高二下学期期中考测试卷（数列、导数、计数原理）-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

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说明：1．本试题共4页，满分150分，考试时间120分钟。
2．答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名、试室号、座位号填写在答题卷上。
3. 答题必须使用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卷上各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．考生必须保持答题卷整洁，考试结束后，将答题卷交回，试卷自己保存。
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.）
1．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）的展开式中的项系数为（ ）
A．30B．10C．-30D．-10
2．（2023春·广东佛山·高二佛山市南海区第一中学校考阶段练习）数列满足，，则（ ）
A．B．C．D．
3．（2023秋·广东揭阳·高三统考期中）已知函数，是函数的导函数，则的图像大致是（ ）
A．B．
C．D．
4．（2022春·广东佛山·高二顺德市李兆基中学校考期中）已知e为自然对数的底数，则曲线在点处的切线方程为（ ）
A．B．C．D．
5．（2022春·广东佛山·高二校考阶段练习）将5种不同的花卉种植在如图所示的四个区域中，每个区域种植一种花卉，且相邻区域花卉不同，则不同的种植方法种数是（ ）．
A．420B．180C．64D．25
6．（2023秋·广东深圳·高二校考阶段练习）已知数列满足，若，则数列的前项和（ ）
A．B．
C．D．
7．（2022春·广东深圳·高二深圳大学附属中学校考阶段练习）设，，（为自然对数的底数），若不是函数的极值点，则的最小值为（ ）
A．B．C．D．
8．（2023春·高二课时练习）在一次抗洪救灾中，甲、乙、丙、丁4名党员被安排到A，B，C三个村，参与抗洪救灾任务，每个村至少安排1名党员，且甲不能安排到A村，则不同的分配方案种数为（ ）
A．12B．14C．24D．28
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．（2023春·广东深圳·高三红岭中学校考阶段练习）已知等差数列的前项和为，若，，则（ ）
A．
B．数列是公比为8的等比数列
C．若，则数列的前2023项和为4040
D．若，则数列的前2023项和为
2023202310．（2022春·广东广州·高二二师番禺附中校考期中）函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ）
A．为函数的单调递增区间B．为函数的单调递减区间
C．函数在处取得极小值D．函数在处取得极大值
11．（2023秋·广东广州·高二广州市第八十六中学校考期末）传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家用沙粒和小石子来研究数，他们根据沙粒或小石子所排列的形状把数分成许多类，如图中第一行图形中黑色小点个数：称为三角形数，第二行图形中黑色小点个数：称为正方形数，记三角形数构成数列，正方形数构成数列，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．1225既是三角形数，又是正方形数
C．
D．，总存在，使得成立
12．（2023春·江苏镇江·高二江苏省扬中高级中学校考阶段练习）用数字0，1，2，3，4，5组成没有重复数字的四位数，则下列说法正确的是（ ）
A．可以组成个四位数
B．可以组成个四位偶数
C．可以组成个能被3整除的四位数
D．将组成的四位数按从小到大的顺序排成一列，则第85个数为2310
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．（2023春·广东佛山·高二佛山市三水区三水中学校考阶段练习）函数的上的最大值是___________.
14．（2022春·广东揭阳·高二普宁市华侨中学校考阶段练习）从2个不同的红球，2个不同的黄球，2个不同的蓝球共6个球中任取2个，放入红、黄、蓝色的三个袋子中，每个袋子至多放入1个球，且球色与袋色不同，则不同的放法有_____________种.
15．（2022春·广东广州·高二海珠外国语实验中学校考期中）第24届冬奥会于2022年2月4日在北京国家体育馆胜利开幕.冬奥会期间，北京市758个城市志愿者站点全部“开门迎客”，保障了北京冬奥会顺利举行现将含甲､乙､丙在内的6位志愿者分配到3个服务站点参加服务，要求每位志愿者只能去1个站点，每个站点至少需要分配1位志愿者，则甲与乙分配在同一站点，但甲与丙不在同一站点的分配方案共有___________种.（用数字作答）
16．（2023·云南曲靖·曲靖一中校考模拟预测）若，则_________.
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）17．（2023秋·广东清远·高二统考期末）设等差数列的前n项和为，且，．
(1)求的通项公式．
(2)令，数列的前n项和为．证明：．
18．（2023秋·广东广州·高三校联考阶段练习）已知等比数列是递增数列，满足，.
（1）求的通项公式；
（2）设，若为数列的前项积，证明.
19．（2022春·广东广州·高二统考期末）已知二项式的展开式， ，给出下列条件：
①第二项与第三项的二项式系数之比是1：4；②所有偶数项的二项式系数之和为256；③展开式中第4项为常数项．
试在上面三个条件中选择一个补充在上面的横线上，并完成下列问题：
(1)求展开式中x-3的系数；
(2)求展开式中二项式系数最大的项
20．（2023秋·广东惠州·高二统考期末）已知数列满足.
(1)求数列的通项公式；
(2)设，求数列的前项和.
21．（2022春·广东中山·高二中山纪念中学校考阶段练习）已知函数的最小值为．
(1)求实数的值；
(2)求证：当时，．
22．（2023秋·广东广州·高二华南师大附中校考期末）已知函数.
（1）判断函数的单调性；
（2）若满足，证明：.