备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题命题点1平面向量与其他知识的综合

这是一份备考2024届高考数学一轮复习好题精练第六章平面向量复数突破1平面向量中的综合问题命题点1平面向量与其他知识的综合，共3页。试卷主要包含了不妨设M，，故选D等内容，欢迎下载使用。

角度1 平面向量与平面几何
例1 在△ABC中，M是边BC的中点，N是线段BM的中点.若∠BAC＝π6，△ABC的面积为3，则AM·AN取最小值时，BC＝（ A ）
A.2B.4C.23D.43
解析 设△ABC的内角∠BAC，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，由题意知，S△ABC＝12bc·sinπ6＝3，∴bc＝43，AB·AC＝bc·csπ6＝6.∵M为BC的中点，N为BM的中点，故AM＝12AB＋12AC，AN＝34AB＋14AC，AM·AN＝（12AB＋12AC）·（34AB＋14AC）＝18b2＋38c2＋3≥218×38·bc＋3＝6，当且仅当b＝3c，即b＝23，c＝2时等号成立，AM·AN取到最小值，此时a＝b2＋c2－2bc·csπ6＝2，即BC＝2.故选A.
角度2 平面向量与三角函数
例2 [多选/2021新高考卷Ⅰ]已知O为坐标原点，点P1（cs α，sin α），P2（cs β，
－sin β），P3（cs（α＋β），sin（α＋β）），A（1，0），则（ AC ）
A.｜OP1｜＝｜OP2｜B.｜AP1｜＝｜AP2｜
C.OA·OP3＝OP1·OP2D.OA·OP1＝OP2·OP3
解析 由题可知，｜OP1｜＝cs2α＋sin2α＝1，｜OP2｜＝cs2β＋（－sinβ）2＝1，所以｜OP1｜＝｜OP2｜，故A正确；
取α＝π4，则P1（22，22），取β＝5π4，则P2（－22，22），则｜AP1｜≠｜AP2｜，故B错误；
因为OA·OP3＝cs（α＋β），OP1·OP2＝cs αcs β－sin α·sin β＝cs（α＋β），所以OA·OP3＝OP1·OP2，故C正确；
因为OA·OP1＝cs α，OP2·OP3＝cs βcs（α＋β）－sin β·sin（α＋β）＝cs（α＋2β），取α＝π4，β＝π4，（用取特殊值法进行排除）
则OA·OP1＝22，OP2·OP3＝cs3π4＝－22，所以OA·OP1≠OP2·OP3，故D错误.故选AC.
角度3 平面向量与解析几何
例3 [2023辽宁省实验中学第五次模拟]已知向量b，c和单位向量a满足｜a－b｜＝
2｜b｜，｜c－a｜＋｜c＋a｜＝4，则b·c的最大值为（ C ）
A.423B.2C.2D.52
解析 设a＝（1，0），b＝（x，y），由｜a－b｜＝2｜b｜可得（x－1）2＋y2＝4（x2＋y2），化简可得3x2＋3y2＋2x－1＝0，即（x＋13）2＋y2＝49.设c＝（x0，y0），则由｜c－a｜＋｜c＋a｜＝4，可得（x0－1）2＋y02＋（x0+1）2＋y02＝4，故点（x0，y0）的轨迹是以（－1，0），（1，0）为焦点，长轴2a＝4的椭圆，其方程为x24＋y23＝1.
设b，c夹角为θ，则b·c＝｜b｜｜c｜csθ，
如图，由圆与椭圆的性质可得，｜b｜≤23＋13＝1，｜c｜≤2，cs θ≤1，三者可同时取等号，故当b，c同向且方向与x轴正方向相反时，b·c取得最大值2.
故选C.
方法技巧
1.解平面向量与平面几何综合问题的步骤
（1）设出向量或将某些向量用其他向量进行表示，将几何问题转化为向量问题；
（2）利用向量之间的计算解决几何图形上的长度、夹角等问题.
2.平面向量与三角函数综合问题的解题思路
运用向量共线或垂直的坐标表示，向量的有关运算等，得到三角函数的关系式，然后求解.
3.平面向量与解析几何综合问题的解题思路
利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，将条件转化求解.
训练1 （1）[全国卷Ⅰ]设抛物线C：y2＝4x的焦点为F，过点（－2，0）且斜率为23的直线与C交于M，N两点，则FM·FN＝（ D ）
A.5B.6C.7D.8
解析 过点（－2，0）且斜率为23的直线方程为y＝23（x＋2），由y＝23（x+2),y2=4x，消元整理得x2－5x＋4＝0，解得x＝1或x＝4，所以x=1，y=2或x=4，y=4.不妨设M（1，2），
N（4，4），易知F（1，0），所以FM＝（0，2），FN＝（3，4），所以FM·FN＝8.故选D.
（2）[多选/2023广东汕头二模]在△ABC中，已知AB＝2，AC＝5，∠BAC＝60°，BC，AC边上的中线AM，BN相交于点P，下列结论正确的是（ ABD ）
A.AM＝392B.BN＝212
C.cs∠MPN＝2121D.PA＋PB＋PC＝0
解析 因为M是BC的中点，所以AM＝12（AB＋AC）.
对于A，AM＝｜AM｜＝12 （AB＋AC）2＝12 AB2＋AC2+2AB·AC＝392，故A正确.
对于B，BN＝｜BN｜＝（12AC－AB）2＝14AC2＋AB2－AB·AC＝212，故B正确.
对于C，AM·BN＝12（AB＋AC）·（12AC－AB）＝14｜AC｜2－14AB·AC－12｜AB｜2＝3，cs∠MPN＝cs＜AM，BN＞＝AM·BN｜AM||BN｜＝49191，故C错误.
对于D，由题意知，P为△ABC的重心，则PA＋PB＋PC＝－13（AB＋AC）－13AC＋23AB＋23AC－13AB＝0，故D正确.
故选ABD.