安徽省芜湖市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份安徽省芜湖市2023-2024学年九年级上学期期末数学试题(含答案)，共22页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

一、单选题
1．如图为芜湖市轨道交通Lg，将其按顺时针方向旋转后得到的图片是（ ）
A．B．C．D．
2．2023年前三季度，芜湖市实现全市进出口总额135亿美元．135亿用科学记数法表示为（ ）
A．B．C．D．
3．若分式有意义，则的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
4．下列关于方程实数根的情况，说法正确的是（ ）
A．没有实数根B．有一个实数根
C．有两个相等的实数根D．有两个不相等的实数根
5．如图，在中弦，C在上，且，则的半径为（ ）
A．5B．6C．7D．8
6．已知反比例函数图象经过一、三象限，若点，是该反比例函数图象上的两点，则a，b，c的大小关系是（ ）
A．B．C．D．
7．如图，在矩形中，对角线交于点O，，，则在扇形中，弧长是（ ）
A．B．C．D．
8．如图，正八边形内接于，且的半径为，则的面积为（ ）
A．8B．C．D．16
9．为了响应“绿水青山就是金山银山”的号召，建设生态文明，德州市某工厂自年月开始限产并进行治污改造，其月利润万元与月份之间的变化如图所示，治污完成前是反比例函数图像的一部分，治污完成后是一次函数图像的部分，下列选项错误的是（ ）
A．月份的利润为万元
B．治污改造完成后每月利润比前一个月增加万元
C．月份该厂利润达到万元
D．治污改造完成前后共有个月的利润低于万元
10．如图，等边边长为，E、F分别是边上两个动点且．分别连接，交于P点，点M为的中点，N为上一动点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．4
二、填空题
11．已知和关于原点对称，则 ．
12．小区新增了一家快递店，第一天揽件200件，第三天揽件242件，设该快递店揽件日平均增长率为，则根据题意可列方程为 ．
13．2024年“元旦”期间，小明与小亮准备从芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇中选择一景点游玩，小明与小亮通过抽签方式确定景点，则两人抽到同一景点的概率是 ．
14．如图，在中，，点P是外接圆上的一点，且，连接．点M为弧AP上一点（不与A，P重合），过P作于D点．
（1）的形状为 ；
（2）若，，则 ．
三、解答题
15．求不等式的解集．
16．已知的一边长为10，另外两边长分别是方程的两根，请判断的形状，并说明理由．
17．观察下列点阵：图1中共有3个点，图2中共有5个点，图3中共有8个点．
(1)按此规律，图4中有________个点，图8中有________个点；
(2)按此规律，图n中共有________个点．
18．如图，在小正方形的边长均为1的正方形网格中，点A、B、C都是格点．
(1)在图中仅用无刻度的直尺作的平分线；
(2)连接，求内切圆的半径．
19．如图，某人对地面的压强p（单位：）与这个人和地面接触面积S（单位：）满足反比例函数关系．
(1)图象上点A坐标为，求函数解析式；
(2)如果此人所穿的每只鞋与地面的接触面积大约为，那么此人双脚站立时对地面的压强有多大？
(3)如果某沼泽地面能承受的最大压强为，那么此人应站立在面积至少多大的木板上才不至于下陷（木板的质量忽略不计）？
20．在平面直角坐标系中，已知抛物线．
(1)抛物线的对称轴为直线________，抛物线与y轴的交点坐标为________；
(2)若，且x满足时，y的最小值为，求此时y的最大值．
21．为了提高学生书写汉字的能力，增强保护汉字的意识，某市举办了首届“汉字听写大赛”，经选拔后有50名学生参加决赛，这50名学生同时听写50个汉字，若每正确听写出一个汉字得1分，根据测试成绩绘制出部分频数分布表和部分频数分布直方图如下：
请结合图表完成下列各题：
(1)求表中a的值；
(2)请把频数分布直方图补充完整；
(3)若测试成绩不低于40分为优秀，则本次测试的优秀率是多少？
(4)第5组10名同学中，有4名男同学，现将这10名同学平均分成两组进行对抗练习，且4名男同学每组分两人，求小宇与小强两名男同学能分在同一组的概率．
22．李明同学在研究一道直线和圆的关系题目时，有如下发现：如图1，点B是外一点，射线BC经过点O与交于点M和点N，是的平分线，与相切于点D，过D作的垂线交于点E，交于点F，交于点G．当时，可以得到．
(1)李明的研究结论正确吗？若正确，请证明；若不正确，请说明原因；
(2)如图2，如果我们将的角度变小，使得与相交于点D和，仍过点作BP的垂线交于点，交于点，交于点，其他条件保持不变，请你猜想与之间的关系，并证明．
23．在平面直角坐标系中，O为坐标原点，如图①抛物线与x轴交于点和点，与y轴交于点B，且．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图②，若过（1）中抛物线上的点A作线段平行于x轴，交对称轴于H点，且，过C作y轴的平行线交抛物线于D点，A点横坐标满足，求四边形面积S的最大值．
组别
成绩x分
频数(人数)
第1组
4
第2组
8
第3组
16
第4组
a
第5组
10
参考答案：
1．B
【分析】本题考查了寻转的性质，根据旋转下判断即可．
【详解】根据题意，旋转变化后的图片应是，
故选：B．
2．A
【分析】本题考查科学记数法的表示．根据题意先将135亿化为，再利用科学记数法定义即可得到本题答案．
【详解】解：∵135亿为：，
∴，
故选：A．
3．D
【分析】分式有意义的条件是分母不为0．
【详解】解：∵分式有意义，
∴x-3≠0，
∴x≠3；
故选：D．
【点睛】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．
4．D
【分析】求出的值，然后根据的值判断即可. 本题考查了一元二次方程的根的判别式与根的关系，熟练掌握根的判别式与根的关系是解答本题的关键.当时，一元二次方程有两个不相等的实数根；当时，一元二次方程有两个相等的实数根；当时，一元二次方程没有实数根.
【详解】解：对于方程来说，
∵，
∴方程有两个不相等的实数根.
故选：D.
5．C
【分析】本题考查同弧所对的圆周角和圆心角关系，等边三角形性质．根据题意连接，可得，利用等边三角形性质即可得到本题答案．
【详解】解：连接，
；
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∵，
∴，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查反比例函数图像及性质．根据题意可知，函数图像y随x增大而减小，即可得到本题答案．
【详解】解：∵反比例函数图象经过一、三象限，
∴，函数图像y随x增大而减小，
∵，即，即，
∵，即，即，
∴，
故选：D．
7．D
【分析】本题考查矩形性质和弧长公式，三角形内角和定理．根据矩形性质及三角形内角和定理可求得，，再利用弧长公式即可求得本题答案．
【详解】解：∵矩形中，，，
∴，，
∴弧长为：，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查多边形面积．根据题意将正八边形对角线依次连接后再连接，先求出中间正方形面积，再求出周边四个三角形面积后相加即可得到本题答案．
【详解】解：将正八边形对角线依次连接后再连接，使与交点为，如下图：
；
∵的半径为，正八边形每个内角为，即，
∴是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，
∴在中应用勾股定理：，
∴，
∵四边形是正方形，
∴四边形的面积为：，
∴，
∴面积为：，
∴，
故选：C．
9．D
【分析】利用已知点求出一次函数与反比例函数的解析式，然后逐项分析即可解答．
【详解】解：A、设反比例函数的解析式为，把代入得，，
反比例函数的解析式为：，
∵当时，，
月份的利润为万元，正确，不合题意；
B、治污改造完成后，从月到月，利润从万到万，故每月利润比前一个月增加万元，正确，不合题意；
C、设一次函数解析式为：，
则，解得：，
故一次函数解析式为：，
当时，，解得：，
∴治污改造完成后的第个月，即月份该厂利润达到万元，正确，不合题意．
D、当时，，解得：，
∴只有月，月，月共个月的利润低于万元，不正确，符合题意．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了一次函数与反比函数的应用，正确求出函数解析是解题关键．
10．B
【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理和直角三角形的性质．以为边在外作等边，取的外心为，求得点在上运动，作点关于的对称点，连接交于点，当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，据此求解即可．
【详解】解：∵等边边长为，点M为的中点，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
以为边在外作等边，取的外心为，连接，
∵，
∴点在上运动，
作点关于的对称点，连接交于点，
当点在同一直线上时，有最小值，最小值为的长，
过点作直线的垂线，垂足为，如图，
∵，，，
∴，，
∴，
∵是的外心，
∴，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∵是等边三角形，
∴，，
∴，
由勾股定理得，
在中，，
∴，
∴的最小值为：，
故选：B．
11．1
【分析】本题考查关于原点对称点坐标特点，代数式求值．关于原点对称点坐标互为相反数即可求出本题答案．
【详解】解：∵和关于原点对称，
∴，
∴，
故答案为：1．
12．
【分析】设该快递店揽件日平均增长率为，根据题意列出一元二次方程，即可求解．
【详解】解：设该快递店揽件日平均增长率为，则根据题意可列方程为
．
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解题的关键．
13．
【分析】本题考查了利用树状图法活列表法求概率，熟练掌握列举法是解题关键．先画出树状图，从而可得两人抽签的所有等可能的结果，再找出两人抽到同一景点的结果，然后利用概率公式求解即可得．
【详解】解：将芜湖古城、方特梦幻王国、松鼠小镇分别记为，画出树状图如下：
由图可知，两人抽签的所有等可能的结果共有9种，其中，两人抽到同一景点的结果有3种，
则两人抽到同一景点的概率是，
故答案为：．
14． 等腰直角三角形
【分析】（1）由，可知为直径，则，由，可得，进而可得结论；
（2）由题意知，，如图，作的延长线于，则四边形是矩形，证明，则，，根据，计算求解即可．
【详解】（1）解：∵，
∴为直径，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角三角形；
（2）解：由题意知，，
如图，作的延长线于，则四边形是矩形，
∴，，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识．熟练掌握的圆周角所对的弦为直径，直径所对的圆周角为直角，同弧所对的圆周角相等，等腰三角形的判定，三角形内角和定理，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键．
15．
【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的性质是解题的关键．根据一元一次不等式的解法步骤进行求解即可．
【详解】解：，
∴，
∴．
16．为直角三角形，理由见解析．
【分析】本题考查解一元二次方程，勾股定理逆定理．根据题意解一元二次方程，再利用勾股定理逆定理即可判断本题答案．
【详解】解：∵，
即：，
∴或8，
∵一边长为10，另外两边长为6，8，
∵，
∴为直角三角形．
17．(1)12，38；
(2)．
【分析】本题考查图形规律问题．
（1）根据题意先将第一个图形到第三个图形中点的个数得出，即可按照规律得到本题答案；
（2）由（1）中发现的规律代入字母n即可得到本题答案．
【详解】（1）解：∵第一个图形有3个点，
第二个图形有5个点，
第三个图形有8个点，
∴第四个图形点的个数为：，
∴第八个图形点的个数为：，
（2）解：由（1）中得规律得知第n个图形中点的个数为：
，
故答案为：．
18．(1)图形见解析；
(2)．
【分析】（1）取的中点P，作射线，即可；
（2）由（1）得：为等腰三角形，，可得内切圆的圆心在上，，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径，证明，可得，，设内切圆的半径为r，则，可得，在中，根据勾股定理，求出r，即可求解．
【详解】（1）解：如图，射线即为所求；
理由：∴，，．
∴，
∴为等腰三角形，
由作法得：，
∴平分；
（2）解：由（1）得：为等腰三角形，，
∵平分，
∴内切圆的圆心在上，．
如图，在上取内切圆的圆心O，连接，过点O作于点D，则的长为内切圆的半径，
在和中，
∵，
∴，
∴，
∴，
设内切圆的半径为r，则，
∵，
∴，
在中，，
∴，
解得：，
即内切圆的半径为．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆，全等三角形的判定和性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的内切圆的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键．
19．(1)函数解析式为
(2)
(3)此人应站立在面积至少大的木板上才不至于下陷
【分析】本题主要考查求反比例函数解析式，反比例函数与实际问题，能够通过函数图象判断函数类别以及正确求解函数解析式是解题的关键．
（1）由图象可知压强与接触的受力面积成反比，故可得到对应的反比例函数，再将点代入解析式即可求得反比例函数的解析式，由反比例函数的解析式可分析得到人的体重．
（2）首先换算单位，根据，带入解析式即可求得此人双脚站立时对地面的压强大小．
（3）根据得：，将地面能承受的最大压强代入解析式即可求得至少多大的木板才不至于下陷．
【详解】（1）解：由题可设，
∵点在函数图象上，
∴．
解得．
∴函数解析式为；
（2）解：，
；
（3）解：将代入函数解析式，得：
．
20．(1)，
(2)y的最大值为．
【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质，二次函数的最值问题，求二次函数与坐标轴的交点坐标等等：
（1）利用对称轴计算公式求出对称轴，再求出，当时y的值，即可求出与y轴的交点坐标；
（2）根据开口向上，离对称轴越远函数值越小得到当时取得最小值，据此利用待定系数法求出函数解析式，进而求出当时y的值即可得到答案．
【详解】（1）解：∵抛物线解析式为，
∴对称轴为直线；
在中，当时，，
∴抛物线与y轴的交点坐标为，
故答案为：；；
（2）∵抛物线的对称轴为直线，
∴顶点在范围内．
又∵当x满足时，y的最小值为，且，即抛物线开口向下，
∴离对称轴越远函数值越小，
∴当时取得最小值，
∴，解得，
∴抛物线解析式为，
当时，，即此时y的最大值为．
21．(1)12
(2)见解析
(3)
(4)
【分析】（1）用参加汉字听写的50名同学的人数减去各组的频数即可得出第四组的频数a的值；
（2）由于频数代表长方形的高，由第四组的频数a的值，即可补全频数分布直方图；
（3）用听写得分不低于40分的人数除以参加这次听写的总人数即可得出本次测试的优秀率；
（4）用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画出树状图，共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，根据概率公式就可得出小宇与小强两名男同学分在同一组的概率．
【详解】（1）解：表中a的值是：；
（2）解：根据题意画图如下：
（3）解：本次测试的优秀率是；
（4）解：用A表示小宇，B表示小强，C、D表示其他两名同学，根据题意画树状图如下：
共有12种等可能情况，小宇与小强两名男同学分在同一组的情况有4种，则小宇与小强两名男同学分在同一组的概率是．
【点睛】本题主要考查的是频数分布直方图和利用树状图求概率．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图．解题的关键是熟知统计调查的知识及树状图的画法．
22．(1)正确，证明见解析；
(2)，证明见解析．
【分析】（1）根据题意连接，利用切线性质得，再利用角平分线性质得，后可得即可得到本题答案；
（2）根据题意连接，利用平行线性质及角平分线和圆内接四边形对角互补性质证出
四边形为平行四边形即可得到本题答案．
【详解】（1）解：正确，证明如下：
连接，
，
∵是的切线，
∴．
又∵，是的角平分线，
∴，
∴，
又∵过D作的垂线交于E，
∴．
∴．
∴．
又∵，
∴．
∴．
∴在中，，即；
（2）解：猜想：，证明如下：
连接，
，
∵，，
∴．
即，
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
∵四边形是的内接四边形，
∴．
又∵，
∴．
∴．
即．
∴．
∴四边形为平行四边形．
∴．
综上与平行且相等．
【点睛】本题考查角平分线性质，切线的性质，含角的直角三角形三边关系，平行线判定及性质，圆内接四边形对角互补，平行四边形判定及性质．
23．(1)
(2)
【分析】本题考查待定系数法求解析式，二次函数求最值．
（1）先将点求出，再利用待定系数法求得本题答案；
（2）根据题意设D点坐标为，再利用分割法表示出四边形面积，再利用二次函数求最值即可得到本题答案．
【详解】（1）解：由题意，，故，
将，，代入抛物线解析式，
∴，得，
∴抛物线解析式为；
（2）解：设D点坐标为，
∵平行于y轴，
∴C点横坐标为t．
∵平行于x轴，且A到对称轴的距离是点C到对称轴距离的两倍，
对称轴为直线，
∴，即．
代入解析式得A的纵坐标，
∵，得，
∴D在第四象限的抛物线上．
∴四边形面积，
∴四边形面积，
∵时，S随着t的增大而增大，
故当时，面积S最大值．