备考2024届高考数学一轮复习分层练习第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系

这是一份备考2024届高考数学一轮复习分层练习第七章立体几何与空间向量第5讲空间向量及空间位置关系，共6页。试卷主要包含了已知直线l1的一个方向向量a＝，已知a＝等内容，欢迎下载使用。
1.以下各选项中的三个向量，不能构成空间基底的是（ A ）
A.a＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0）
B.a＝（1，0，0），b＝（0，1，0），c＝（0，0，2）
C.a＝（1，0，1），b＝（0，1，1），c＝（2，1，2）
D.a＝（1，1，1），b＝（0，1，0），c＝（1，0，2）
解析 若空间三个向量a，b，c能构成空间的一个基底，则向量a，b，c不共面，对于选项A，因为a＝（1，0，0），b＝（0，2，0），c＝（12，－2，0），则c＝12a－22b，即向量a，b，c共面，故选项A中的三个向量不能构成空间基底.选项B，C，D中的三个向量均不共面，即都能构成空间基底.
2.已知直线l1的一个方向向量a＝（2，4，x），直线l2的一个方向向量b＝（2，y，2），若｜a｜＝6，且l1⊥l2，则x＋y的值是（ A ）
A.－3或1B.3或－1
C.－3D.1
解析 ∵｜a｜＝22＋42＋x2＝6，∴x＝±4.∵l1⊥l2，∴a⊥b，∴a·b＝2×2＋4y＋2x＝0，∴y＝－1－12x.∴当x＝4时，y＝－3；当x＝－4时，y＝1.∴x＋y＝－3或x＋y＝1.
3.已知a＝（1，2，－y），b＝（x，1，2），且（a＋2b）∥（2a－b），则（ B ）
A.x＝13，y＝1B.x＝12，y＝－4
C.x＝2，y＝－14D.x＝1，y＝－1
解析 由题意知，a＋2b＝（2x＋1，4，4－y），2a－b＝（2－x，3，－2y－2）.∵（a＋2b）∥（2a－b），∴存在实数λ，使a＋2b＝λ（2a－b），
∴2x+1=λ（2－x),4=3λ，4－y＝λ（－2y－2),解得λ＝43，x＝12，y＝－4.
4.[多选/2024广东佛山一中校考]下列关于空间向量的命题中，正确的有（ BD ）
A.直线l的一个方向向量是a＝（0，3，0），平面α的一个法向量是u＝（0，－5，0），则l∥α
B.若a，b，c可构成空间的一个基底，则向量a＋b，b＋c，c＋a也可构成空间的一个基底
C.若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则有a∥c
D.若OA，OB，OC可构成空间的一个基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，则A，B，C，D四点共面
解析 对于A，直线l的一个方向向量为a＝（0，3，0），平面α的一个法向量是u＝（0，－5，0），此时a＝－35u，所以l⊥α，故A错误；
对于B，因为a，b，c可构成空间的一个基底，所以对于空间中的任意一个向量m，存在唯一的有序实数组（x，y，z），使得m＝xa＋yb＋zc＝x＋y－z2（a＋b）＋y＋z－x2·（b＋c）＋x＋z－y2（a＋c），由空间向量的基本定理可知，向量a＋b，b＋c，c＋a也可构成空间的一个基底，故B正确；
对于C，若非零向量a，b，c满足a⊥b，b⊥c，则a与c关系不定，有可能平行，故C错误；
对于D，若OA，OB，OC可构成空间的一个基底，且OD＝13OA＋13OB＋13OC，13＋13＋13＝1，易知A，B，C，D四点共面，故D正确.故选BD.
5.[2024浙江台州模拟]如图，三棱锥P－ABC中，PA⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB＝BC＝2，AP＝a.若D是棱PC上的点，满足PD＝13PC，且AD⊥PB，则a＝ 2 .
解析 因为PA⊥平面ABC，AB，BC⊂平面ABC，所以PA⊥AB，PA⊥BC，又AB⊥BC，故PA，AB，BC两两垂直，以A为坐标原点，AB，AP所在直线分别为y轴，z轴，平行于BC的直线为x轴，建立如图所示的空间直角坐标系，故A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，2，0），P（0，0，a），因为PD＝13PC，所以D（23，23，23a），因为AD⊥PB，所以AD·PB＝（23，23，23a）·（0，2，－a）＝43－23a2＝0，解得a＝2.
6.[2024辽宁省部分名校联考]已知正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，P是空间内的动点，且｜PB＋PD1｜＝23，则AP·PB的最大值为（ B ）
A.－8B.－4＋26C.13D.1
解析 如图，连接BD1，取BD1的中点M，连接PM，则PB＋PD1＝2PM，则｜PB＋PD1｜＝｜2PM｜＝23，即｜PM｜＝3，故动点P的轨迹为以M为球心，3为半径的球.由正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，可知正方体ABCD－A1B1C1D1外接球的半径为3，故动点P的轨迹为正方体ABCD－A1B1C1D1的外接球.
取AB的中点N，连接PN，MN，则AP·PB＝－（PN＋NA）·（PN＋NB）＝－（PN＋NA）·（PN－NA）＝NA2－PN2＝1－PN2.
由题可知，｜MN｜＝2，则3－2≤｜PN｜≤3＋2，5－26≤｜PN｜2≤5＋26，则－4－26≤1－PN2≤－4＋26.
所以AP·PB的最大值为－4＋26，故选B.
7.[多选/2024浙江联考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2，点M，N分别在棱AB和BB1上运动（不含端点），若D1M⊥MN，则下列命题正确的是（ AD ）
A.MN⊥A1M
B.MN⊥平面D1MC
C.线段BN长度的最大值为1
D.三棱锥D1－A1C1M体积不变
解析 如图，以D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系，则A1（2，0，2），D1（0，0，2），设M（2，a，0），N（2，2，b），a，b∈（0，2），则D1M＝（2，a，－2），MN＝（0，2－a，b），又D1M⊥MN，所以D1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，得b＝a（2－a）2.
对于A，A1M＝（0，a，－2），所以A1M·MN＝a（2－a）－2b＝0，故A1M⊥MN，故A正确；
对于B，C（0，2，0），MC＝（－2，2－a，0），MN·MC＝（2－a）2≠0，所以MN与MC不垂直，则MN不垂直于平面D1MC，故B错误；
对于C，B（2，2，0），｜BN｜＝b＝a（2－a）2＝－12（a－1）2＋12，a∈（0，2），所以当a＝1时，｜BN｜取得最大值12，故C错误；
对于D，VD1－A1C1M＝VM－A1C1D1＝13×SA1C1D1×AA1＝13×12×2×2×2＝43，故D正确.故选AD.
8.[多选/2024广东清远模拟]如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为2，点O为底面ABCD的中心，点P为侧面BB1C1C内（不含边界）的动点，则（ AC ）
A.D1O⊥AC
B.存在点P，使得D1O∥B1P
C.三棱锥A－D1DP的体积为43
D.若D1O⊥PO，则C1P的最小值为85
解析 以点D为坐标原点，DA，DC，DD1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，则A（2，0，0），C（0，2，0），D（0，0，0），D1（0，0，2），B1（2，2，2），C1（0，2，2），O（1，1，0），设点P（x，2，z），其中0＜x＜2，0＜z＜2.
对于A选项，AC＝（－2，2，0），D1O＝（1，1，－2），则AC·D1O＝－2＋2＝0，所以D1O⊥AC，故A正确；
对于B选项，B1P＝（x－2，0，z－2），D1O＝（1，1，－2），若B1P∥D1O，则x－21＝01＝z－2－2，解得x＝z＝2，不符合题意，所以不存在点P，使得B1P∥D1O，故B错误；
对于C选项，S△ADD1＝12×22＝2，点P到平面ADD1的距离为2，所以VA－DD1P＝VP－ADD1＝13×2×2＝43，故C正确；
对于D选项，OP＝（x－1，1，z），若D1O⊥PO，则D1O·OP＝x－1＋1－2z＝x－2z＝0，可得x＝2z，
由0