备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题命题点2和向量有关的最值范围问题

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题命题点2和向量有关的最值范围问题，共3页。
例4 [2023福建省宁德市模拟]在平面直角坐标系xOy中，点P为圆O：x2＋y2＝1上的任意一点，点A（2，0），B（－1，1），若OP＝λOA＋μOB，则2λ＋μ的最大值为（ C ）
A.3B.2C.5D.6
解析 由已知可设点P（cs θ，sin θ），则OP＝（cs θ，sin θ），又λOA＋μOB＝（2λ－μ，μ），OP＝λOA＋μOB，所以2λ－μ＝csθ，μ＝sinθ，即λ＝sinθ＋csθ2，μ＝sinθ，所以2λ＋μ＝2sin θ＋
cs θ＝5sin（θ＋φ），其中tan φ＝12，当sin（θ＋φ）＝1时，2λ＋μ取得最大值5.故选C.
角度2 与数量积有关的最值（范围）问题
例5 [新高考卷Ⅰ]已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则AP·AB的取值范围是（ A ）
A.（－2，6）B.（－6，2）
C.（－2，4）D.（－4，6）
解析 解法一 AP·AB＝｜AP｜｜AB｜cs∠PAB＝2｜AP｜·cs∠PAB，又｜AP｜cs∠PAB表示AP在AB方向上的投影数量，所以结合图形可知（图略），当P与C重合时投影数量最大，当P与F重合时投影数量最小.又AC·AB＝23×2×cs 30°＝6，AF·AB＝2×2×cs 120°＝－2，故当点P在正六边形ABCDEF内部运动时，AP·AB∈
（－2，6）.故选A.
解法二 以A为原点建立平面直角坐标系，如图所示，设点P（x，y），则AP＝（x，y），AB＝（2，0），AP·AB＝（x，y）·（2，0）＝2x，易知x∈（－1，3），所以AP·AB∈（－2，6）.故选A.
角度3 与模有关的最值（范围）问题
例6 [2023山西省模拟]已知平面向量a，b是单位向量，且｜a－b｜＝1，向量c满足｜c－a－b｜＝32，则｜c｜的最大值为（ A ）
A.332B.23C.3＋1D.23＋1
解析 ∵平面向量a，b是单位向量，且｜a－b｜＝1，∴a2＋b2－2a·b＝2－2a·b＝1，∴a·b＝12，＜a，b＞＝π3.设a＝（1，0），b＝（12，32），c＝（x，y），则c－a－b＝（x－32，y－32），∴（c－a－b）2＝（x－32）2＋（y－32）2＝（32）2，∴点（x，y）在以（32，32）为圆心、32为半径的圆上，
∴｜c｜＝x2＋y2的最大值表示圆上的点到原点（0，0）距离的最大值，如图所示.设圆心为O'，则｜OO'｜＝94＋34＝3，
∴｜c｜的最大值为3＋32＝332.故选A.
方法技巧
平面向量中有关最值（或范围）问题的两种求解思路
一是“形化”，即利用平面向量的几何意义先将问题转化为平面几何中的最值或范围问题，然后根据平面图形的特征直接进行判断；
二是“数化”，即利用平面向量的坐标运算，先把问题转化为代数中的函数最值或值域、不等式的解集、方程有解等问题，然后利用函数、不等式、方程的相关知识解决.
训练2 （1）如图，在平行四边形ABCD中，点E是CD的中点，点F为线段BD上的一动点，若AF＝xAE＋yDC（x＞0，y＞0），则2－3x4y2+1的最大值为（ A ）
A.12B.34C.1D.2
解析 AF＝xAE＋yDC＝x（AD＋DE）＋yAB＝x（AD＋12AB）＋yAB＝xAD＋（x2＋y）AB.因为D，F，B三点共线，所以32x＋y＝1，即2－3x＝2y，所以2－3x4y2+1＝2y4y2+1＝24y＋1y，因为x＞0，y＞0，所以4y＋1y≥24y·1y＝4，当且仅当4y＝1y，即y＝12时等号成立，此时x＝13，所以2－3x4y2+1＝24y＋1y≤24＝12.
（2）在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，M是线段AC上任意一点，则MB·MC的最小值是（ B ）
A.－12B.－1C.－2D.－4
解析 解法一 如图，由M是线段AC上任意一点，设AM＝λMC，λ∈（0，＋∞），因为AB·AC＝｜AB｜｜AC｜cs 60°＝2×3×12＝3，所以MB·MC＝（AB－AM）·MC＝（AB－λλ+1AC）·1λ+1AC＝1λ+1AB·AC－λ（λ+1）2·AC2＝－6λ－3（λ+1）2.当λ＝12时，MB·MC＝0，当λ≠12时，令6λ－3＝t，t∈（－3，0）∪（0，＋∞），则λ＝3+t6，MB·MC＝
－6λ－3（λ+1）2＝－36tt2+18t+81＝－36t＋81t+18，当t∈（0，＋∞）时，t＋81t＋18≥36（当且仅当t＝9时取等号），此时MB·MC≥－1；当t∈（－3，0）时，t＋81t＋18＜－12，此时MB·MC无最值.所以当且仅当t＝9，即λ＝2时，MB·MC有最小值，最小值为－1.故选B.
解法二 如图，以点A为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系，因为AC＝3，AB＝2，∠BAC＝60°，所以B（1，3），C（3，0），设M（x，0），0≤x≤3，则MB＝（1－x，3），MC＝（3－x，0），MB·MC＝（1－x，3）·（3－x，0）＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1，当且仅当x＝2时，MB·MC有最小值，最小值为－1.故选B.
（3）[浙江高考]已知a，b，e是平面向量，e是单位向量.若非零向量a与e的夹角为π3，向量b满足b2－4e·b＋3＝0，则｜a－b｜的最小值是（ A ）
A.3－1B.3＋1C.2D.2－3
解析 解法一 设O为坐标原点，a＝OA，b＝OB＝（x，y），e＝（1，0），由b2－4e·b＋3＝0得x2＋y2－4x＋3＝0，即（x－2）2＋y2＝1，所以点B的轨迹是以C（2，0）为圆心，1为半径的圆.因为a与e的夹角为π3，所以不妨令点A在直线y＝3x（x＞0）上，如图所示，由数形结合可知，｜a－b｜min＝｜BA｜min＝2sin π3－1＝3－1.（｜BA｜的最小值，即圆心C到OA的距离减去圆的半径）故选A.
解法二 由b2－4e·b＋3＝0得b2－4e·b＋3e2＝（b－e）·（b－3e）＝0.
设b＝OB，e＝OE，3e＝OF，所以b－e＝EB，b－3e＝FB，所以EB·FB＝0，取EF的中点为C，则点B在以C为圆心，EF为直径的圆上运动，如图.
设a＝OA，作射线OA，使得∠AOE＝π3，所以｜a－b｜＝｜（a－2e）＋（2e－b）｜≥
｜a－2e｜－｜2e－b｜＝｜CA｜－｜BC｜≥3－1.故选A.