取等号.∵不等式x＋y4＜m2＋3m有解，∴4＜m2＋3m，解得m＞1或m＜－4，即m∈（－∞，－4）∪（1，＋∞）.故选C.
（2）[2021天津高考]若a＞0，b＞0，则1a＋ab2＋b的最小值为 22 .
解析 因为1a＋ab2＋b≥21a·ab2＋b＝2b＋b≥22，当且仅当1a＝ab2，2b＝b，即a＝b＝2时取等号，所以1a＋ab2＋b的最小值为22.
（3）[2024上海市松江二中高三上学期阶段测]设正实数x，y，z满足4x2－3xy＋y2－z＝0，则xyz的最大值为 1 .
解析 因为4x2－3xy＋y2－z＝0，所以z＝4x2－3xy＋y2，所以xyz＝xy4x2－3xy＋y2＝14xy－3+yx≤124xy·yx－3＝12×2－3＝1，当且仅当4xy＝yx，即y＝2x时等号成立，所以xyz的最大值为1.
命题点2 基本不等式的综合问题
角度1 基本不等式的综合应用
例4 （1）[2021浙江高考]已知α，β，γ是互不相同的锐角，则在sin αcs β，sin βcs γ，
sinγcsα三个值中，大于12的个数的最大值是（ C ）
A.0B.1C.2D.3
解析 因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin α，cs β，sin β，cs γ，sin γ，cs α均为正数.由基本不等式可知sin αcs β≤sin2α＋cs2β2，sin βcs γ≤sin2β＋cs2γ2，sin γcsα≤
sin2γ＋cs2α2，三式相加可得sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcsα≤32，当且仅当sin α＝
cs β，sin β＝cs γ，sin γ＝cs α，即α＝β＝γ＝π4时取等号，因为α，β，γ是互不相同的锐角，所以sin αcs β＋sin βcs γ＋sin γcsα＜32，所以sin αcs β，sin βcs γ，sin γcsα不会都大于12.若取α＝π6，β＝π3，γ＝π4，则sinπ6csπ3＝12×12＝14＜12，sinπ3csπ4＝32×22＝64＞24＝12，sinπ4csπ6＝22×32＝64＞12，所以三个值中大于12的个数的最大值为2.故选C.
（2）[多选/2022新高考卷Ⅱ]若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则（ BC ）
A.x＋y≤1B.x＋y≥－2
C.x2＋y2≤2D.x2＋y2≥1
解析 解法一 由题意得，x2＋y2＝xy＋1，所以（x＋y）2＝3xy＋1，当x＞0且y＞0时，显然有（x＋y）2＞1，即x＋y＞1，故A错误.因为x2＋y2≥2xy，所以xy＋1≥2xy，所以xy≤1，所以x2＋y2≤2，当且仅当x＝y时等号成立，故C正确.因为（x＋y）2＝x2＋y2＋2xy＝3xy＋1≤4，所以｜x＋y｜≤2，所以－2≤x＋y≤2，故B正确.因为x2＋y2＝xy＋1，所以当xy＜0时，x2＋y2＜1，故D错误.故选BC.
解法二 由x2＋y2－xy＝（x－12y）2＋34y2＝1，可设x－12y＝cs α，32y＝sin α，所以x＝sinα3＋cs α，y＝2sinα3.x＋y＝3sin α＋cs α＝2sin（α＋π6）∈[－2，2]，且当α＝π3时，x＋y可取得最大值2，故A错误，B正确.x2＋y2＝3sin2α－cs2α+43＝2sin（2α－π6）+43∈[23，2]，且当α＝－π6时，x2＋y2取得最小值23，所以C正确，D错误，故选BC.
角度2 利用基本不等式解决实际问题
例5 [江苏高考]某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x的值是 30 .
解析 一年购买600x次，则总运费与总存储费用之和为600x×6＋4x＝4（900x＋x）≥8900x×x＝240，当且仅当x＝30时取等号，故总运费与总存储费用之和最小时x的值是30.
例6 某医疗器械公司为了进一步增加市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为200万元，最大产能为100台，每生产x台，需另投入成本G（x）万元，且G（x）＝x2+120x，0
（2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？
解析 （1）由题意可得，当0＜x≤50时，W（x）＝200x－（x2＋120x）－200＝－x2＋80x－200，当50＜x≤100时，W（x）＝200x－（201x＋4900x－2 100）－200＝－（x＋4900x）＋1 900，
故W（x）＝－x2+80x－200，0
W（40）＝1 400；
当50＜x≤100时，W（x）＝－（x＋4900x）＋1 900≤－2x·4900x＋1 900＝1 760，当且仅当x＝4900x，即x＝70时等号成立，此时W（x）max＝1 760.
综上可知，该产品的年产量为70台时，公司所获利润最大，最大利润是1 760万元.
方法技巧
利用基本不等式求解实际问题时，要根据实际问题设出变量，注意变量应满足实际意义，抽象出目标函数的表达式，建立数学模型，再利用基本不等式求得函数的最值.
训练2 （1）[2024陕西省商洛市部分学校阶段测试]在△ABC中，BD＝13BC，E是线段AD上的动点（与端点不重合），设CE＝xCA＋yCB（x，y∈R），则8x+3y3xy的最小值是（ D ）
A.6B.7C.8D.9
解析 如图，因为BD＝13BC，所以CB＝32CD，因为CE＝xCA＋yCB，所以CE＝xCA＋32yCD，因为A，D，E三点共线，所以x＋32y＝1，易知x＞0，y＞0，所以8x+3y3xy＝83y＋1x＝（83y＋1x）（x＋32y）＝8x3y＋4＋1＋3y2x≥28x3y·3y2x＋5＝9，当且仅当8x3y＝3y2x，即x＝13，y＝49时取等号，所以8x+3y3xy的最小值是9，故选D.
（2）[2023湖南省部分学校联考]某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1 800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的最大面积是（ C ）
A.1 208平方米B.1 448平方米
C.1 568平方米D.1 698平方米
解析 设AB＝x米，x＞0，则种植花卉区域的面积S＝（x－4）（1800x－2）＝－2x－7200x＋1 808.因为x＞0，所以2x＋7200x≥214400＝240，当且仅当x＝60时，等号成立，则S≤－240＋1 808＝1 568，即当AB＝60米，BC＝30米时，种植花卉区域的面积取得最大值，最大值是1 568平方米，故选C.
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基本不等式链与柯西不等式的应用
角度1 求最值
例7 已知x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，则x＋y的最小值为 20 .
解析 解法一（基本不等式链法） x＋y2＝（x+2）＋（y+2）2－2≥21x+2＋1y+2－2＝216－2＝10，当且仅当x＝y＝10时取等号，故x＋y的最小值为20.
解法二（柯西不等式法） ∵x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1x+2＋1y+2）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）]－4≥
6[1x+2×（x+2）＋1y+2×（y+2）]2－4＝20，当且仅当（x＋2）2＝（y＋2）2，且1x+2＋1y+2＝16，即x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
解法三（基本不等式法） ∵x，y均为正实数，且1x+2＋1y+2＝16，∴6（1x+2＋1y+2）＝1，则
x＋y＝（x＋2）＋（y＋2）－4＝6（1x+2＋1y+2）[（x＋2）＋（y＋2）]－4＝6（2＋y+2x+2＋x+2y+2）－4≥6（2＋2y+2x+2·x+2y+2）－4＝20，当且仅当x＝y＝10时取等号，则x＋y的最小值为20.
角度2 判断关于不等式的命题的真假
例8 [2024四川成都联考]已知正实数m，n满足m＋n＝1，则下列不等式中错误的是（ D ）
A.mn≤14B.2m2＋2n2≥1
C.m（n＋1）＜1D.m＋n≤1
解析 对于A，mn≤（m＋n2）2＝14，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项A正确.
对于B，m＋n2≤m2＋n22⇒m2＋n2≥（m＋n）22＝12，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项B正确.
对于C，易知m，n∈（0，1），mn＜n⇒m（n＋1）＜n＋m＝1，选项C正确.
对于D，m＋n2≤m＋n2＝22⇒m＋n≤2，当且仅当m＝n＝12时取等号，选项D错误.故选D.
方法技巧
1.柯西不等式：（a2＋b2）（c2＋d2）≥（ac＋bd）2，当且仅当ad＝bc时，等号成立.
2.无论是均值不等式还是柯西不等式，在使用的时候都要注意“配凑”技巧，还要注意验证等号成立的条件.
训练3 （1）已知正实数x，y满足1x+3y＋12x＋y＝1，则x＋y的最小值是 3+225 .
解析 x＋y＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]＝15[（x＋3y）＋（4x＋2y）]（1x+3y＋24x+2y）≥15[（x+3y）×1x+3y＋（4x+2y）×24x+2y]2＝3+225，当且仅当（x＋3y）2＝12（4x＋2y）2且1x+3y＋12x＋y＝1时等号成立，即x＝4+210，y＝2+3210时，x＋y取得最小值3+225.
（2）[多选/2024云南省大理模拟]若12a＝3，12b＝4，则下列结论正确的是（ ACD ）
A.ba＞1B.ab＞14C.a2＋b2＞12D.2a－b＞12
解析 由12a＝3，12b＝4得a＝lg123，b＝lg124，a＋b＝lg123＋lg124＝lg1212＝1，且a＝lg123＞lg121＝0，b＝lg124＞lg121＝0.
选项A：ba＝lg124lg123＝lg34＞lg33＝1，故A正确.
选项B：ab≤（a＋b2）2＝14，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以ab＜14，故B错误.
选项C：a2＋b2≥（a＋b）22＝12，当且仅当a＝b时等号成立，因为a≠b，所以a2＋b2＞12，故C正确.
选项D：a－b＝lg123－lg124＝lg1234＞lg12112＝－1，
所以2a－b＞2－1＝12，故D正确.故选ACD.课标要求
命题点
五年考情
命题分析预测
掌握基本不等式ab≤a＋b2（a，b≥0）.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.
利用基本不等式求最值
2021天津T13；2020新高考卷ⅠT11；2020天津T14；2019天津T13
本讲是高考的热点，常作为工具与其他知识综合考查，主要考查基本不等式及其应用，如求最值、证明不等式、求参数的取值范围等，解题时要注意应用基本不等式的三个前提条件.题型以选择题、填空题为主，难度不大.预计2025年高考命题点变化不大，但应加强对应用基本不等式解决实际问题的重视.
基本不等式的综合问题
2022新高考卷ⅡT12；2021浙江T8；2020新高考卷ⅡT12
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