浙教版七年级下册数学举一反三系列 专题7.3 期中期末专项复习之整式的乘除十八大必考点（学生版+教师版）

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TOC \ "1-3" \h \u
\l "_Tc18422" 【考点1 幂的基本运算】 PAGEREF _Tc18422 \h 1
\l "_Tc32746" 【考点2 幂的逆运算】 PAGEREF _Tc32746 \h 2
\l "_Tc30329" 【考点3 利用幂的运算进行比较大小】 PAGEREF _Tc30329 \h 2
\l "_Tc26488" 【考点4 幂的混合运算】 PAGEREF _Tc26488 \h 3
\l "_Tc18081" 【考点5 利用幂的运算进行简便计算】 PAGEREF _Tc18081 \h 3
\l "_Tc16935" 【考点6 幂的运算中的新定义问题】 PAGEREF _Tc16935 \h 4
\l "_Tc13892" 【考点7 整式的乘法】 PAGEREF _Tc13892 \h 5
\l "_Tc20690" 【考点8 整式乘法的应用】 PAGEREF _Tc20690 \h 6
\l "_Tc23463" 【考点9 利用乘法公式求值】 PAGEREF _Tc23463 \h 7
\l "_Tc11805" 【考点10 乘法公式的几何背景】 PAGEREF _Tc11805 \h 8
\l "_Tc5769" 【考点11 整式乘除的计算与化简】 PAGEREF _Tc5769 \h 10
\l "_Tc21455" 【考点12 整式混合运算的应用】 PAGEREF _Tc21455 \h 11
\l "_Tc13965" 【考点13 因式分解的概念】 PAGEREF _Tc13965 \h 12
\l "_Tc1036" 【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】 PAGEREF _Tc1036 \h 13
\l "_Tc10776" 【考点15 因式分解（十字相乘法）】 PAGEREF _Tc10776 \h 13
\l "_Tc32078" 【考点16 因式分解（分组分解法）】 PAGEREF _Tc32078 \h 15
\l "_Tc8397" 【考点17 利用因式分解求值】 PAGEREF _Tc8397 \h 15
\l "_Tc22359" 【考点18 因式分解的应用】 PAGEREF _Tc22359 \h 16
【考点1 幂的基本运算】
【例1】（2022·湖南娄底·七年级期中）如果，那么的值为（ ）
A．4B．5C．6D．7
【变式1-1】（2022·广东·德庆县德庆中学七年级期中）解答下列问题：
（1）已知，，求的值；
（2）若，求的值．
【变式1-2】（2022·安徽合肥·七年级期中）已知，则x、y、z三者之间关系正确的是（ ）
A．xy=2zB．x+y=2zC．x+2y=2zD．x+2y=z
【变式1-3】（2022·黑龙江·大庆市第十九中学七年级期中）已知5a=2b=10，那么 的值为________.
【考点2 幂的逆运算】
【例2】（2022·四川·渠县流江初级实验中学七年级期中）如果3a＝5，3b＝10，那么的值为( )
A． B． C． D．不能确定
【变式2-1】（2022·安徽·合肥新华实验中学七年级期中）如果，，求：
(1)的值；
(2)的值．
【变式2-2】（2022·北京昌平·七年级期中）将幂的运算逆向思维可以得到，，，，在解题过程中，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解．
(1) ______ ；
(2)若，求的值；
【变式2-3】（2022·四川省渠县中学七年级期中）（1）已知4m＝a，8n＝b，用含a，b的式子表示下列代数式：
①求：的值．
②求：的值．
（2）已知2×8x×16＝223，求x的值．
【考点3 利用幂的运算进行比较大小】
【例3】（2022·福建省罗源第二中学八年级期中）若a＝3555，b＝4444 ，c＝5333，比较a、b、c的大小（ ）
A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．c＞b＞a
【变式3-1】（2022·江苏·江阴市华士实验中学七年级期中）阅读下列材料:
若，则a，b的大小关系是a_____ b (填“<”或“>”).
解:因为，所以，
所以.
解答下列问题:
(1)上述求解过程中，逆用了哪一条幂的运算性质_
A．同底数幂的乘法 B．同底数幂的除法 C．幂的乘方 D．积的乘方
(2)已知，试比较x与y的大小．
【变式3-2】（2022·内蒙古·赤峰市松山区大庙中学八年级期中）阅读探究题：．
【阅读材料】
比较两个底数大于1的正数幂的大小，可以在底数（或指数）相同的情况下，比较指数（或底数）的大小，
如：，
在底数（或指数）不相同的情况下，可以化相同，进行比较，如：与，
解：，∵，∴
[类比解答]比较，的大小．
[拓展拔高]比较，，的大小．
【变式3-3】（2022·河北石家庄·七年级期中）阅读：已知正整数，，，若对于同底数，不同指数的两个幂和 ，当时，则有；若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有>，根据上述材料，回答下列问题．[注（2），（3）写出比较的具体过程]
(1)比较大小：______，______；（填“>”、“<”或“=”）
(2)比较与的大小；
(3)比较与的大小．
【考点4 幂的混合运算】
【例4】（2022·福建漳州·七年级期中） 计算
(1)
(2)
(3)
(4)
【变式4-1】（2022·陕西西安·七年级期中）计算：．
【变式4-2】（2022·重庆市第十一中学校七年级期中）计算：
(1)；
(2)．
【变式4-3】（2022·黑龙江·巴彦县第一中学八年级期中）计算：（1）
（2）
【考点5 利用幂的运算进行简便计算】
【例5】（2022·黑龙江·哈尔滨市虹桥初级中学校七年级期中）计算_________．
【变式5-1】（2022·湖南怀化·七年级期中）计算（﹣0.25）2022×42021的结果是（ ）
A．﹣1B．1C．0.25D．44020
【变式5-2】（2022·上海杨浦·七年级期中）用简便方法计算：
【变式5-3】（2022·福建·泉州市第九中学八年级期中）阅读：已知正整数a、b、c，显然，当同底数时，指数大的幂也大，若对于同指数，不同底数的两个幂和，当时，则有，根据上述材料，回答下列问题．
(1)比较大小：_________ （填写>、<或=）．
(2)比较与的大小（写出比较的具体过程）．
(3)计算．
【考点6 幂的运算中的新定义问题】
【例6】（2022·山东省青岛第五十一中学七年级期中）阅读材料：
定义：如果，那么称a为n的劳格数，记为，
例如：，那么称2是100的劳格数，记为．
填空：根据劳格数的定义，在算式中，______相当于定义中的n，所以______；
直接写出______；
探究：某数学研究小组探究劳格数有哪些运算性质，以下是他们的探究过程
若a、b、m、n均为正数，且，，
根据劳格数的定义：，______，
∵
∴，这个算式中，______相当于定义中的a，______相当于定义中的n，
∴______，即，
请你把数学研究小组探究过程补全
拓展：根据上面的推理，你认为：______．
【变式6-1】（2022·北京·清华附中八年级期中）定义一种新运算，若，则，例，．若，则的值为______．
【变式6-2】（2022·江苏连云港·七年级期中）阅读下列材料：小明为了计算的值，采用以下方法：
设①
则②
②①得，．
请仿照小明的方法解决以下问题：
（1）______；
（2）求______；
（3）求的和；（请写出计算过程）
（4）求的和（其中且）．（请写出计算过程）
【变式6-3】（2022·山东德州·八年级期中）一般地，n个相同的因数a相乘a•a•…•a，记为an；如2×2×2＝23＝8，此时3叫做以2为底8的对数，记为lg28（即lg28＝3），一般地，若an＝b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为lgab（即lgab＝n），如34＝81，则4叫做以3为底81的对数，记为lg381（即lg381＝4）．
（1）计算下列各对数的值：lg24＝ ；lg216＝ ；lg264＝ ；
（2）你能得到lg24、lg216、lg264之间满足怎样的关系式： ；
（3）由（2）的结果，请你归纳出lgaM、lgaN、lgaMN之间满足的关系式： ；
（4）根据幂的运算以及对数的含义验证（3）的结论．
【考点7 整式的乘法】
【例7】（2022·福建·大同中学八年级期中）计算得到的多项式不含x、y的一次项，其中a，b是常数，则的值为（ ）
A．1B．C．D．7
【变式7-1】（2022·江西景德镇·七年级期中）小邢同学在计算中的“b”看成了“6”，算的结果为，而且小颖同学在计算时将“”看成了“”，算的结果为．
(1)求出a、b的值；
(2)计算出的正确结果，
【变式7-2】（2022·江苏·扬州市江都区第三中学七年级期中）我国南宋数学家杨辉用“三角形”解释二项和的乘方规律，称之为“杨辉三角”，这个“三角形”给出了的展开式的系数规律（按n的次数由大到小的顺序）．
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
…… ……
请依据上述规律，写出展开式中含项的系数是（ ）
A．2022B．C．D．4042
【变式7-3】（2022·全国·八年级专题练习）设都是正数，，，试比较M、N的大小．
【考点8 整式乘法的应用】
【例8】（2022·浙江宁波·七年级期中）如图①，现有边长为和的正方形纸片各一张，长和宽分别为、的长方形纸片一张，其中．把纸片I、III按图②所示的方式放入纸片II内，已知图②中阴影部分的面积满足，则，满足的关系式为（ ）
A．B．C．D．
【变式8-1】（2022·山东泰安·期中）如图①所示，在一个边长为的正方形纸片上剪去两个小长方形，得到一个如图②的图案，再将剪下的两个小长方形拼成一个新的长方形，如图③所示，则新长方形的面积可表示为__________．
【变式8-2】（2022·安徽·宿城第一初级中学七年级期中）如图，一个长方形中剪下两个大小相同的正方形（有关线段的长如图所示）留下一个“T”型的图形（阴影部分）
(1)用含，的代数式表示“T”型图形的面积并化简．
(2)若米，“T”型区域铺上价格为每平方米20元的草坪，请计算草坪的造价．
【变式8-3】（2022·浙江·余姚市舜水中学七年级期中）如图，长为，宽为的大长方形被分割成小块，除阴影部分A，B外，其余块是形状、大小完全相同的小长方形，其较短一边长为．
(1)由图可知，每个小长方形较长一边长为________．（用含的代数式表示）
(2)分别用含，的代数式表示阴影部分A，B的面积．
(3)当取何值时，阴影部分A与阴影部分的面积之差与的值无关？并求出此时阴影部分A与阴影部分的面积之差．
【考点9 利用乘法公式求值】
【例9】（2022·江苏·扬州市邗江区实验学校七年级期中）若x2+（k﹣1）x+9是一个完全平方式，则k值为_____．
【变式9-1】（2022·湖南株洲·七年级期中）已知a﹣b＝2，a2+b2＝20，则ab值是（ ）
A．﹣8B．12C．8D．9
【变式9-2】（2022·湖北武汉·八年级期中）如图，正方形的边长为m＋5，面积记为S1，长方形的两边长分别为m＋3，m＋9，面积记为S2（其中m为正整数）．若某个图形的面积S介于S1，S2之间（不包括S1，S2），S的整数值有且只有15个，则m＝_______．
【变式9-3】（2022·江苏镇江·七年级期中）阅读下列材料：
教科书中这样写道：“我们把多项式及叫做完全平方式”，如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．即将多项式（b、c为常数）写成（h、k为常数）的形式．配方法是一种重要的解决数学问题的方法，不仅可以将有些看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些与非负数有关的问题及求代数式最大、最小值等问题．
【知识理解】
(1)若多项式是一个完全平方式，那么常数k的值为（ ）
A．4 B．8 C． D．
(2)若多项式是一个完全平方式，那么常数m的值为________；
(3)配方：______；______；
【知识运用】
(4)通过配方发现，代数式有最小值，则最小值为______；
(5)利用配方法因式分解：____________；
(6)已知，则______、______；
(7)若，，则M______N（用“<、>”号填空）．
【考点10 乘法公式的几何背景】
【例10】（2022·四川·金堂县淮口中学校七年级期中）用两种不同方法计算同一图形的面积，可以得到一个等式，如图1，是用长为x，宽为y(xy)的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分（小正方形）的面积，可得到、、xy三者之间的等量关系式：__________；如图2所示的大正方体是若干个小正方体和长方体拼成的，用两种不同的方法计算大正方体的体积，我们也可以得到一个等式：__________．
利用上面所得的结论解答：
（1）已知xy，x+y=3，5xy=，求x-y的值；
（2）已知，求a3+b3值．备注：a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)．
【变式10-1】（2022·河南南阳·八年级期中）探究活动：
(1)如图①，可以求出阴影部分的面积是_____（写成两数平方差的形式）；
(2)如图②，若将图①中阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，面积是_____（写成多项式乘法的形式）；
(3)比较图①，图②阴影部分的面积，可以得到公式_____．
(4)知识应用：运用你得到的公式解决以下问题：计算：（a+b﹣2c）（a+b+2c）；
(5)若＝10，4x+6y＝4，求2x﹣3y的值．
【变式10-2】（2022·福建·明溪县教师进修学校七年级期中）阅读理解：
若x满足，试求的值，
解：设，，则，且a＋b＝(210－x)＋(x－200)＝10，
∵，
∴，即的值为．
解决问题
(1)若x满足，则 ；
(2)若(2022－x)2＋(x－2002)2＝2020，求的值；
(3)如图，在长方形ABCD中，AB＝10，BC＝6，点E，F分别是BC，CD上的点，且BE＝DF＝x ，分别以FC，CE为边在长方形ABCD外侧作正方形CFGH 和CEMN，若长方形CEPF的面积为40平方单位，则图中阴影部分的面积和为多少？
【变式10-3】（2022·湖南·常德市第二中学七年级期中）（1）①如图1，已知正方形的边长为，正方形的边长为，长方形和为阴影部分，则阴影部分的面积是______（写成平方差的形式）；
②将图1中的长方形和剪下来，拼成图2所示的长方形，则长方形的面积是______（写成多项式相乘的形式）；
（2）比较图1与图2的阴影部分的面积，可得乘法公式______．
（3）利用所得公式计算：
【考点11 整式乘除的计算与化简】
【例11】（2022·浙江·嵊州市马寅初初级中学七年级期中）老师在黑板上书写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了一个多项式，形式如下：
，所捂多项式是________．
【变式11-1】（2022·浙江·永嘉县崇德实验学校七年级期中）若定义 表示， 表示，则运算÷的结果为（ ）
A．B．C．D．
【变式11-2】（2022·山东淄博·期中）王老师给学生出了一道题：
求的值，其中，．
同学们看了题目后发表不同的看法．
小明说：“条件是多余的．”
小亮说：“不给这个条件，就不能求出结果，所以不多余．”
(1)你认为他俩谁说的有道理？为什么？
(2)若本题的结果等于M，试求M的值．
【变式11-3】（2022·重庆市万州第二高级中学八年级期中）已知a、b、c为实数，且多项式x3＋ax2＋bx＋c能被多项式x2＋3x－4整除，
（1）求4a＋c的值；
（2）若a、b、c为整数，且c≥a＞1，试确定a、b、c的值．
【考点12 整式混合运算的应用】
【例12】（2022·北京·八年级期中）随着某种产品的原料涨价，因而厂家决定对产品进行提价，设该产品原价为1元，现在有两种提价方案：
方案1：第一次提价x%，第二次提价y%；
方案2：第一次、二次提价均为．
其中x，y是不相等的正数，请判断在分别实施这两种方案后哪种方案最终价格更高？并用乘法公式证明．
【变式12-1】（2022·重庆·八年级期中）近年来，重庆成为了众多游客前来旅游的网红城市．某商场根据游客的喜好，推出A、两种土特产礼盒，A种礼盒内有3袋磁器口麻花，3包火锅底料；种礼盒里有2袋磁器口麻花，3包火锅底料，2袋合川桃片．两种礼盒每盒成本价分别为盒内所有土特产的成本价之和．已知每袋合川桃片的成本价是每包火锅底料成本价的一半，A种礼盒每盒的售价为108元，利润率为．今年10月1日卖出A、两种礼盒共计80盒，工作人员在核算当日卖出礼盒总成本时把磁器口麻花和火锅底料的成本价看反了，导致当日卖出礼盒的实际总成本比核算时的成本少了280元，则当日卖出礼盒的实际总成本为 __元．
【变式12-2】（2022·重庆南开中学七年级期中）春天是耕种的最佳时节，我校两个劳动实践小组在试验田里种植了黄瓜、番茄、辣椒三种蔬菜，单位面积种植黄瓜、番茄、辣椒的株数之比为1：2：2．第一小组种植黄瓜、番茄、辣椒面积之比为3：2：4，第二小组在余下的实验田里继续种植这三种蔬菜，将余下试验田面积的种植辣椒，辣椒的种植总面积将达到这三种蔬菜种植总面积的，且第二小组种植三种蔬菜的总株数是第一小组种植三种蔬菜的总株数的，则最后实验田里种植黄瓜和番茄的总株数之比为__________．
【变式12-3】（2022·重庆巴蜀中学七年级期中）南山植物园坐落在省级南山风景名胜区群山之中，与重庆主城区夹长江面峙，是一个以森林为基础，花卉为特色的综合性公园．备受重庆人民的喜爱；每到春季，上山赏花的人络绎不绝；一植物园附近的市民嗅到了商机，开办了植物花卉门市；将A、B、C三种花卉包装成“如沐春风”、“懵懂少女”、“粉色回忆”三种不同的礼盒进行销售；用A花卉2支、B花卉4支、C花卉10支包装成“如沐春风”礼盒；用A花卉2支、B花卉2支、C种花卉4支包装成“惜懂少女”礼盒；用A花卉2支、B花卉3支、C花卉6支包装成“粉色回忆”礼盒；包装费忽略不计，且每支B花卉的成本是每支C花卉成本的4倍，每盒“如沐春风”礼盒的总成本是每盒“懵懂少女”礼盒总成本的2倍；该商家将三种礼盒均以利润率50%进行定价销售；某周末，该门市为了加大销量，将“如沐春风”、“懵懂少女”两种礼盒打八折进行销售，且两种礼盒的销量相同，“粉色回忆”礼盒打九折销售；销售完毕后统计发现，三种礼盒的总成本恰好为总利润的4倍，则该周末“粉色回忆”礼盒的总利润与三种礼盒的总利润的比值为 ___．
【考点13 因式分解的概念】
【例13】（2022·江苏徐州·七年级期中）下列各式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A．B．
C．D．
【变式13-1】（2022·山东·海川中学八年级期中）下列多项式中，能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A．x2﹣x+1B．1﹣2xy+x2y2C．a2﹣aD．a2+2ab﹣b2
【变式13-2】（2022·云南省个旧市第二中学八年级期中）下列多项式中，不能进行因式分解的是（ ）
A．a3－3a2＋2aB．a2－2ab＋b2－1C．－a2＋b2D．－a2－b2
【变式13-3】（2022·上海·七年级期中）下列各式中，正确分解因式的个数为（ ）
①
②
③
④
⑤
A．B．C．D．
【考点14 因式分解（提公因式与公式法综合）】
【例14】（2022·福建省泉州实验中学八年级期中）因式分解：
(1)；
(2)．
【变式14-1】（2022·广东·佛山市顺德养正学校八年级期中）已知，先因式分解，再求值：．
【变式14-2】（2022·甘肃·临泽县第三中学八年级期中）分解因式．
(1)
(2)
【变式14-3】（2022·浙江·宁波大学青藤书院七年级期中）因式分解：
(1)；
(2)2m（a﹣b）﹣3n（b﹣a）．
【考点15 因式分解（十字相乘法）】
【例15】（2022·广东·揭西县宝塔实验学校八年级期中）阅读与思考：
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．
由(x＋p)(x＋q)＝x2＋(p＋q)x＋pq，得x2＋(p＋q)x＋pq＝(x＋p)(x＋q)；
利用这个式子可以将某些二次项系数是1的二次三项式因式分解．
例如：将式子x2＋3x＋2因式分解．
分析：这个式子的常数项2＝1×2，一次项系数3＝1＋2，所以x2＋3x＋2＝x2＋(1＋2)x＋1×2
解：x2＋3x＋2＝(x＋1)(x＋2)．
请仿照上面的方法，解答下列问题：
(1)因式分解：x2＋7x－18＝______________；
(2)填空：若x2＋px－8可分解为两个一次因式的积，则整数p的所有可能值是______________
(3)利用因式解法解方程：x2－6x＋8＝0；
【变式15-1】（2022·上海闵行·七年级期中）在因式分解的学习中我们知道对二次三项式可用十字相乘法方法得出，用上述方法将下列各式因式分解：
(1)__________．
(2)__________．
(3)__________．
(4)__________．
【变式15-2】（2022·浙江杭州·七年级期中）分解因式：________．
【变式15-3】（2022·贵州铜仁·七年级期中）
(1)【阅读与思考】
整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式分解因式呢？我们已经知道：．反过来，就得到：．我们发现，二次三项式的二次项的系数分解成，常数项分解成，并且把，，，，如图1所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于的一次项系数，那么就可以分解为，其中，位于图的上一行，，位于下一行．像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”．
例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即，把常数项也分解为两个因数的积，即；然后把1，1，2，按图2所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到，恰好等于一次项的系数，于是就可以分解为．
请同学们认真观察和思考，尝试在图3的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式： __________．
(2)【理解与应用】
请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式：
① __________；
② __________．
(3)【探究与拓展】
对于形如的关于，的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解，如图4．将分解成乘积作为一列，分解成乘积作为第二列，分解成乘积作为第三列，如果，，，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题：
① 分解因式__________；
② 若关于，的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求的值．
【考点16 因式分解（分组分解法）】
【例16】（2022·上海市娄山中学九年级期中）分解因式：__________．
【变式16-1】（2022·上海·七年级期中）因式分解：
【变式16-2】（2022·湖南常德·七年级期中）分解因式：3x2﹣xy﹣2y2﹣x+y．
【变式16-3】（2022·福建省福州延安中学八年级期中）（1）将一个多项式分组后，可提公因式或运用公式继续分解的方法是分组分解法．例如：am+an+bm+bn＝（am+an）+（bm+bn）＝a（m+n）+b（m+n）＝（a+b）（m+n）．
①分解因式：ab﹣2a﹣2b+4；
②若a，b（a＞b）都是正整数且满足ab﹣2a﹣2b﹣4＝0，求2a+b的值；
（2）若a，b为实数且满足ab﹣a﹣b﹣1＝0，整式M＝a2+3ab+b2﹣9a7b，求整式M的最小值．
【考点17 利用因式分解求值】
【例17】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为．当时，，，，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于的多项式分解因式后，利用题目中所示的方法，当时可以得到数字密码182016，求，的值．
【变式17-1】（2022·湖南·武冈市教育科学研究所七年级期中）已知，，则的值是（ ）
A．B．3C．2D．
【变式17-2】（2022·浙江·七年级期中）已知，，则代数式的值是________．
【变式17-3】（2022·河南周口·八年级期中）已知a＝2019x+2016，b＝2019x+2017，c＝2019x+2018，则多项式a2+b2+c2﹣ab﹣bc﹣ac的值为_____．
【考点18 因式分解的应用】
【例18】（2022·湖南永州·七年级期中）在当今“互联网＋”时代，有一种用“因式分解法”生成密码的方法：将一个多项式因式分解，如将多项式因式分解的结果为．当时，，，，此时可以得到数字密码171920．
(1)根据上述方法，当，时，对于多项式分解因式后可以形成数字密码：____________．
(2)将关于的多项式分解因式后，利用题目中所示的方法，当时可以得到数字密码182016，求，的值．
【变式18-1】（2022·浙江·义乌市稠州中学教育集团七年级期中）先阅读下列材料，然后解决后面的问题．
材料：一个三位数（百位数为a，十位数为b，个位数为c），若a+c=b，则称这个三位数为“协和数”，同时规定c=（k≠0），k称为“协和系数”，如264，因为它的百位上数字2与个位数字4之和等于十位上的数字6，所有264是“协和数”，则“协和数”k=2×4=8．
(1)判断132，123，321这三个数中， 是“协和数”．
(2)对于“协和数”，求证：“协和数”能被11整除．
(3)已知有两个十位数相同的“协和数”，（＞），且，若，用含b的式子表示y．
【变式18-2】（2022·广东·广州六中八年级期中）对任意一个数m，如果m等于两个正整数的平方和，那么称这个数m为“平方和数”，若（a、b为正整数），记．例如：，29就是一个“平方和数”，则．
(1)判断45是否是“平方和数”，若是，请计算的值；若不是，请说明理由；
(2)若是一个不超过50的“平方和数”，且，求的值；
(3)对任意一个数m，如果m等于两个整数的平方和，那么称这个数m为“广义平方和数”，若m和n都是“广义平方和数”，请说明它们的乘积mn也是“广义平方和数”．
【变式18-3】（2022·福建省永春第一中学八年级期中）学习整式乘法时，老师拿出三种型号卡片，如图1．
(1)利用多项式与多项式相乘的法则，计算： ；
(2)选取张型卡片，张型卡片，则应取 张型卡片才能用他们拼成一个新的正方形，此新的正方形的边长是 （用含的代数式表示）；
(3)选取张型卡片在纸上按图的方式拼图，并剪出中间正方形作为第四种型卡片，由此可检验的等量关系为 ；
(4)选取张型卡片，张型卡片按图的方式不重复的叠放长方形框架内，已知的长度固定不变，的长度可以变化，且．图中两阴影部分（长方形）的面积分别表示为，若，则与有什么关系？请说明理由．