备考2024届高考数学一轮复习分层练习第七章立体几何与空间向量第2讲空间点直线平面之间的位置关系

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1.[2024广东省深圳市第二高级中学模拟]已知平面α，β，γ两两垂直，直线a，b，c满足a⊂α，b⊂β，c⊂γ，则直线a，b，c不可能满足以下哪种关系（ B ）
A.两两垂直B.两两平行
C.两两相交D.两两异面
解析 如图1，可得a，b，c可能两两垂直；如图2，可得a，b，c可能两两相交；如图3，可得a，b，c可能两两异面.故选B.
图1图2图3
2.[2024河南焦作模拟]已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.若直线l满足l⊥m，l⊥n，l⊄α，l⊄β，则（ B ）
A.α∥β，l∥α
B.α与β相交，且交线平行于l
C.α⊥β，l⊥β
D.α与β相交，且交线垂直于l
解析 若α∥β，则由m⊥平面α，n⊥平面β，可得m∥n，这与m，n是异面直线矛盾，故α与β相交.
设α∩β＝a，过空间内一点P，作m'∥m，n'∥n，m'与n'相交，
设m'与n'确定的平面为γ.
因为l⊥m，l⊥n，所以l⊥m'，l⊥n'，故l⊥γ，
因为m⊥α，n⊥β，所以m'⊥α，n'⊥β，所以a⊥m'，a⊥n'，所以a⊥γ，
又因为l⊄α，l⊄β，所以l与a不重合，所以l∥a.故选B.
3.[多选/2024贵州省遵义市南白中学联考]已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是（ BC ）
A.若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线
B.若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线
C.若α∥β，a⊂α，则a∥β
D.若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交
解析
4.[多选/2023广东省广州市模拟]已知直线l与平面α相交于点P，则下列结论正确的是（ ABD ）
A.α内不存在直线与l平行
B.α内有无数条直线与l垂直
C.α内所有直线与l是异面直线
D.至少存在一个过l且与α垂直的平面
解析 直线l与平面α相交于点P，故α内不存在直线与l平行，A正确.若l⊥α，则α内的所有直线都与l垂直；若l与α不垂直，设与l在平面α内的射影垂直的直线为n，则平面α内与n平行的直线都与l垂直，有无数条，B正确.平面α内过点P的直线与l相交，C错误.若l⊥α，则过l的任一平面都与α垂直；若l与α不垂直，取l上异于点P的一点Q，过Q作QM⊥平面α于点M，则平面PQM⊥α，D正确.故选ABD.
5.[多选/2023高三名校模拟]下列关于点、线、面的位置关系的命题中不正确的是（ ABC ）
A.若两个平面有三个公共点，则它们一定重合
B.空间中，相交于同一点的三条直线在同一平面内
C.两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b是异面直线
D.正方体ABCD－A1B1C1D1中，点O是B1D1的中点，直线A1C交平面AB1D1于点M，则A，M，O三点共线，且A，M，O，C四点共面
解析 如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，A，D，E三个点在一条直线上，平面ABCD与平面ADD1A1相交，不重合，故A不正确；从点A出发的三条棱AA1，AB，AD不在同一平面内，故B不正确；若a∥b，则a，b确定一个平面，且a，b分别与直线c，d的交点都在此平面内，则c，d共面，与c，d是异面直线矛盾，所以直线a，b可能是异面直线，也可能是相交直线（c，d中的一条直线过a，b的交点），故C不正确；如图，平面AA1C∩平面AB1D1＝AO，因为直线A1C交平面AB1D1于点M，所以M∈AO，即A，M，O三点共线，因为直线和直线外一点可以确定一个平面，所以A，O，C，M四点共面，故D正确.故选ABC.
6.如图，点N为正方形ABCD的中心，△ECD为正三角形，平面ECD⊥平面ABCD，M是线段ED的中点，则（ B ）
A.BM＝EN，且直线BM，EN是相交直线
B.BM≠EN，且直线BM，EN是相交直线
C.BM＝EN，且直线BM，EN是异面直线
D.BM≠EN，且直线BM，EN是异面直线
解析 设CD的中点为O，连接ON，EO，因为△ECD为正三角形，所以EO⊥CD，又平面ECD⊥平面ABCD，平面ECD∩平面ABCD＝CD，所以EO⊥平面ABCD.设正方形ABCD的边长为2，则EO＝3，ON＝1，所以EN2＝EO2＋ON2＝4，得EN＝2.过点M作CD的垂线，垂足为P，连接BP，则MP＝32，CP＝32，所以BM2＝MP2＋BP2＝（32）2＋（32）2＋22＝7，得BM＝7，所以BM≠EN.连接BD，BE，因为四边形ABCD为正方形，所以N为BD的中点，即EN，MB均在平面BDE内，所以直线BM，EN是相交直线.故选B.
7.[多选/2024云南昆明高三校考]如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G，H分别是棱CC1，BC，CD，B1C1的中点，则下列结论正确的是（ AC ）
A.AF∥平面A1DE
B.AG∥平面A1DE
C.A1，D，E，H四点共面
D.A1，D，E，C1四点共面
解析 如图1，取A1D的中点M，连接AM，EF，ME，BC1，则EF∥BC1，EF＝12BC1，AM∥BC1，AM＝12BC1，所以EF∥AM，EF＝AM，则四边形AFEM为平行四边形，因为AF⊄平面A1DE，ME⊂平面A1DE，所以AF∥平面A1DE，故A正确.
图1图2图3
如图2，取D1C1的中点N，连接NG，A1N，延长DE与D1C1交于点P，连接A1P，因为A1A∥NG，A1A＝NG，所以四边形A1AGN是平行四边形，可得A1N∥AG，因为A1∈平面A1DP，N∉平面A1DP，所以直线A1N与平面A1DP相交，所以AG与平面A1DE相交，故B错误.
如图3，连接EH，B1C，则EH∥B1C，A1D∥B1C，所以EH∥A1D，可得A1，D，E，H四点共面，故C正确.
若A1，D，E，C1四点共面，则A1D∥C1E，显然不成立，所以D错误.
故选AC.
8.[2023佛山市模拟]上海海关大楼的顶部为逐级收拢的四面钟楼，如图，四个大钟分布在正四棱柱的四个侧面，则每天0点至12点（包含0点，不含12点）相邻两面钟上的时针相互垂直的次数为（ D ）
A.0B.12C.4D.2
解析 如图，根据题意，将两个相邻侧面上的时钟置于一个正方体的两个相邻侧面上，当时间在0点时，图中两面钟的时针分别位于线段OA，O'G上，由正方体的性质知它们是相互平行的；当时间在3点时，图中两面钟的时针分别位于线段OD，O'F上，它们是相互垂直的；当时间在6点时，图中两面钟的时针分别位于线段OC，O'E上，它们是相互平行的；当时间在9点时，图中两面钟的时针分别位于线段OB，O'D上，它们是相互垂直的；当时间为其他时间时，易知两面钟的时针所在直线异面，但不垂直.综上，每天0点到12点（包含0点，不含12点）相邻两面钟上的时针能够相互垂直2次，故选D.选项
正误
原因
A
✕
若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面.
B
√
若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行.
C
√
若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a⊂α，所以a∥β.
D
✕
若α∩β＝b，a⊂α，则当a∥b时，a∥β.