湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)

这是一份湖南省长沙市长郡教育集团联考2023-2024学年八年级上学期期末数学试题(含答案)，共21页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（ ）
A．B．C．D．
2．下列计算正确的是（ ）
A．B．C．D．
3．根据携程发布的《2024年元旦跨年旅游报告》显示：星城长沙上榜2024年元旦跨年热门旅游目的地．元旦假期，长沙市接待游客超过6000000人次．6000000用科学记数法表示应为（ ）
A．B．
C．D．
4．下列属于最简二次根式的是（ ）
A．B．C．D．
5．如果是一个完全平方式，则m的值是（ ）
A．3B．9C．6D．
6．把分式中的和都扩大10倍，则分式的值（ ）
A．扩大10倍B．扩大100倍
C．缩小为D．不变
7．已知等腰三角形周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的腰为 （ ）
A．7cmB．3cmC．5cm 或3cmD．5cm
8．在△ABC中，∠ACB为直角，∠A=30°，CD⊥AB于D，若BD=1，则AB的长度是（ ）
A．4B．3C．2D．1
9．某地开展建设绿色家园活动，活动期间，计划每天种植相同数量的树木，该活动开始后、实际每天比原计划每天多植树50棵，实际植树400棵所需时间与原计划植树300棵所需时间相同．设实际每天植树x棵．则下列方程正确的是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，已知，点D是的平分线上的一个定点，点E，F分别在射线和射线上，且．下列结论：①是等边三角形；②四边形的面积是一个定值；③当时，的周长最小；④当时，也平行于．其中正确的个数是（ ）

A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
11．化简： .
12．若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是 ．
13．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标是 ．
14．如图，在中，，，垂直平分，分别交，于点，，若，则 ．
15．如图，在中，为的角平分线，，垂足为，，垂足为，若，，，则的面积为 ．
16．若代数式2a2+3a+1的值是6，则代数式6a2+9a+5的值为 ．
三、解答题
17．分解因式： ①； ②
18．计算下列各式：
(1)；
(2)．
19．解分式方程
(1)
(2)
20．先化简，再求值：，其中．
21．如图，在和中，，，，且点D在线段上，连．
(1)求证：；
(2)若，求的度数．
22．如图，在中，已知，D是边上的一点，，，.
(1)求证：是直角三角形；
(2)求的面积.
23．某商店购进A，两种商品，购进一个A商品比购买一个商品少10元，并且花费100元购买的A商品和花费300元购进的商品的数量相等．
(1)求购买一个商品和商品各需要多少元；
(2)商店准备购进A，两种商品共80件，若商品的数量不少于A商品的4倍，并且购买A，商品的总费用不低于1000且不高于1100，那么商店有几种购买方案？
24．我们规定：在最简分式中，分子、分母都是各项系数为整数的整式的情况下，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数不低于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式与一个真分式的和为整式，则称与互为“和整分式”．
(1)已知：下列分式与假分式互为“和整分式”的是________．
①；②；③．
(2)若假分式，存在一个真分式与互为“和整分式”．
①求真分式；②当时，求的值．
(3)若与均与真分式互为“和整分式”，直接写出当整数为何值时，分式的值为整数．
25．如图1，点为的外角的平分线上一点，，于．
(1)求证：；
(2)若，连接，，，求的长度；
(3)如图2，若，分别是边，上的点，且，求证：．
参考答案：
1．A
【分析】根据轴对称图形的概念求解．如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．
【详解】A．是轴对称图形，故A符合题意；
B．不是轴对称图形，故B不符合题意；
C．不是轴对称图形，故C不符合题意；
D．不是轴对称图形，故D不符合题意．
故选：A．
【点睛】本题主要考查轴对称图形的知识点．确定轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合．
2．B
【分析】本题考查了整式的运算，根据同底数幂的乘法和除法，积的乘方，合并同类项的运算法则计算即可．
【详解】解：A、，故选项A错误，不符合题意；
B、，故选项B正确，符合题意；
C、，故选项C错误，不符合题意；
D、和不是同类项，不能合并，故选项D错误，不符合题意；
故选：B．
3．C
【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数．绝对值大于1的数可以用科学记数法表示，一般形式为，为正整数，且比原数的整数位数少1，据此可以解答．
【详解】解：6000000用科学记数法表示应为．
故选：C
4．B
【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，根据最简二次根式的定义:被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式判断即可．
【详解】解：．，被开方数含能开得尽方的数，故本选项不符合题意；
．是最简二次根式，故本选项符合题意；
．，被开方数是小数，故本选项不符合题意；
．，被开方数含能开得尽方的数，故本选项不符合题意；
故选：B．
5．B
【分析】根据完全平方公式可进行求解．
【详解】解：∵，
∴如果是一个完全平方式，则m的值是9；
故选B．
【点睛】本题主要考查完全平方式，熟练掌握完全平方式是解题的关键．
6．A
【分析】本题考查了分式的基本性质，分式的分子分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．根据分式的基本性质，可得答案．
【详解】解：如果把分式中的和都扩大10倍得，
∴新分式与原分式相比，新分式的值扩大10倍，
故选：A．
7．D
【分析】分3cm长的边是腰和底边两种情况进行讨论即可求解．
【详解】当长是3cm的边是底边时，三边为3cm，5cm，5cm，等腰三角形成立；
当长是3cm的边是腰时，底边长是：13-3-3=7cm，而3+3＜7，不满足三角形的三边关系．
故腰长是：5cm．
故选D.
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的计算，正确理解分两种情况讨论，并且注意到利用三角形的三边关系定理，是解题的关键．
8．A
【详解】∵CD⊥AB，∠ACB是直角，∠A=30°，
∴∠BCD=30°，
∴BC=2BD，AB=2BC，
∴AB=4BD=4×1=4，
故选A.
9．B
【分析】设实际平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，根据：实际植树400棵所需时间=原计划植树300棵所需时间，这一等量关系列出分式方程即可．
【详解】解：设现在平均每天植树x棵，则原计划每天植树（x-50）棵，
根据题意，可列方程：，
故选：B．
【点睛】此题考查了由实际问题列分式方程，关键在寻找相等关系，列出方程．
10．C
【分析】如图1，连接，作于，于，由角平分线的性质定理可得，证明，则，是等边三角形；进而可判断①的正误；由，可知，进而可判断②的正误；由的周长为，可知当时，最短， 的周长最小，进而可判断③的正误；如图2，当时，，则是等边三角形，则与重合，与交于点；进而可判断④的正误．
【详解】解：如图1，连接，作于，于，

∵点D是的平分线上的一个定点，
∴，
∴，
∴，即，
∵，，，
∴，
∴，
∴是等边三角形；①正确，故符合要求；
∵，
∴，
∵点D是的平分线上的一个定点，
∴四边形的面积是一个定值；②正确，故符合要求；
∵的周长为，
当时，最短，即等边的周长最小，③正确，故符合要求；
如图2，当时，

∴，
∴是等边三角形，
∵是等边三角形，
∴与重合，与交于点；④错误，故不符合要求；
故选：C．
【点睛】本题考查了角平分线的性质定理，全等三角形的判定与性质，多边形内角和定理，等边三角形的判定与性质，垂线段最短，平行线的性质等知识．熟练掌握角平分线的性质定理是解题的关键．
11．
【分析】先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可．
【详解】 ．
故答案为．
【点睛】本题考查二次根式的计算，在进行此类运算时，一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算．
12．x≥
【分析】根据二次根式的被开方数是非负数即可得出答案．
【详解】解：∵2x﹣3≥0，
∴x≥．
故答案为：x≥．
【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．
13．（3，6）
【分析】根据关于轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，可得答案．
【详解】∵点P(3，-6)关于x轴对称，
∴横坐标相等，纵坐标互为相反数，
∴点P(3，-6)关于x轴对称的点的坐标是（3，6），
故答案为：（3，6）．
【点睛】本题考查了关于x轴对称的点的坐标，利用关于x轴对称的点的横坐标相等，纵坐标互为相反数是解题关键．
14．3
【分析】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，含的直角三角形的性质，三角形的内角和定理的应用，本题先证明，，求解，可得，从而可得答案．
【详解】解：∵垂直平分，，
∴，而，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
故答案为：3．
15．4
【分析】此题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解决此题关键．根据角平分线的性质可得的长，然后根据三角形面积公式可得答案．
【详解】解：∵为的角平分线，，，
∴，
∵，
∴
．
故答案为：4．
16．20
【分析】由题意列出关系式，求出2a2+3a的值，将所求式子变形后，把2a2+3a的值代入计算即可求出值．
【详解】∵2a2+3a+1=6，即2a2+3a=5，
∴6a2+9a+5=3（2a2+3a）+5=20．
故答案为20．
【点睛】本题考查的知识点是代数式求值，解题关键是利用整体代入的思想进行解答．
17．①（x+2y）（x-2y）；
【详解】试题分析：（1）根据平方差公式进行因式分解；
（2）先提前公因式3，然后利用完全平方和公式进行二次分解．
试题解析：（1）原式== (x+2y)(x−2y)；
（2）原式=3(a2+2ab+b2)=3(a+b)2.
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了分式的混合运算．
（1）利用平方差公式展开，然后提公因式化简即可．
（2）先算括号里面的，然后提公因式化简即可．
【详解】（1）解：
；
（2）
．
19．(1)无解
(2)
【分析】（1）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；
（2）先把分式方程两边同时乘以，转化成整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．
【详解】（1）解：
当时，，
∴是原方程的增根，此方程无解．
（2）解：
当，，，
∴是方程的解．
【点睛】本题考查了解分式方程，先将方程转化为整式方程进行计算，最后一定要检验．
20．，
【分析】本题主要考查了分式的化简求值，运用完全平方公式以及平方差公式以及提公因式对分式进行化简，之后代入x，即可求出结果．
【详解】解：
当，
原式．
21．(1)见解析
(2)
【分析】（1）证出∠BAD=∠CAE，由SAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）先由全等三角形的性质得到，再由和都是等腰直角三角形，得到且，利用三角形内角和定理求出∠AEC的度数，即可求出∠CED的度数．
【详解】（1）证明：∵，
∴，即．
在与中，
，
∴≌（SAS）；
（2）解：由（1）得，
又∵和都是等腰直角三角形，
∴且，
在中∵且
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟知全等三角形的性质与判定条件是解题的关键．
22．(1)见解析
(2)
【分析】本题主要考查了勾股定理和其逆定理以及等腰三角形的性质，解题关键是利用勾股定理构造方程求出腰长．
（1）根据勾股定理的逆定理证明即可；
（2）设，则，利用勾股定理列方程求得，从而求得，再利用三角形的面积公式求解即可．
【详解】（1）证明：∵，，，
∴在中，，即，
∴是直角三角形；
（2）解：设，则，
在中，，
解得：，
∴，
∴．
23．(1)A商品的单价为5元，商品的单价为15元．
(2)7种方案．
【分析】本题考查了分式方程的应用、一元一次不等式组的应用等知识点，审清题意、弄清关系、根据等量关系和不等关系列出分式方程和不等式组是解题的关键．
（1）设商品单价为元，则商品单价为元，，根据等量关系“费100元购买的A商品和花费300元购进的商品的数量相等”列关于的分式方程，解之经检验后即可解答；
（2）设A商品购买件，商品购买件，根据不等关系“商品的数量不少于A商品的4倍”和“购买A，商品的总费用不低于1000且不高于1100”列关于的一元一次不等式组，解之即可得出m的取值范围，再结合m为整数即可确定购买方案数．
【详解】（1）解：设商品单价为元，则商品单价为元，
由题意可得：，解得：，
经检验是原方程的根．
答：商品的单价为5元，商品的单价为15元．
（2）解：设A商品购买件，商品购买件．
由题意可得：，解得：，
又∵为正整数.
∴、11、12、13、14、15、16，共7种方案．
24．(1)②
(2)①；②
(3)当整数为或或或或或时，分式的值为整数
【分析】本题考查分式的加减运算，求代数式，分式为整数，
（1）根据“和整分式”的定义进行判断即可；
（2）①根据“和整分式”的定义可得的值；②根据，得到，然后代入计算即可；
（3）根据“和整分式”的定义可得出为整数，即可求解；
掌握分式的运算法则是解题的关键．
【详解】（1）解：①∵
，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
②∵，
则该分式与假分式的和是整式，
∴该分式与假分式互为“和整分式”；
③∵，
则该分式与假分式的和不是整式，
∴该分式与假分式不是互为“和整分式”；
故答案为：②；
（2）①∵，
又∵存在一个真分式与互为“和整分式”，
∴；
②∵，
∴，
当时，；
（3）∵与均与真分式互为“和整分式”，
设，，
∴，都是整式，且，
∵的值为整数，
∴为整数，
∴能被整除，且即，
∴或或，
解得：或或或或或，
∴当整数为或或或或或时，分式的值为整数．
25．(1)见解析
(2)
(3)见解析
【分析】（1）过作交于，根据角平分线性质得到，结合，得到，即得；
（2）根据全等三角形性质得到，，得到，推出四边形是正方形，根据，得到，设，得到，，根据勾股定理得到，解得，即得；
（3）在上截取，连接，证明，得到， ，得到，根据，得到，得到，推出，得到，即得；
本题主要考查了角平分线，全等三角形．熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的性质与判定，是解题的关键．
【详解】（1）如图1，过作交于，
∵点为的平分线上一点， 于，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）如图2，
∵，
∴，，
∴，
即，
∵，，
∴四边形是正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，则，
∴，
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）如图3，在上截取，连接，
∵，，
∴，
∴，，
∴，
即，
∵，
∴，
即，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴．