搜索
    上传资料 赚现金
    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版)
    立即下载
    加入资料篮
    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版)01
    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版)02
    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版)03
    还剩81页未读, 继续阅读
    下载需要10学贝 1学贝=0.1元
    使用下载券免费下载
    加入资料篮
    立即下载

    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版)

    展开
    这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(高频精讲)(原卷版+解析版),共84页。试卷主要包含了根式的概念及性质,分数指数幂,指数幂的运算性质,指数函数及其性质等内容,欢迎下载使用。

    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13954" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc13954 \h 2
    \l "_Tc31885" 第二部分:高考真题回归 PAGEREF _Tc31885 \h 3
    \l "_Tc11657" 第三部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11657 \h 3
    \l "_Tc27114" 高频考点一:指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc27114 \h 3
    \l "_Tc31929" 高频考点二:指数函数的概念 PAGEREF _Tc31929 \h 4
    \l "_Tc2726" 高频考点三:指数函数的图象 PAGEREF _Tc2726 \h 5
    \l "_Tc29504" 角度1:判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc29504 \h 5
    \l "_Tc4611" 角度2:根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc4611 \h 9
    \l "_Tc15611" 角度3:指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc15611 \h 10
    \l "_Tc13180" 角度4:指数函数图象应用 PAGEREF _Tc13180 \h 11
    \l "_Tc551" 高频考点四:指数(型)函数定义域 PAGEREF _Tc551 \h 12
    \l "_Tc30285" 高频考点五:指数(型)函数的值域 PAGEREF _Tc30285 \h 13
    \l "_Tc21850" 角度1:指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc21850 \h 13
    \l "_Tc12778" 角度2:指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc12778 \h 14
    \l "_Tc27266" 角度3:根据指数函数值域(最值)求参数 PAGEREF _Tc27266 \h 15
    \l "_Tc25490" 高频考点六:指数函数单调性 PAGEREF _Tc25490 \h 15
    \l "_Tc9929" 角度1:由指数(型)函数单调性求参数 PAGEREF _Tc9929 \h 15
    \l "_Tc19749" 角度2:判断指数型复合函数单调性 PAGEREF _Tc19749 \h 16
    \l "_Tc22654" 角度3:比较大小 PAGEREF _Tc22654 \h 17
    \l "_Tc4058" 角度4:根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc4058 \h 18
    \l "_Tc8064" 高频考点七:指数函数的最值 PAGEREF _Tc8064 \h 19
    \l "_Tc18835" 角度1:求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc18835 \h 19
    \l "_Tc4535" 角度2:根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc4535 \h 20
    \l "_Tc12767" 角度3:含参指数(型)函数最值 PAGEREF _Tc12767 \h 21
    \l "_Tc17569" 第四部分:高考新题型 PAGEREF _Tc17569 \h 23
    \l "_Tc23521" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23521 \h 23
    \l "_Tc27645" ②结构不良试题 PAGEREF _Tc27645 \h 23
    \l "_Tc11457" 第五部分:数学思想方法 PAGEREF _Tc11457 \h 24
    \l "_Tc32539" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc32539 \h 24
    \l "_Tc21072" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21072 \h 25
    温馨提醒:浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
    第一部分:知识点必背
    1、根式的概念及性质
    (1)概念:式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.
    (2)性质:
    ①(且);
    ②当为奇数时,;当为偶数时,
    2、分数指数幂
    ①正数的正分数指数幂的意义是(,,且);
    ②正数的负分数指数幂的意义是(,,且);
    ③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
    3、指数幂的运算性质
    ①;
    ②;
    ③.
    4、指数函数及其性质
    (1)指数函数的概念
    函数(,且)叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是.
    (2)指数函数的图象和性质
    第二部分:高考真题回归
    1.(2022·全国·统考高考真题)已知,则( )
    A.B.C.D.
    2.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有( )
    A.B.
    C.D.
    第三部分:高频考点一遍过
    高频考点一:指数与指数幂的运算
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若,则______
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)=____________
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量(mg/L)与时间的关系为(为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的( )
    A.51.2%B.48.8%C.52%D.48%
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务,已知每期利率为p,若存m期,本利和为5.4万元,若存n期,本利和为5.5万元,若存期,则利息为( )
    A.5.94万元B.1.18万元C.6.18万元D.0.94万元
    2.(2023·全国·高三专题练习)已知,则=__________
    3.(2023·全国·高三专题练习)若,=______________
    高频考点二:指数函数的概念
    典型例题
    例题1.(2023·河北·高三学业考试)已知函数(,且)的图象经过点,则( )
    A.B.2C.D.4a的值为
    例题2.(2023·全国·高一专题练习)若:函数是指数函数,,则是的( )条件
    A.充要条件B.充分不必要
    C.必要不充分D.既不充分也不必要
    例题3.(2023·高一课时练习)已知函数是指数函数,求实数的值.
    练透核心考点
    1.(2023秋·云南大理·高一统考期末)已知函数(a>0且)的图象过点(2,4),(4,2),则( )
    A.B.=2C.=3D.=6
    2.(2023·高一课时练习)下列函数中,属于指数函数的是_________.(填序号)
    ①﹔②;③;④(a为常数,,);⑤;⑥﹔⑦.
    (2023·高一课时练习)当时,指数函数的值总大于1,则实数的取值范围是______.
    高频考点三:指数函数的图象
    角度1:判断指数型函数的图象
    典型例题
    例题1.(2023秋·陕西安康·高一校联考期末)要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
    A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位
    C.向左平移个单位D.向右平移个单位
    例题2.(2023秋·河南安阳·高一统考期末)已知函数是指数函数,函数,则与在同一坐标系中的图像可能为( )
    A.B.
    C.D.
    例题3.(2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)当时,函数与函数在同一坐标系内的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    例题4.(2023·全国·高一专题练习)函数的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数(且)与函数的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    3.(2023·全国·高一专题练习)已知函数(其中)的图象如图所示,则函数的图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    角度2:根据指数型函数图象求参数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像如图所示,其中为常数,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,C.,D.,
    例题2.(2023秋·上海浦东新·高一校考期末)已知函数,若,则的取值范围是______
    例题3.(2023·高一课时练习)若直线与函数(,且)的图象有两个公共点,则可以是( )
    A.2B.C.D.
    例题4 .(2022·高一课时练习)函数(,且)的图像经过第二、三、四象限,则( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图象如图所示,则( )
    A.,B.,C.,D.,
    2.(2022·高一课时练习)若函数的图象不经过第二象限,则实数的取值范围是( )
    A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]
    C.(3,+∞)D.[3,+∞)
    3.(2022秋·上海嘉定·高一校考期中)函数的图象如图所示,其中,为常数,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    4.(多选)(2022·高一单元测试)已知函数且,的图象不经过第三象限,则的范围可能为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    角度3:指数型函数图象过定点问题
    典型例题
    例题1.(2023秋·山东烟台·高一统考期末)函数(且)的图象过定点( )
    A.(0,-2)B.(0,-1)C.(1,-2)D.(1,-1)
    例题2.(2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末)函数且)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是______.
    例题3.(2023·山东济宁·统考一模)已知函数且的图象过定点,且点在直线上,则的最小值是______.
    练透核心考点
    1.(2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试)函数(,且)的图象必经过点的坐标________.
    2.(2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末)已知且,函数的图像恒经过一个定点,此定点的坐标为______.
    3.(2023秋·广东广州·高一统考期末)函数的图象恒过定点P,则点P的坐标是_____;若点P在直线上,则的最小值为______.
    角度4:指数函数图象应用
    典型例题
    例题1.(2023·高三课时练习)已知实数,满足等式,下列五个关系式:
    ①;②;③;④;⑤.
    其中不可能成立的关系式有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    例题2.(多选)(2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末)函数(且),图像经过2,3,4象限,则下列结论正确的是( )
    B.C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的零点个数为( ).
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·广东广州·高二校考期末)已知函数,,当时,取得最大值,则函数的大致图象为( )
    A.B.
    C.D.
    高频考点四:指数(型)函数定义域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试)函数的定义域是_______.
    例题2.(2023·高一课时练习)函数的定义域为______.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知的定义域为,则实数的取值范围是______.
    练透核心考点
    1.(2023秋·北京丰台·高三统考期末)函数的定义域是___________.
    2.(2023·高一课时练习)已知函数的定义域为,则函数的定义域为_______
    高频考点五:指数(型)函数的值域
    角度1:指数函数在区间上的值域
    典型例题
    例题1.(2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试)当时,函数的值域是( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数在的最大值是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·高一课时练习)当时,函数的值域为______.
    练透核心考点
    1.(2022秋·广西·高二统考学业考试)函数的最大值为( )
    A.B.C.D.4
    2.(2022·全国·高三专题练习)函数,的值域为___________.
    3.(2023春·上海青浦·高一统考开学考试)函数的值域为________.
    角度2:指数型复合函数值域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习)函数的值域为( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023·高三课时练习)函数的值域为______.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为________.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则其值域为__________.
    练透核心考点
    1.(多选)(2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试)已知函数,则下列说法正确的是( )
    A.定义域为B.值域为
    C.在上单调递增D.在上单调递减
    2.(2023·高一单元测试)已知满足,求函数的最大值及最小值.
    3.(2023春·北京·高一校考开学考试)函数的对称轴方程为___________,函数值域为___________.
    角度3:根据指数函数值域(最值)求参数
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)函数且的值域是,则实数 ____.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为______.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(,)的最大值为,则实数_________.
    练透核心考点
    1.(2023·高三课时练习)若函数的值域为,试确定的取值范围______.
    2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是_____.
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若的值域是,求的值.
    高频考点六:指数函数单调性
    角度1:由指数(型)函数单调性求参数
    典型例题
    例题1.(2023秋·海南儋州·高一校考期末)下列各条件中,为“函数是上的减函数”的充要条件的是( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为常数).若在区间上是增函数,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·河北·高三学业考试)函数 在区间上是单调减函数,则实数的取值范围是( )
    B.C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知指数函数(,且),且,则的取值范围( )
    A.B.C.D.
    2.(2023秋·河北邢台·高一宁晋中学校考期末)若函数在R上是减函数,则实数a的取值范围( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)若函数 在 上单调递减,则k的取值范围为____________.
    角度2:判断指数型复合函数单调性
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)函数的单调递减区间为( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数的单调递减区间是
    A.B.C.D.
    例题3.(2023秋·广东·高一统考期末)函数的单调递增区间为__________.
    练透核心考点
    1.(2023秋·四川眉山·高一校考期末)函数的减区间是________;
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数的单调减区间是_______.
    3.(2023·高一课时练习)函数的单调递减区间是_________.
    角度3:比较大小
    典型例题
    例题1.(2023春·海南·高一统考学业考试)已知,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    例题3.(2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试)已知,则( )
    B.C.D.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高一专题练习)下列大小关系不正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试)设,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    3.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    角度4:根据指数函数单调性解不等式
    典型例题
    例题1.(2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末)若,则实数的取值范围是( ).
    A.B.C.D.
    例题2.(2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校考期末)不等式的解集是
    A.B.C.D.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    B.C.D.
    练透核心考点
    1.(2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试)已知关于x的不等式 ,则该不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    2.(2023秋·湖南邵阳·高一统考期末)若,则有( )
    A.B.C.D.
    3.(2021秋·福建三明·高一校联考期中)若,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    4.(2019秋·甘肃张掖·高一张掖市第二中学校考阶段练习)不等式恒成立,则a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    高频考点七:指数函数的最值
    角度1:求已知指数型函数的值域
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高一专题练习)若函数(且)在上的最大值为4,最小值为,实数的值为( )
    A.B.C.D.或
    例题2.(2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习)已知函数,则其值域为___________.
    例题3.(2023秋·四川眉山·高一校考期末)已知函数的定义域是,设,
    (1)求的定义域;
    (2)求函数的最大值和最小值.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值为( )
    A.B.C.D.
    2.(2023·全国·高三专题练习)若函数恒过点,则函数在上的最小值是_____.
    3.(2023·高一课时练习)已知函数
    (1)作出其图象;
    (2)由图象指出单调区间;
    (3)由图象指出当取何值时函数有最小值,最小值为多少?
    角度2:根据指数函数最值求参数
    典型例题
    例题1.(2023·河北·高二统考学业考试)已知函数.若函数的最大值为1,则实数( )
    A.B.C.D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)如果函数(,)在区间上的最大值是14,则的值为( )
    A.3B.C.-5D.3或
    例题3.(2022秋·广东茂名·高一校联考期末)设函数是定义域为的偶函数,是定义域为的奇函数,且.
    (1)求与的解析式;
    (2)若在上的最小值为,求的值.
    练透核心考点
    1.(2023秋·甘肃兰州·高一校考期末)若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2,则( )
    A.B.1C.或2D.2
    2.(2023·高一课时练习)已知,且,若函数在区间上的最大值为10,则________.
    3.(2022秋·云南楚雄·高三统考期末)已知奇函数在上的最大值为,则__________.
    角度3:含参指数(型)函数最值
    典型例题
    例题1.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末)已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R,且满足,若函数(,且).
    (1)求的解析式;
    (2)求在R上的最大值.
    例题2.(2022春·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习)设函数(且)是定义域为的奇函数.
    (1)求实数的值;
    (2)若,,且在上的最小值为1,求实数的值.
    练透核心考点
    1.(2022秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,求函数的零点;
    (2)若,求在区间上的最大值.
    2.(2022秋·广西桂林·高一校考期中)已知函数在区间上有最大值和最小值.
    (1)求,的值;
    (2)若不等式在时有解,求实数的取值范围.
    3.(2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习)已知函数
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)求函数在上的最小值.

    第四部分:高考新题型
    ①开放性试题
    1.(2023春·山东青岛·高一统考开学考试)写出一个同时具有下列性质①②的函数______.
    ①;②在上为增函数.
    2.(2023·福建·统考一模)写出一个同时满足下列三个性质的函数__________.
    ①若,则;②;③在上单调递减.
    3.(2023秋·广东佛山·高一统考期末)写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式:______.
    ①定义域为;②值域为;③是奇函数.
    ②结构不良试题
    1.(2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个,补充在下面的问题(2)中.若问题(2)中的实数存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.已知全集,集合是不等式的解集,集合是函数在上的值域.
    (1)求集合;
    (2)若是成立的______条件,判断实数是否存在.
    2.(2023·高一课时练习)在①;②函数为偶函数:③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中,并解答下面的问题.
    问题:已知函数,,且______.
    (1)求函数的解析式;
    (2)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    第五部分:数学思想方法
    ①数形结合的思想
    1.(2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习)已知,则是的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数,若的值域是,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    3.(多选)(2023秋·河南郑州·高一统考期末)已知实数,满足等式,下列式子可以成立的是( )
    A.B.C.D.
    ②分类讨论的思想
    1.(2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试)已知函数,,与函数,,对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围是__________.
    2.(2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,利用单调性定义证明在上单调递增;
    (2)若存在,使,求实数的取值范围.
    3.(2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试)已知函数且.
    (1)判断的奇偶性,并证明你的结论.
    (2)当时,函数的值域为,求.底数
    图象
    性质
    定义域为,值域为
    图象过定点
    当时,恒有;
    当时,恒有
    当时,恒有;
    当时,恒有
    在定义域上为增函数
    在定义域上为减函数
    注意
    指数函数(,且)的图象和性质与的取值有关,应分与来研究
    第05讲 指数与指数函数 (精讲)
    目录
    TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc13954" 第一部分:知识点必背 PAGEREF _Tc13954 \h 2
    \l "_Tc31885" 第二部分:高考真题回归 PAGEREF _Tc31885 \h 3
    \l "_Tc11657" 第三部分:高频考点一遍过 PAGEREF _Tc11657 \h 4
    \l "_Tc27114" 高频考点一:指数与指数幂的运算 PAGEREF _Tc27114 \h 4
    \l "_Tc31929" 高频考点二:指数函数的概念 PAGEREF _Tc31929 \h 6
    \l "_Tc2726" 高频考点三:指数函数的图象 PAGEREF _Tc2726 \h 7
    \l "_Tc29504" 角度1:判断指数型函数的图象 PAGEREF _Tc29504 \h 7
    \l "_Tc4611" 角度2:根据指数型函数图象求参数 PAGEREF _Tc4611 \h 12
    \l "_Tc15611" 角度3:指数型函数图象过定点问题 PAGEREF _Tc15611 \h 17
    \l "_Tc13180" 角度4:指数函数图象应用 PAGEREF _Tc13180 \h 19
    \l "_Tc551" 高频考点四:指数(型)函数定义域 PAGEREF _Tc551 \h 22
    \l "_Tc30285" 高频考点五:指数(型)函数的值域 PAGEREF _Tc30285 \h 23
    \l "_Tc21850" 角度1:指数函数在区间上的值域 PAGEREF _Tc21850 \h 23
    \l "_Tc12778" 角度2:指数型复合函数值域 PAGEREF _Tc12778 \h 25
    \l "_Tc27266" 角度3:根据指数函数值域(最值)求参数 PAGEREF _Tc27266 \h 27
    \l "_Tc25490" 高频考点六:指数函数单调性 PAGEREF _Tc25490 \h 30
    \l "_Tc9929" 角度1:由指数(型)函数单调性求参数 PAGEREF _Tc9929 \h 30
    \l "_Tc19749" 角度2:判断指数型复合函数单调性 PAGEREF _Tc19749 \h 32
    \l "_Tc22654" 角度3:比较大小 PAGEREF _Tc22654 \h 34
    \l "_Tc4058" 角度4:根据指数函数单调性解不等式 PAGEREF _Tc4058 \h 37
    \l "_Tc8064" 高频考点七:指数函数的最值 PAGEREF _Tc8064 \h 39
    \l "_Tc18835" 角度1:求已知指数型函数的值域 PAGEREF _Tc18835 \h 39
    \l "_Tc4535" 角度2:根据指数函数最值求参数 PAGEREF _Tc4535 \h 42
    \l "_Tc12767" 角度3:含参指数(型)函数最值 PAGEREF _Tc12767 \h 45
    \l "_Tc17569" 第四部分:高考新题型 PAGEREF _Tc17569 \h 49
    \l "_Tc23521" ①开放性试题 PAGEREF _Tc23521 \h 49
    \l "_Tc27645" ②结构不良试题 PAGEREF _Tc27645 \h 50
    \l "_Tc11457" 第五部分:数学思想方法 PAGEREF _Tc11457 \h 51
    \l "_Tc32539" ①数形结合的思想 PAGEREF _Tc32539 \h 51
    \l "_Tc21072" ②分类讨论的思想 PAGEREF _Tc21072 \h 53
    温馨提醒:浏览过程中按ctrl+Hme可回到开头
    第一部分:知识点必背
    1、根式的概念及性质
    (1)概念:式子叫做根式,其中叫做根指数,叫做被开方数.
    (2)性质:
    ①(且);
    ②当为奇数时,;当为偶数时,
    2、分数指数幂
    ①正数的正分数指数幂的意义是(,,且);
    ②正数的负分数指数幂的意义是(,,且);
    ③0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.
    3、指数幂的运算性质
    ①;
    ②;
    ③.
    4、指数函数及其性质
    (1)指数函数的概念
    函数(,且)叫做指数函数,其中指数是自变量,函数的定义域是.
    (2)指数函数的图象和性质
    第二部分:高考真题回归
    1.(2022·全国·统考高考真题)已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】[方法一]:(指对数函数性质)
    由可得,而,所以,即,所以.
    又,所以,即,
    所以.综上,.
    [方法二]:【最优解】(构造函数)
    由,可得.
    根据的形式构造函数 ,则,
    令,解得 ,由 知 .
    在 上单调递增,所以 ,即 ,
    又因为 ,所以 .
    故选:A.
    2.(2022·北京·统考高考真题)已知函数,则对任意实数x,有( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】,故A错误,C正确;
    ,不是常数,故BD错误;
    故选:C.
    第三部分:高频考点一遍过
    高频考点一:指数与指数幂的运算
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)若,则______
    【答案】
    【详解】在等式两边平方可得,
    因此,.
    故答案为:.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)=____________
    【答案】
    【详解】
    故答案为:
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)国家速滑馆又称“冰丝带”,是北京2022年冬奥会的标志性场馆,拥有亚洲最大的全冰面设计,但整个系统的碳排放接近于零,做到了真正的智慧场馆、绿色场馆,并且为了倡导绿色可循环的理念,场馆还配备了先进的污水、雨水过滤系统,已知过滤过程中废水的污染物数量(mg/L)与时间的关系为(为最初污染物数量).如果前2个小时消除了20%的污染物,那么前6个小时消除了污染物的( )
    A.51.2%B.48.8%C.52%D.48%
    【答案】B
    【详解】依题意有, 可得,
    当时,
    因此,前6个小时消除了污染物的48.8%.
    故选∶B.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)复利是一种计算利息的方法,即把前一期的利息和本金加在一起算作本金,再计算下一期的利息,我国现行定期储蓄中的自动转存业务就是类似复利计算的储蓄.某人在银行存入本金5万元并办理了自动转存业务,已知每期利率为p,若存m期,本利和为5.4万元,若存n期,本利和为5.5万元,若存期,则利息为( )
    A.5.94万元B.1.18万元C.6.18万元D.0.94万元
    【答案】D
    【详解】由题意可得,则,
    即存期,本利和为,
    则存期,则利息为万元.
    故选:D
    2.(2023·全国·高三专题练习)已知,则=__________
    【答案】
    【详解】,
    .
    故答案为:
    3.(2023·全国·高三专题练习)若,=______________
    【答案】
    【详解】

    因为,所以原式.
    故答案为:.
    高频考点二:指数函数的概念
    典型例题
    例题1.(2023·河北·高三学业考试)已知函数(,且)的图象经过点,则( )
    A.B.2C.D.4a的值为
    【答案】B
    【详解】因为函数(,且)的图象经过点,
    所以,解得:.
    故选:B.
    例题2.(2023·全国·高一专题练习)若:函数是指数函数,,则是的( )条件
    A.充要条件B.充分不必要
    C.必要不充分D.既不充分也不必要
    【答案】C
    【详解】命题p真,则,解得或2,又,∴;q为真,则或2,
    ∴q是p的必要不充分条件.
    故选:C.
    例题3.(2023·高一课时练习)已知函数是指数函数,求实数的值.
    【答案】4
    【详解】因为函数是指数函数,
    所以,解得,
    即实数a的值为4.
    练透核心考点
    1.(2023秋·云南大理·高一统考期末)已知函数(a>0且)的图象过点(2,4),(4,2),则( )
    A.B.=2C.=3D.=6
    【答案】AD
    【详解】由已知得,两式相比得,所以,
    由得 ,所以,
    故选:AD.
    2.(2023·高一课时练习)下列函数中,属于指数函数的是_________.(填序号)
    ①﹔②;③;④(a为常数,,);⑤;⑥﹔⑦.
    【答案】③④
    【详解】对①:指数式的系数为2,不是1,故不是指数函数;
    对②:其指数为,不是,故不是指数函数;
    对③④:满足指数函数的定义,故都是指数函数;
    对⑤:是幂函数,不是指数函数;
    对⑥:指数式的系数为,不是1,故不是指数函数;
    对⑦:指数的底数为,不满足底数大于零且不为1的要求,故不是;
    综上,是指数函数的只有③④.
    故答案为:③④.
    3.(2023·高一课时练习)当时,指数函数的值总大于1,则实数的取值范围是______.
    【答案】
    【详解】解:因为时,指数函数值总大于1,
    所以,解得或,
    所以,实数的取值范围是
    故答案为:
    高频考点三:指数函数的图象
    角度1:判断指数型函数的图象
    典型例题
    例题1.(2023秋·陕西安康·高一校联考期末)要得到函数的图象,只需将函数的图象( )
    A.向左平移1个单位B.向右平移1个单位
    C.向左平移个单位D.向右平移个单位
    【答案】A
    【详解】因为,
    所以,只需将函数向左平移1个单位,即可得到函数的图象.
    故选:A.
    例题2.(2023秋·河南安阳·高一统考期末)已知函数是指数函数,函数,则与在同一坐标系中的图像可能为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】当时,为增函数,的图像的对称轴为直线,A选项错误,C选项正确;
    当时,为减函数,的图像的对称轴为直线,B选项错误,D选项错误.
    故选:C
    例题3.(2023秋·江西鹰潭·高三贵溪市实验中学校考阶段练习)当时,函数与函数在同一坐标系内的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】,,是减函数,排除CD,
    ,,是增函数,又排除B,
    故选:A.
    例题4.(2023·全国·高一专题练习)函数的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】由可知,当时,单调递减,且,
    故选:C
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的图象是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】因为,
    因为,所以在上单调递减,从而排除选项AC;
    又因为指数函数过定点,所以排除选项D;
    而选项B中的图像满足的性质,故B正确.
    故选:B.
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数(且)与函数的图象可能是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】A选项,函数为减函数,则,
    且函数的图象交轴正半轴点,则,可得,
    函数为增函数,且函数交轴正半轴于点,则,,A满足;
    对于B选项,函数交轴于点,函数交轴于点,
    显然,B不满足;
    对于C选项,函数交轴于点,函数交轴于点,
    显然,C不满足;
    对于D选项,函数为减函数,则,
    函数为减函数,则,D不满足.
    故选:A.
    3.(2023·全国·高一专题练习)已知函数(其中)的图象如图所示,则函数的图象大致是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】的函数图象与轴的交点的横坐标为的两个根,
    由可得两根为a,b,
    观察的图象,可得其与轴的两个交点分别在区间与上,
    又∵,∴,,
    由可知,
    当时,为增函数,
    又由得的图象与y轴的交点在x轴上方,
    分析选项可得C符合这两点.
    故选:C.
    4.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,,则在同一平面直角坐标系内,它们的图象大致为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】与是增函数,与是减函数,在第一象限内作直线,
    该直线与四条曲线交点的纵坐标的大小对应各底数的大小,易知:选A.
    故选:A
    角度2:根据指数型函数图象求参数
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高三专题练习)函数的图像如图所示,其中为常数,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,C.,D.,
    【答案】D
    【详解】由函数的图像可知,函数在定义域上单调递减,,排除AB选项;
    分析可知:
    函数图像是由向左平移所得,,.故D选项正确.
    故选:D
    例题2.(2023秋·上海浦东新·高一校考期末)已知函数,若,则的取值范围是______
    【答案】
    【详解】设,
    由于,所以,
    由,解得,
    画出的图象如下图所示,
    不妨设,则由,
    得,,
    所以的取值范围是.
    故答案为:
    例题3.(2023·高一课时练习)若直线与函数(,且)的图象有两个公共点,则可以是( )
    A.2B.C.D.
    【答案】C
    【详解】由题意,直线与函数,且的图象有两个公共点,
    当时,的图象如图所示,
    由已知得,;
    当时,的图象如图所示,
    由已知可得,
    ,结合可得无解,
    综上可知,的取值范围为,
    故选:C
    例题4 .(2022·高一课时练习)函数(,且)的图像经过第二、三、四象限,则( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】A
    【详解】若,则函数的图象必经过第一象限,而函数(,且)的图像经过第二、三、四象限,所以,此时函数必过第一、二象限,且经过定点,若,图象往上平移,则必过第一、二象限,若,图象往下平移且经过第二、三、四象限,所以.
    故选:A.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)若函数的图象如图所示,则( )
    A.,B.,C.,D.,
    【答案】D
    【详解】根据图象,函数是单调递减的
    所以指数函数的底
    根据图象的纵截距,令,
    解得
    即,
    故选:D.
    2.(2022·高一课时练习)若函数的图象不经过第二象限,则实数的取值范围是( )
    A.(-∞,-2)B.(-∞,-2]
    C.(3,+∞)D.[3,+∞)
    【答案】B
    【详解】解:作出函数的图象,如图所示.
    由于将函数向上或下平移后,得到,
    而函数的图象不经过第二象限,
    由图可知,至少要向下平移2个单位,则.
    所以实数的取值范围是.
    故选:B.
    3.(2022秋·上海嘉定·高一校考期中)函数的图象如图所示,其中,为常数,则下列结论正确的是( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】A
    【详解】由,可得,
    因为由图像可知函数是减函数,所以,所以,
    因为,
    所以,所以,
    故选:A
    4.(多选)(2022·高一单元测试)已知函数且,的图象不经过第三象限,则的范围可能为( )
    A.,B.,
    C.,D.,
    【答案】ABC
    【详解】若,函数图象如图所示
    要想图象不经过第三象限,则需要向上平移,或向下平移不超过1个单位长度,故或,解得:或,故AB正确;
    若,函数图象如图所示
    要想图象不经过第三象限,则需要向上平移,故,解得:,即C正确,D错误.
    故选:ABC
    角度3:指数型函数图象过定点问题
    典型例题
    例题1.(2023秋·山东烟台·高一统考期末)函数(且)的图象过定点( )
    A.(0,-2)B.(0,-1)C.(1,-2)D.(1,-1)
    【答案】D
    【详解】依题意,因为(且),
    所以令,解得:,
    所以,
    所以函数(且)的图象过定点.
    故选:D.
    例题2.(2023秋·上海徐汇·高一位育中学校考期末)函数且)的图象经过一个定点,这个定点的坐标是______.
    【答案】
    【详解】因为指数函数恒过定点,
    将图象向左平移一个单位可得,此时恒过定点,
    再将函数向下平移一个单位可得,此时恒过定点,
    所以这个定点的坐标为,
    故答案为:.
    例题3.(2023·山东济宁·统考一模)已知函数且的图象过定点,且点在直线上,则的最小值是______.
    【答案】
    【详解】函数且的图象过定点,
    则,所以,
    由,得,

    令,则,


    当且仅当,即,即时,取等号,
    所以的最小值是.
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2023春·黑龙江佳木斯·高一校考开学考试)函数(,且)的图象必经过点的坐标________.
    【答案】
    【详解】令,得,
    所以函数(,且)的图象必经过点.
    故答案为:.
    2.(2023秋·上海青浦·高一上海市青浦高级中学校考期末)已知且,函数的图像恒经过一个定点,此定点的坐标为______.
    【答案】
    【详解】令得,此时,
    所以图象过定点.
    故答案为:.
    3.(2023秋·广东广州·高一统考期末)函数的图象恒过定点P,则点P的坐标是_____;若点P在直线上,则的最小值为______.
    【答案】 ; 8
    【详解】当时,,则函数的图象恒过定点,
    点P在直线上,可得,

    (当且仅当时等号成立)
    故答案为:;8
    角度4:指数函数图象应用
    典型例题
    例题1.(2023·高三课时练习)已知实数,满足等式,下列五个关系式:
    ①;②;③;④;⑤.
    其中不可能成立的关系式有( )
    A.1个B.2个C.3个D.4个
    【答案】B
    【详解】解:画出函数与的图象,
    当时,的图象在的图象下方,
    当时,的图象在的图象上方,
    当,时,则,
    当时,成立,
    当,时,则,
    故③,④不成立.
    故选:B.
    例题2.(多选)(2023秋·陕西铜川·高一铜川市耀州中学校考期末)函数(且),图像经过2,3,4象限,则下列结论正确的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】AD
    【详解】函数(且),图像经过2,3,4象限,
    故得到,当时,
    函数是减函数,,函数为增函数,故得到
    故得到,故得到AD正确,BC错误.
    故选:AD.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的零点个数为( ).
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】令,得;
    在同一直角坐标系中分别作出,的大致图象如图所示;
    观察可知,两个函数的图象有个交点(其中个交点的横坐标介于到之间,另外两个交点分别为,,故函数的零点个数为,
    故选:D.
    2.(2023秋·广东广州·高二校考期末)已知函数,,当时,取得最大值,则函数的大致图象为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】因为,,在单调递减,在单调递增,
    故可得在时,取得最大值.
    故,,
    又图象可以由的图象经过关于轴的翻折变换,再向左平移1个单位得到.
    故满足的函数图象是选项.
    故选:
    高频考点四:指数(型)函数定义域
    典型例题
    例题1.(2023春·北京海淀·高三首都师范大学附属中学校考开学考试)函数的定义域是_______.
    【答案】.
    【详解】由题意得,
    解得且,
    所以函数的定义域为,
    故答案为:.
    例题2.(2023·高一课时练习)函数的定义域为______.
    【答案】
    【详解】,
    即定义域为.
    故答案为:
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)已知的定义域为,则实数的取值范围是______.
    【答案】[-1,0]
    【详解】∵f(x)的定义域为R,
    ∴0对任意x∈R恒成立,
    即恒成立,
    即x2+2ax﹣a≥0对任意x∈R恒成立,
    ∴△=4a2+4a≤0,则﹣1≤a≤0.
    故答案为[﹣1,0].
    练透核心考点
    1.(2023秋·北京丰台·高三统考期末)函数的定义域是___________.
    【答案】且
    【详解】由题知:且.
    故答案为:且.
    2.(2023·高一课时练习)已知函数的定义域为,则函数的定义域为_______
    【答案】
    【详解】由条件可知,函数的定义域需满足,解得:,
    所以函数的定义域是.
    故答案为:
    高频考点五:指数(型)函数的值域
    角度1:指数函数在区间上的值域
    典型例题
    例题1.(2023春·湖北咸宁·高一校考开学考试)当时,函数的值域是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】因为指数函数在区间上是增函数,所以,
    于是,即
    所以函数的值域是.
    故选:C.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数在的最大值是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】解:因为函数是单调递增函数,
    所以函数也是单调递增函数,
    所以.
    故选:C
    例题3.(2023·高一课时练习)当时,函数的值域为______.
    【答案】
    【详解】在上单调递增,故.
    故答案为:.
    练透核心考点
    1.(2022秋·广西·高二统考学业考试)函数的最大值为( )
    A.B.C.D.4
    【答案】D
    【详解】因为函数为增函数,
    所以函数的最大值为.
    故选:D.
    2.(2022·全国·高三专题练习)函数,的值域为___________.
    【答案】##
    【详解】由,可知指数函数在区间上单调递增,
    又,,
    则函数,的值域为
    故答案为:
    3.(2023春·上海青浦·高一统考开学考试)函数的值域为________.
    【答案】
    【详解】由指数函数的性质知:,
    ∴.
    故答案为:
    角度2:指数型复合函数值域
    典型例题
    例题1.(2023秋·河北石家庄·高一石家庄一中校考阶段练习)函数的值域为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】B
    【详解】二次函数开口向下,
    当时,最大值为,
    函数是单调递减函数,
    所以的值域为.
    故选:B.
    例题2.(2023·高三课时练习)函数的值域为______.
    【答案】
    【详解】因为,故且,
    所以的值域为.
    故答案为:.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)函数的值域为________.
    【答案】
    【详解】因为函数的对称轴为,
    所以,
    又因为,所以,
    所以,
    所以,
    故答案为: .
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,则其值域为__________.
    【答案】
    【详解】,令,则,,由于在单调递增,在单调递减,故的最小值为,故值域为,
    故答案为:
    练透核心考点
    1.(多选)(2023春·重庆永川·高一重庆市永川北山中学校校考开学考试)已知函数,则下列说法正确的是( )
    A.定义域为B.值域为
    C.在上单调递增D.在上单调递减
    【答案】ABD
    【详解】函数,可得函数定义域为,故A正确;
    设,
    由指数函数的单调性得到,函数值域为,故B正确;
    在上是单调递增的,
    而在定义域内是单调递减的,
    根据复合函数单调性法则,得到函数在上单调递减,
    故C错误;D正确.
    故选:ABD.
    2.(2023·高一单元测试)已知满足,求函数的最大值及最小值.
    【答案】,
    【详解】由可得:可得:,令,,
    则,,
    当即时,;当即时,.
    3.(2023春·北京·高一校考开学考试)函数的对称轴方程为___________,函数值域为___________.
    【答案】 ; ;
    【详解】,根据二次函数性质得对称轴,
    设,则
    又是增函数,所以即 函数值域为,
    故答案为:;
    角度3:根据指数函数值域(最值)求参数
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)函数且的值域是,则实数 ____.
    【答案】或
    【详解】当时,函数且是增函数,
    值域是, ;
    当时,函数且是减函数,
    值域是, .
    综上所述,可得实数或.
    故答案为:或
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围为______.
    【答案】
    【详解】令,由题意得的值域为,
    又的值域为,所以解得
    所以的取值范围为.
    故答案为:
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】因为,
    且的值域为,
    所以,解得.
    故选:C.
    例题4.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(,)的最大值为,则实数_________.
    【答案】16
    【详解】∵ 函数在上为减函数,又数(,)的最大值为,
    ∴ 的最小值为3,即的最小值为9,
    又由基本不等式可得,当且仅当时等号成立,
    ∴ ,∴
    故答案为:16.
    练透核心考点
    1.(2023·高三课时练习)若函数的值域为,试确定的取值范围______.
    【答案】
    【详解】令,则,,
    函数的值域为,,

    解得或,
    即或,
    解得或.
    故答案为:
    2.(2023·全国·高三专题练习)若函数的值域为[0,+∞),则实数a的取值范围是_____.
    【答案】(﹣∞,﹣2]
    【详解】设,
    若函数的值域为,,
    则等价于,是值域的子集,

    设,则,
    则,

    当对称轴,即时,不满足条件.
    当,即时,则判别式△,
    即,则,
    即实数的取值范围是,.
    故答案为:,
    3.(2023·全国·高三专题练习)已知函数,若的值域是,求的值.
    【答案】0
    【详解】令,则,
    因为的值域是,即的值域是,
    所以的值域为,
    若,则为二次函数,其值域不可能为,
    若,则,其值域为,
    所以
    高频考点六:指数函数单调性
    角度1:由指数(型)函数单调性求参数
    典型例题
    例题1.(2023秋·海南儋州·高一校考期末)下列各条件中,为“函数是上的减函数”的充要条件的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】∵函数是上的减函数,等价于,
    故“函数是上的减函数”的充要条件的是.
    故选:B.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知函数(为常数).若在区间上是增函数,则的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】因为函数为增函数,若在区间上是增函数,
    由复合函数的单调性知,必有在区间上是增函数,
    又在区间上是增函数,
    所以,故有.
    故选:B.
    例题3.(2023·河北·高三学业考试)函数 在区间上是单调减函数,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】记,
    其图象为抛物线,对称轴为,且开口向上,
    因为函数在区间上是单调减函数,
    所以函数在区间上是单调增函数,
    而在上单调递增,
    所以,解得,
    故选:C.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)已知指数函数(,且),且,则的取值范围( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】解:由指数函数(,且),且
    根据指数函数单调性可知
    所以,
    故选:A
    2.(2023秋·河北邢台·高一宁晋中学校考期末)若函数在R上是减函数,则实数a的取值范围( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】令,由于函数在上是减函数,
    函数为上的增函数,则函数为上的减函数,
    所以,,解得.
    故选:B.
    3.(2023·全国·高三专题练习)若函数 在 上单调递减,则k的取值范围为____________.
    【答案】
    【详解】解:因为函数的图象是由函数的图象向下平移一个单位后,再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的,
    函数图象如图所示:
    由图象知,其在上单调递减,所以k的取值范围是.
    故答案为:
    角度2:判断指数型复合函数单调性
    典型例题
    例题1.(2023·高一课时练习)函数的单调递减区间为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】解:因为函数在区间上单调递减,在上单调递增,
    函数在定义域内是单调递减函数,
    所以,根据复合函数单调性法则“同增异减”得的单调递减区间为.
    故选:D
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)函数的单调递减区间是
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】设t=x2﹣2x﹣3,则函数在(﹣∞,1]上单调递减,在[1,+∞)上单调递增.
    因为函数在定义域上为减函数,
    所以由复合函数的单调性性质可知,此函数的单调递减区间是(1,+∞).
    故选D.
    例题3.(2023秋·广东·高一统考期末)函数的单调递增区间为__________.
    【答案】
    【详解】设,则,
    对称轴为,当,即,
    即,即时,为减函数,
    函数为增函数,
    则为减函数,
    即函数单调减区间为;
    当,即,
    即,即时,为减函数,
    函数为减函数,
    则为增函数,
    即函数单调增区间为.
    故答案为:
    练透核心考点
    1.(2023秋·四川眉山·高一校考期末)函数的减区间是________;
    【答案】##
    【详解】函数可看成由与复合而成,而为单调递增函数,
    所以函数的单调递减区间为单调递减区间,
    即单调递减区间为.
    故答案为:.
    2.(2023·全国·高三专题练习)函数的单调减区间是_______.
    【答案】
    【详解】令,则
    ∵,∴在上单调递减
    作出的图象
    由图象可以在上单调递减,在上单调递增
    ∴在上单调递增,在上单调递减
    故答案为:.
    3.(2023·高一课时练习)函数的单调递减区间是_________.
    【答案】
    【详解】令,则,
    因为在上递增,在上递减,而是增函数,
    所以原函数的递减区间为,
    故答案为:.
    角度3:比较大小
    典型例题
    例题1.(2023春·海南·高一统考学业考试)已知,,,则( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】D
    【详解】,,,
    因为指数函数单调递减,所以,
    所以,所以.
    故选:D.
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)已知,,,则,,的大小关系是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】解:因为函数为减函数,
    所以,
    又因为,
    所以.
    故选:A.
    例题3.(2023春·天津滨海新·高三校联考开学考试)已知,则( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】由于 故,由于 故,由,故,因此,由于在单调递增,故,故,
    故选:B
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高一专题练习)下列大小关系不正确的是( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】C
    【详解】A选项:,,
    因为,
    又因为指数函数在R上单调递增,
    所以,即,故A正确;
    B选项:,因为,;
    又因为指数函数在R上单调递减,
    所以,故B正确;
    C选项:因为,,所以,故C错误;
    D选项:因为,,所,故D正确;
    故选:C.
    2.(2023春·吉林长春·高一长春市第二中学校考开学考试)设,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】因为在上单调递增,且,
    所以,即,
    因为在上单调递减,且,
    所以,即,
    所以,
    故选:A.
    3.(2023·全国·高三专题练习)设,,,则的大小关系为( )
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】在上单调递增,,即;
    又,;
    综上所述:.
    故选:D.
    角度4:根据指数函数单调性解不等式
    典型例题
    例题1.(2023秋·内蒙古乌兰察布·高一校考期末)若,则实数的取值范围是( ).
    A.B.C.D.
    【答案】D
    【详解】因为函数是减函数,且,
    所以,解得,
    即实数a的取值范围是.
    故选:D.
    例题2.(2022秋·内蒙古赤峰·高一赤峰红旗中学松山分校校考期末)不等式的解集是
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】由,得,
    ∴8﹣x2>﹣2x,即x2﹣2x﹣8<0,解得﹣2<x<4.
    ∴不等式的解集是{x|﹣2<x<4}.
    故选A.
    例题3.(2023·全国·高三专题练习)若不等式恒成立,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】分析:首先根据指数函数的性质,将不等式恒成立转化为恒成立,利用判别式,从而求得实数的取值范围.
    详解:不等式恒成立,即,即恒成立,即恒成立,所以,解得,所以实数的取值范围是,故选B.
    练透核心考点
    1.(2023春·新疆乌鲁木齐·高一校考开学考试)已知关于x的不等式 ,则该不等式的解集为( )
    A.B.
    C.D.
    【答案】A
    【详解】不等式即,
    由于在上单调递增,所以,
    所以不等式的解集为.
    故选:A
    2.(2023秋·湖南邵阳·高一统考期末)若,则有( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】∵函数在上是减函数,又,
    ∴.
    故选:C.
    3.(2021秋·福建三明·高一校联考期中)若,则实数a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】A
    【详解】因为函数在上为减函数,
    ,等价于,解得
    所以实数a的取值范围是
    故选:A
    4.(2019秋·甘肃张掖·高一张掖市第二中学校考阶段练习)不等式恒成立,则a的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】不等式恒成立,即,亦即恒成立,
    则,解得,
    故的取值范围是,
    故选:B.
    高频考点七:指数函数的最值
    角度1:求已知指数型函数的值域
    典型例题
    例题1.(2023·全国·高一专题练习)若函数(且)在上的最大值为4,最小值为,实数的值为( )
    A.B.C.D.或
    【答案】D
    【详解】时,在上单调递增,
    则,解得,
    此时,.
    当时,
    在上单调递减,
    所以,解得,
    此时,.
    综上,m的值为或,
    故选:D.
    例题2.(2023春·江西南昌·高一南昌市第三中学校考阶段练习)已知函数,则其值域为___________.
    【答案】
    【详解】解:令,∵,∴,
    ∴,
    又关于对称,
    即时,函数取得最小值,即,
    即时,函数取得最大值,即,
    ,.
    故答案为:.
    例题3.(2023秋·四川眉山·高一校考期末)已知函数的定义域是,设,
    (1)求的定义域;
    (2)求函数的最大值和最小值.
    【答案】(1)
    (2)最大值为,最小值为
    【详解】(1)的定义域是,,
    因为的定义域是,所以,解得
    于是的定义域为.
    (2)设.
    因为,即,所以当时,即时,
    取得最小值,值为;
    当时,即时,取得最大值,值为.
    练透核心考点
    1.(2023·全国·高三专题练习)函数的最大值为( )
    A.B.C.D.
    【答案】C
    【详解】设,,则,
    当,即时,函数有最大值为.
    故选:.
    2.(2023·全国·高三专题练习)若函数恒过点,则函数在上的最小值是_____.
    【答案】
    【详解】函数恒过点,
    则,
    区间变为,
    由函数,
    令,
    则,
    利用二次函数的单调性,
    当时,,
    则函数在上的最小值是.
    故答案为:.
    3.(2023·高一课时练习)已知函数
    (1)作出其图象;
    (2)由图象指出单调区间;
    (3)由图象指出当取何值时函数有最小值,最小值为多少?
    【答案】(1)见解析;(2)减区间为,增区间为;(3)当时,函数取得最小值.
    【详解】(1),该函数的图象如下图所示:
    (2)由(1)中的图象可知,函数的减区间为,增区间为;
    (3)由(1)中的图象可知,当时,函数取最小值.
    角度2:根据指数函数最值求参数
    典型例题
    例题1.(2023·河北·高二统考学业考试)已知函数.若函数的最大值为1,则实数( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】,令,
    则,当时,,解得.
    故选:B
    例题2.(2023·全国·高三专题练习)如果函数(,)在区间上的最大值是14,则的值为( )
    A.3B.C.-5D.3或
    【答案】D
    【详解】令ax=t,则.
    当a>1时,因为,所以,
    又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
    所以ymax=(a+1)2-2=14,解得a=3(a=-5舍去).
    当0<a<1时,因为,所以,
    又函数y=(t+1)2-2在上单调递增,
    则ymax=,
    解得(舍去).
    综上知a=3或.
    故选:D
    例题3.(2022秋·广东茂名·高一校联考期末)设函数是定义域为的偶函数,是定义域为的奇函数,且.
    (1)求与的解析式;
    (2)若在上的最小值为,求的值.
    【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)解:为偶函数,,
    又为奇函数,,
    ,①
    ,即,②
    由得:,可得.
    (2)解:,
    所以,,
    令,因为函数、在上均为增函数,
    故在上单调递增,则,
    设,,对称轴,
    ①当时,函数在上为减函数,在上为增函数,
    则,解得:或(舍);
    ②当时,在上单调递增,
    ,解得:,不符合题意.
    综上:.
    练透核心考点
    1.(2023秋·甘肃兰州·高一校考期末)若指数函数在区间上的最大值与最小值的差为2,则( )
    A.B.1C.或2D.2
    【答案】D
    【详解】解:当时,函数为增函数,
    则,
    故,解得或(舍去),
    当时,函数为减函数,
    则,
    故,无解,
    综上,.
    故选:D.
    2.(2023·高一课时练习)已知,且,若函数在区间上的最大值为10,则________.
    【答案】或
    【详解】(1)若,则函数在区间上是递增的,
    当时,取得最大值,即,
    又,∴.
    (2)若,则函数在区间上是递减的,
    当时,取得最大值,
    所以.
    综上所述,的值为或.
    故答案为:或
    3.(2022秋·云南楚雄·高三统考期末)已知奇函数在上的最大值为,则__________.
    【答案】2或
    【详解】因为是奇函数,所以,
    解得,即.
    当时,函数在上单调递增,则,解得.
    当时,函数在上单调递减,则,解得.
    故答案为:2或
    角度3:含参指数(型)函数最值
    典型例题
    例题1.(2023秋·内蒙古阿拉善盟·高一阿拉善盟第一中学校考期末)已知函数、奇函数和偶函数的定义域均为R,且满足,若函数(,且).
    (1)求的解析式;
    (2)求在R上的最大值.
    【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)由可知,
    由为奇函数,为偶函数,可知,,
    则,
    则.
    (2)由(1)得,
    当,且时,,则,
    当且仅当,即时取等号,
    故在R上的最大值为.
    例题2.(2022春·辽宁锦州·高二义县高级中学校考阶段练习)设函数(且)是定义域为的奇函数.
    (1)求实数的值;
    (2)若,,且在上的最小值为1,求实数的值.
    【答案】(1);(2).
    【详解】(1)因为是定义域为的奇函数,所以,
    所以,即,
    当时,符合条件.
    (2)因为,所以,
    解得或(舍).
    故,
    令,由,故,
    所以
    函数图象的对称轴为,
    ①时,,解得(舍去);
    ②时,,解得.
    所以,.
    练透核心考点
    1.(2022秋·安徽阜阳·高一安徽省阜阳第一中学校考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,求函数的零点;
    (2)若,求在区间上的最大值.
    【答案】(1);
    (2).
    【详解】(1)解:当时,,
    由可得,,所以.
    即当时,函数的零点为.
    (2)解:令,即求在区间上的最大值.
    当时,二次函数的图象开口向上,对称轴为直线.
    ①当时,即当时,函数在区间上单调递增,则;
    ②当时,即当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,因为,,,则;
    ③当时,即当时,函数在区间上单调递减,在区间上单调递增,此时,,则;
    ④当时,即当时,函数在区间上单调递减,所以.
    综上所述.
    2.(2022秋·广西桂林·高一校考期中)已知函数在区间上有最大值和最小值.
    (1)求,的值;
    (2)若不等式在时有解,求实数的取值范围.
    【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)解:令,则原函数可转化为,
    因为且对称轴,
    所以在上单调递增,
    由已知可得,解得;
    (2)解:由(1)知,.
    令,由,得,则在上有解,
    即在上有解.
    令,,则,
    ,,
    即实数k的取值范围为.
    3.(2022秋·浙江台州·高一临海市学海中学校考阶段练习)已知函数
    (1)当时,求不等式的解集;
    (2)求函数在上的最小值.
    【答案】(1)
    (2)
    【详解】(1)不等式为,,,,
    解集为;
    (2)设,由得,
    ,,
    ,即时,,
    ,即时,,
    ,即时,,
    综上.
    第四部分:高考新题型
    ①开放性试题
    1.(2023春·山东青岛·高一统考开学考试)写出一个同时具有下列性质①②的函数______.
    ①;②在上为增函数.
    【答案】(答案不唯一)
    【详解】指数函数满足,且,时,函数单调递增,
    所以满足条件的一个函数.
    故答案为:(答案不唯一)
    2.(2023·福建·统考一模)写出一个同时满足下列三个性质的函数__________.
    ①若,则;②;③在上单调递减.
    【答案】(答案不唯一)
    【详解】比如,,故,又,也即成立,
    又在上单调递减.
    故答案为:.
    3.(2023秋·广东佛山·高一统考期末)写出一个同时满足下列性质①②③的函数解析式:______.
    ①定义域为;②值域为;③是奇函数.
    【答案】(答案不唯一)
    【详解】如,定义域为,
    又,因为,所以,,
    又,故是奇函数.
    故答案为:(答案不唯一)
    ②结构不良试题
    1.(2023秋·四川眉山·高一眉山市彭山区第一中学校考期末)请在①充分不必要条件,②必要不充分条件这两个条件中任选一个,补充在下面的问题(2)中.若问题(2)中的实数存在,求出的取值范围;若不存在,说明理由.已知全集,集合是不等式的解集,集合是函数在上的值域.
    (1)求集合;
    (2)若是成立的______条件,判断实数是否存在.
    【答案】(1)
    (2)选①,;选②,实数不存在.
    【详解】(1)解:令,其中,
    因为函数、在上为增函数,故函数在上为增函数,
    又因为,,由可得,
    可得,所以,.
    (2)解:当,,所以,.
    若选①,若是成立的充分不必要条件,则,则,解得;
    若选②,若是成立的必要不充分条件,则,则,解得.
    2.(2023·高一课时练习)在①;②函数为偶函数:③0是函数的零点这三个条件中选一个条件补充在下面问题中,并解答下面的问题.
    问题:已知函数,,且______.
    (1)求函数的解析式;
    (2)判断函数在区间上的单调性,并用定义证明.
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分.
    【答案】(1)
    (2)单调递增,证明见解析
    【详解】(1)解:若选条件①.因为,
    所以,即.
    解得.所以.
    若选条件②.函数的定义域为R.因为为偶函数,
    所以,,即,
    ,化简得,.
    所以,即.所以.
    若选条件③.由题意知,,
    即,解得.所以.
    (2)解:函数在区间上单调递增.
    证明如下:,,且,
    则.
    因为,,,所以,即.
    又因为,所以,即.
    所以,即.
    所以在区间上单调递增.
    第五部分:数学思想方法
    ①数形结合的思想
    1.(2023春·湖北荆州·高一统考阶段练习)已知,则是的( )
    A.充分不必要条件B.必要不充分条件
    C.充要条件D.既不充分也不必要条件
    【答案】B
    【详解】∵,当时,在R上单调递增,
    ∴:.
    对于不等式,
    作出函数与的图象,如图所示:
    由图象可知,不等式的解集为,
    ∴:.
    又∵,
    ∴是的必要不充分条件,
    故选:B.
    2.(2023·湖北武汉·统考模拟预测)已知函数,若的值域是,则实数的取值范围是( )
    A.B.C.D.
    【答案】B
    【详解】根据题意可得,在同一坐标系下分别画出函数和的图象如下图所示:
    由图可知,当或时,两图象相交,
    若的值域是,以实数为分界点,可进行如下分类讨论:
    当时,显然两图象之间不连续,即值域不为;
    同理当,值域也不是;
    当时,两图象相接或者有重合的部分,此时值域是;
    综上可知,实数的取值范围是.
    故选:B
    3.(多选)(2023秋·河南郑州·高一统考期末)已知实数,满足等式,下列式子可以成立的是( )
    A.B.C.D.
    【答案】ABD
    【详解】设,分别作出的函数图象,如图所示:
    当,则,A成立;
    当,则,B成立,C不成立;
    当时,则,D成立.
    故选:ABD.
    ②分类讨论的思想
    1.(2023春·上海杨浦·高一上海市控江中学校考开学考试)已知函数,,与函数,,对任意,总存在,使得成立,则实数的取值范围是__________.
    【答案】
    【详解】设的值域为,的值域为,
    由对任意,总存在,使得成立知:;
    在上单调递减,,即;
    当时,,即,满足;
    当时,在上单调递增,,
    即,由得:,解得:;
    综上所述:实数的取值范围为.
    故答案为:.
    2.(2023春·广东广州·高一广东实验中学校考阶段练习)已知函数.
    (1)当时,利用单调性定义证明在上单调递增;
    (2)若存在,使,求实数的取值范围.
    【答案】(1)证明见解析
    (2)
    【详解】(1)取,则,
    ,故,,故,,,
    故,即,函数单调递增.
    (2),故,即,
    当时,,不成立;
    当时,不成立;
    当时,,,故,故,解得,
    综上所述:
    3.(2023春·四川雅安·高一雅安中学校考开学考试)已知函数且.
    (1)判断的奇偶性,并证明你的结论.
    (2)当时,函数的值域为,求.
    【答案】(1)奇函数,证明见解析;
    (2)或
    【详解】(1)奇函数,证明:由题意得的定义域为,
    且,
    是奇函数,
    (2)设,则
    当时,,得
    即,
    这时在上是增函数;
    则,即,解得.
    当时,,
    得,即,
    这时在上是减函数.
    则,即,解得,
    综上或3.
    底数
    图象
    性质
    定义域为,值域为
    图象过定点
    当时,恒有;
    当时,恒有
    当时,恒有;
    当时,恒有
    在定义域上为增函数
    在定义域上为减函数
    注意
    指数函数(,且)的图象和性质与的取值有关,应分与来研究
    相关试卷

    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第09讲 函数模型及其应用(高频精讲)(原卷版+解析版): 这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第09讲 函数模型及其应用(高频精讲)(原卷版+解析版),共48页。试卷主要包含了常见函数模型,指数等内容,欢迎下载使用。

    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第08讲 函数与方程(高频精讲)(原卷版+解析版): 这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第08讲 函数与方程(高频精讲)(原卷版+解析版),共64页。试卷主要包含了函数的零点与方程的根之间的联系,零点存在性定理,二分法,高频考点技巧等内容,欢迎下载使用。

    新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(分层精练)(原卷版+解析版): 这是一份新教材新高考2024年高考数学高频考点精讲精练 第05讲 指数与指数函数(分层精练)(原卷版+解析版),共18页。试卷主要包含了单选题,多选题,填空题,解答题等内容,欢迎下载使用。

    免费资料下载额度不足,请先充值

    每充值一元即可获得5份免费资料下载额度

    今日免费资料下载份数已用完,请明天再来。

    充值学贝或者加入云校通,全网资料任意下。

    提示

    您所在的“深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载 10 份资料 (今日还可下载 0 份),请取消部分资料后重试或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深深圳市第一中学”云校通为试用账号,试用账号每位老师每日最多可下载10份资料,您的当日额度已用完,请明天再来,或选择从个人账户扣费下载。

    您所在的“深圳市第一中学”云校通余额已不足,请提醒校管理员续费或选择从个人账户扣费下载。

    重新选择
    明天再来
    个人账户下载
    下载确认
    您当前为教习网VIP用户,下载已享8.5折优惠
    您当前为云校通用户,下载免费
    下载需要:
    本次下载:免费
    账户余额:0 学贝
    首次下载后60天内可免费重复下载
    立即下载
    即将下载:资料
    资料售价:学贝 账户剩余:学贝
    选择教习网的4大理由
    • 更专业
      地区版本全覆盖, 同步最新教材, 公开课⾸选;1200+名校合作, 5600+⼀线名师供稿
    • 更丰富
      涵盖课件/教案/试卷/素材等各种教学资源;900万+优选资源 ⽇更新5000+
    • 更便捷
      课件/教案/试卷配套, 打包下载;手机/电脑随时随地浏览;⽆⽔印, 下载即可⽤
    • 真低价
      超⾼性价⽐, 让优质资源普惠更多师⽣
    VIP权益介绍
    • 充值学贝下载 本单免费 90%的用户选择
    • 扫码直接下载
    元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
    您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      充值到账1学贝=0.1元
      0学贝
      本次充值学贝
      0学贝
      VIP充值赠送
      0学贝
      下载消耗
      0学贝
      资料原价
      100学贝
      VIP下载优惠
      0学贝
      0学贝
      下载后剩余学贝永久有效
      0学贝
      • 微信
      • 支付宝
      支付:¥
      元开通VIP,立享充值加送10%学贝及全站85折下载
      您当前为VIP用户,已享全站下载85折优惠,充值学贝可获10%赠送
      扫码支付0直接下载
      • 微信
      • 支付宝
      微信扫码支付
      充值学贝下载,立省60% 充值学贝下载,本次下载免费
        下载成功

        Ctrl + Shift + J 查看文件保存位置

        若下载不成功,可重新下载,或查看 资料下载帮助

        本资源来自成套资源

        更多精品资料

        正在打包资料,请稍候…

        预计需要约10秒钟,请勿关闭页面

        服务器繁忙,打包失败

        请联系右侧的在线客服解决

        单次下载文件已超2GB,请分批下载

        请单份下载或分批下载

        支付后60天内可免费重复下载

        我知道了
        正在提交订单

        欢迎来到教习网

        • 900万优选资源,让备课更轻松
        • 600万优选试题,支持自由组卷
        • 高质量可编辑,日均更新2000+
        • 百万教师选择,专业更值得信赖
        微信扫码注册
        qrcode
        二维码已过期
        刷新

        微信扫码,快速注册

        还可免费领教师专享福利「樊登读书VIP」

        手机号注册
        手机号码

        手机号格式错误

        手机验证码 获取验证码

        手机验证码已经成功发送,5分钟内有效

        设置密码

        6-20个字符,数字、字母或符号

        注册即视为同意教习网「注册协议」「隐私条款」
        QQ注册
        手机号注册
        微信注册

        注册成功

        下载确认

        下载需要:0 张下载券

        账户可用:0 张下载券

        立即下载
        账户可用下载券不足,请取消部分资料或者使用学贝继续下载 学贝支付

        如何免费获得下载券?

        加入教习网教师福利群,群内会不定期免费赠送下载券及各种教学资源, 立即入群

        返回
        顶部
        Baidu
        map