湖南省长沙市雨花区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省长沙市雨花区2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共20页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．“瓦当”是中国古建筑中覆盖檐头筒瓦前端的遮挡，主要有防水、排水、保护木制飞檐和美化屋面轮廓的作用．瓦当上的图案设计优美，字体行云流水，极富变化，是中国特有的文化艺术遗产．下面“瓦当”图案中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2．关于频率与概率有下列几种说法：①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确的说法是（ ）
A．②④B．②③C．①④D．①③
3．若点在反比例函数上，则的值是（ ）
A．B．C．D．
4．函数y＝﹣x2﹣4x﹣3图象顶点坐标是（ ）
A．（2，﹣1）B．（﹣2，1）C．（﹣2，﹣1）D．（2，1）
5．如图，抛物线对称轴为直线x＝1，与x轴交于点A(﹣1，0)，则另一交点的坐标是（ ）

A．(3，0)B．(﹣3，0)C．(1，0)D．(2，0)
6．如图，在中，，，，，则的长为（ ）

A．2B．4C．6D．9
7．把图中的交通标志图案绕着它的中心旋转一定角度后与自身重合，则这个旋转角度至少为（ ）
A．30°B．90°C．120°D．180°
8．如图，AB、AC、BD是⊙O的切线，切点分别是P、C、D．若AB＝5，AC＝3，则BD的长是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．函数的图象如图所示，那么函数的图象大致是（ ）
A．B．
C．D．
10．数学兴趣小组的同学们想利用树影测量树高．课外活动时他们在阳光下测得一根长为1米的竹竿的影子是0.9米，同一时刻测量树高时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的台阶上，且影子的末端刚好落在最后一级台阶的上端C处，他们测得落在地面的影长为1.1米，台阶总的高度为1.0米，台阶水平总宽度为1.6米．则树高为（ ）
A．3.0mB．4.0mC．5.0mD．6.0m
二、填空题
11．掷一枚六个面分别标有的正方体骰子，则向上一面的数不大于4的概率是 ．
12．若函数的图象与x轴没有交点，则m的取值范围是 ．
13．两个相似图形的周长比为，则面积比为 ．
14．如图，⊙O的直径为10，弦AB长为8，点P在AB上运动，则OP的最小值是 ．
15．如图，分别以正三角形的3个顶点为圆心，边长为半径画弧，三段弧围成的图形称为莱洛三角形．若正三角形边长为6cm，则该莱洛三角形的周长为 cm．
16．如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数y=的图像上，若点A的坐标为（﹣2，﹣2），则k的值为 ．
三、解答题
17．已知，求与的值．
18．已知二次函数的图象如图所示，求这个二次函数的解析式．
19．如图，扇形纸扇完全打开后，外侧两竹条夹角为，的长为，扇面部分的长为，求扇面部分的面积S．
20．甲、乙两位同学玩转盘游戏，游戏规则：将圆盘平均分成三份，分别涂上红，黄，绿三种颜色，两位同学分别转动转盘两次(若压线，重新转)．若两次指针指到的颜色相同，则甲获胜；若两次指针指到的颜色是黄绿组合则乙获胜；其余情况则视为平局．

（1）请用画树状图或列表的方法，写出所有可能出现的结果；
（2）试用概率说明游戏是否公平．
21．如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC＝∠A．
（1）求证：△BDC∽△ABC；
（2）若BC＝4，AC＝8，求CD的长．
22．某农场计划建造一个矩形养殖场，为充分利用现有资源，该矩形养殖场一面靠墙（墙的长度为10m），另外三面用栅栏围成，中间再用栅栏把它分成两个面积为1:2的矩形，已知栅栏的总长度为24m，设较小矩形的宽为xm（如图）．
(1)若矩形养殖场的总面积为36，求此时x的值；
(2)当x为多少时，矩形养殖场的总面积最大？最大值为多少？
23．通过实验研究发现：初中生在数学课上听课注意力指标随上课时间的变化而变化，上课开始时，学生兴趣激增，中间一段时间，学生的兴趣保持平稳状态，随后开始分散．学生注意力指标y随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示，当和时，图象是线段；当时，图象是反比例函数的一部分．
(1)求点A对应的指标值；
(2)张老师在一节课上讲解一道数学综合题需要18分钟，他能否经过适当的安排，使学生在听这道综合题的讲解时，注意力指标都不低于36？请说明理由．
24．如图，在中，，以为直径的与相交于点D，，垂足为E．
(1)求证：是的切线；
(2)若弦垂直于，垂足为G，，求的直径．
25．如图，二次函数的图象经过点，，点为二次函数第一象限内抛物线上一动点，轴于点，交直线于点，以为直径的圆与交于点．
(1)求，的值；
(2)当周长最大时，求此时点点坐标及周长；
(3)连接、，当时，求出点点坐标．
参考答案：
1．B
【分析】根据圆的性质和轴对称图形与中心对称图形的定义解答．
【详解】A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项错误；
B、既是轴对称图形又是中心对称图形，故选项正确；
C、是轴对称图形，不是中心对称图形，选项错误；
D、不是轴对称图形，是中心对称图形，选项错误．
故选B．
【点睛】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的定义，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
2．C
【分析】分别利用概率的意义分析得出答案．
【详解】①“明天下雨的概率是90%”表示明天下雨的可能性很大；正确；
②“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示每抛两次就有一次正面朝上；错误；
③“某彩票中奖的概率是1%”表示买10张该种彩票不可能中奖；错误；
④“抛一枚硬币正面朝上的概率为”表示随着抛掷次数的增加，“抛出正面朝上”这一事件发生的频率稳定在附近，正确．
故选C．
【点睛】此题主要考查了概率的意义，正确理解概率的意义是解题关键．
3．C
【分析】将点（-2，-6）代入，即可计算出k的值．
【详解】∵点(-2，-6)在反比例函数上，
∴k=(-2)×(-6)=12，
故选：C.
【点睛】本题考查了待定系数法求反比例函数解析式，明确函数图象上点的坐标符合函数解析式是解题关键．
4．B
【分析】将函数解析式化为顶点式，即可得到顶点坐标.
【详解】解：∵y＝﹣x2﹣4x﹣3＝﹣（x2+4x+4﹣4+3）＝﹣（x+2）2+1
∴顶点坐标为（﹣2，1）；
故选B．
【点睛】本题考查了二次函数，解题关键是能将一般式化为顶点式.
5．A
【分析】根据抛物线对称性及对称轴为直线x=1求解．
【详解】解：抛物线对称轴为直线x=1，点A坐标为（-1，0），
由抛物线的对称性可得图象与x轴另一交点坐标为（3，0），
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题关键是掌握二次函数图象关于对称轴对称．
6．B
【分析】本题考查了相似三角形的判定及性质，根据相似三角形的判定及性质即可求解，熟练掌握其判定及性质是解题的关键．
【详解】解：，
，
，即：，
解得：，
，
故选B．
7．C
【分析】根据图形的对称性，用360°除以3计算即可得解．
【详解】解：∵360°÷3=120°，
∴旋转的角度是120°的整数倍，
∴旋转的角度至少是120°．
故选C．
【点睛】本题考查了旋转对称图形，仔细观察图形求出旋转角是120°的整数倍是解题的关键．
8．C
【分析】由于AB、AC、BD是⊙O的切线，则AC＝AP，BP＝BD，求出BP的长即可求出BD的长．
【详解】解：∵AC、AP为⊙O的切线，
∴AC＝AP＝3，
∵BP、BD为⊙O的切线，
∴BP＝BD，
∴BD＝PB＝AB﹣AP＝5﹣3＝2．
故选：C．
【点睛】本题考查了切线长定理，两次运用切线长定理并利用等式的性质是解题的关键．
9．A
【分析】本题考查二次函数的图象与反比例函数的图象的综合，关键是熟知两个函数的图象与系数的关系．先利用反比例函数图象得到，再根据二次函数图象与系数关系即可得出答案．
【详解】解：∵函数的图象位于第二、四象限，
∴，
∴函数的图象的开口向下，与y轴的正半轴相交，又对称轴为y轴，
故选项A中图象符合题意，选项B、C、D中图象不符合题意，
故选：A．
10．B
【分析】根据同一时刻物高与影长成正比例列式计算即可．
【详解】根据同一时刻物高与影长成正比例可得，如图，
∴＝．
∴AD＝3．
∴AB＝AD+DB＝3+1＝4．
故选：B．
【点睛】本题考查了相似三角形的应用，只要是把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的相似比，列出方程，通过解方程求解，加上DB的长即可．解此题的关键是找到各部分以及与其对应的影长．
11．
【分析】根据正方体骰子不大于4，可能为四种情况，求出概率即可．
【详解】解：向上一面的数不大于4，
可能为四种情况，
故向上一面的数不大于4的概率是：
故答案为：．
【点睛】本题考查可能性的概率，正确理解问题中含义是解答的关键．
12．
【分析】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程；决定抛物线与轴的交点个数．利用判别式的意义得到，然后解不等式即可．
【详解】解：二次函数的图象与轴没有交点，
，
解得．
故答案为：．
13．
【分析】由两个相似图形，其周长之比为，根据相似图形的周长的比等于相似比，即可求得其相似比，又由相似图形的面积的比等于相似比的平方，即可求得答案．
【详解】解：两个相似图形，其周长之比为，
其相似比为，
其面积比为．
故答案为：．
【点睛】此题考查了相似图形的性质．此题比较简单，注意熟记定理是关键．
14．3
【分析】根据“点到直线的最短距离是垂线段的长度”知当时，的值最小．连接，在直角三角形中由勾股定理即可求得的长度．
【详解】解：当时，的值最小，
则，
如图所示，连接，
在中，，，
则根据勾股定理知，
即的最小值为3，
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了勾股定理、垂径定理．解题的关键是注意两点之间，垂线段最短．
15．6π
【分析】直接利用弧长公式计算即可.
【详解】利用弧长公式计算：该莱洛三角形的周长（cm）
故答案为6π
【点睛】本题考查了弧长公式，熟练掌握弧长公式是解题关键.
16．4
【详解】设点C的坐标为（x，y），则B（－2，y）D（x，－2），
设BD的函数解析式为y=mx，
则y=－2m，x=－，
∴k=xy=（－2m）·（－）=4．
故答案为4
17．；
【分析】本题考查了比例的性质，如果或，那么，即比例的内项之积与外项之积相等；反之，如果，那么或（）．由得，然后，，，代入化简即可．
【详解】解：∵，
∴，
设，
∴．
18．
【分析】本题考查了待定系数法求二次函数解析式，二次函数的图象上点的坐标特征，二次函数的性质，熟练掌握待定系数法是解题的关键．利用待定系数法，列出三元一次方程组进行计算即可．
【详解】设二次函数解析式为y＝ax2＋bx＋c，依题意，得
，
，
得
19．
【分析】先求出，再根据扇面部分的面积等于大扇形面积减去小扇形面积，即可求解．
【详解】解：∵的长为，扇面部分的长为，
∴，
∴扇面部分的面积，
即扇面部分的面积是．
【点睛】本题主要考查了求扇形面积，根据题意得到扇面部分的面积等于大扇形面积减去小扇形面积是解题的关键．
20．（1）(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿)共9种情况；（2）不公平．
【分析】（1）采用画树状图的方法，列举出所有可能的情况；
（2）分别求出甲乙获胜的概率，然后比较判定游戏是否公平.
【详解】（1）树状图，如图所示：

(红，红)，(红，黄)，(红，绿)，(黄，红)，(黄，黄)，(黄，绿)，(绿，红)，(绿，黄)，(绿，绿) 共9种情况；
（2）
所以游戏不公平．
【点睛】此题主要考查树状图列举的画法以及概率的应用，熟练掌握，即可解题.
21．（1）证明见解析；（2）CD＝2．
【分析】（1）根据相似三角形的判定得出即可；
（2）根据相似得出比例式，代入求出即可．
【详解】解：（1）∵∠DBC＝∠A，∠BCD＝∠ACB，
∴△BDC∽△ABC；
（2）∵△BDC∽△ABC，
∴，
∵BC＝4，AC＝8，
∴CD＝2．
【点睛】本题考查的知识点是相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的判定与性质.
22．(1)x的值为2m；
(2)当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2
【分析】（1）由BC=x，求得BD=3x，AB=8-x，利用矩形养殖场的总面积为36，列一元二次方程，解方程即可求解；
（2）设矩形养殖场的总面积为S，列出矩形的面积公式可得S关于x的函数关系式，再根据二次函数的性质求解即可．
【详解】（1）解：∵BC=x，矩形CDEF的面积是矩形BCFA面积的2倍，
∴CD=2x，
∴BD=3x，AB=CF=DE=(24-BD)=8-x，
依题意得：3x(8-x)=36，
解得：x1=2，x2=6(不合题意，舍去)，
此时x的值为2m；
；
（2）解：设矩形养殖场的总面积为S，
由（1）得：S=3x(8-x)=-3(x-4)2+48，
∵墙的长度为10，
∴0＜3x＜10，
∴0＜x＜，
∵-3<0，
∴x＜4时，S随着x的增大而增大，
∴当x=时，S有最大值，最大值为，
即当时，矩形养殖场的总面积最大，最大值为 m2．
【点睛】本题考查了一元二次方程和二次函数在几何图形问题中的应用，数形结合并熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
23．(1)A对应的指标值为20
(2)张老师能经过适当安排，使学生在听这道综合题的讲解时注意力指标都不低于36
【分析】本题考查一次函数和反比例函数的应用、求不等式组的解集．
（1）先利用待定系数法求出反比例函数的解析式，再将代入，即可得出A对应的指标值；
（2）先用待定系数法写出一次函数的解析式，再根据注意力指标都不低于36得出，得出自变量的取值范围，即可得出结论．
【详解】（1）解：令反比例函数为，由图可知点在的图象上，
∴，
∴．
将代入得：
点对应的指标值为；
（2）解：设直线的解析式为，将、代入中，
得，解得．
∴直线的解析式为．
由题得，解得．
∵，
∴张老师经过适当的安排，能使学生在听综合题的讲解时，注意力指标都不低于36．
24．(1)见解析
(2)
【分析】（1）连接，证明，可得，结合，从而可得结论；
（2）连接， 求解，证明，再利用勾股定理可得答案．
【详解】（1）证明：连接，
∵，
∴，
∵，
，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
是的半径
是的切线
（2）连接，
∴，
是直径，，
∴，
，
，
，
在中 即
∴，
即⊙O的直径为 ．
【点睛】本题考查的是等腰三角形的性质，勾股定理的应用，垂径定理的应用，切线的判定，作出合适的辅助线是解本题的关键．
25．(1)；
(2)，的周长为；
(3)点．
【分析】（）待定系数法求解析式即可；
（）为等腰直角三角形，三边之间有比例关系，所以当最长时，三角形的周长也最大，问题转化为求最长，设出点、坐标，列出线段的函数关系式即可求得此时点坐标；
（）当时，，分两种情况讨论，可利用字型构造相似图形，列出方程求出此时点坐标；
本题考查了二次函数的图象及性质，周长最大值问题，线段极值问题以及相似存在型问题，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质及相似三角形的判定与性质．
【详解】（1）解：将，代入中，得到：
，解得：；
（2）解：∵以为直径的圆与交于点，
∴，
∵，
令，得，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴为等腰直角三角形，当周长最大时，最长，
又∵，，即可得到直线解析式为：，
设，，
∴，
当时，，，
在中，，的周长为；
（3）解：若，则，
∴，
设，如图，过点和分别作平行于轴、轴的直线，垂足为，两直线交于点，
∵，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
解得，（舍去），
∴，
当点在对称轴左边时，
∵，
∴，
∵，
∴，延长交轴于，
∵直线的解析式为，
∴，
∵，，
∴垂直平分线段，
∴，解得，
∴点．