通关练37 相关性、回归分析及独立性检验-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第三册)

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一、单选题
1．（2023春·山西·高二统考期中）关于线性回归的描述，下列表述错误的是（ ）
A．回归直线一定经过样本中心点
B．相关系数越大，相关性越强
C．决定系数越接近1，拟合效果越好
D．残差图的带状区域越窄，拟合效果越好
2．（2023春·陕西咸阳·高二校考期中）对四组数据进行统计，获得如图所示的散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ）
A．B．
C．D．
3．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）在易怒与患心脏病这两个变量的计算中，有以下结论：①当由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关时，那么在100个易怒的人中有90人患心脏病；②由的观测值得到有90%的把握认为易怒与患心脏病有关系，是指有10%的可能性使得推断出现错误；③由独立性检验可知有90%的把握认为易怒与患心脏病有关，是指在犯错误的概率不超过10%的前提下，可以认为某人是否患心脏病与是否易怒有关，其中正确结论的个数是（ ）
A．3B．2C．1D．0
4．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）观察变量x与y的散点图发现可以用指数型模型拟合其关系，为了求出回归方程，设，求得z关于x的线性回归方程为，则a与k的值分别为（ ）
A．3，2B．2，3C．，2D．，3
5．（2023秋·四川遂宁·高二遂宁中学校考期末）如图，是对某位同学一学期次体育测试成绩（单位：分）进行统计得到的散点图，关于这位同学的成绩分析，下列结论错误的是（ ）
A．该同学的体育测试成绩总的趋势是在逐步提高，且次测试成绩的极差超过分
B．该同学次测试成绩的众数是分
C．该同学次测试成绩的中位数是分
D．该同学次测试成绩与测试次数具有相关性，且呈正相关
6．（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）根据变量与的对应关系（如表），求得关于的线性回归方程为，则表中的值为（ ）
A．60B．55C．50D．45
7．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）如表为某商家1月份至6月份的盈利（万元）与时间（月份）的关系，其中，其对应的回归方程为，则下列说法正确的是（ ）
A．与负相关
B．
C．回归直线可能不经过点
D．2023年10月份的盈利大约为6.8万元
8．（2023春·山西太原·高二统考期中）某市对机动车单双号限行进行了调查，在参加调查的2748名有车人中有1760名持反对意见，2652名无车人中有1400名持反对意见，在运用这些数据说明“拥有车辆”与“反对机动车单双号限行”是否相关时，用下列哪种方法最有说服力（ ）
A．平均数B．方差C．独立性检验D．回归直线方程
9．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知两个分类变量X，Y的可能取值分别为和，通过随机调查得到样本数据，再整理成如下的2×2列联表：
若样本容量为75，且，则当判断X与Y有关系的把握最小时，a的值为（ ）
A．5B．10C．15D．17
10．（2023秋·四川宜宾·高三四川省宜宾市第四中学校校考期末）如图是调查某地区男女中学生喜欢理科的等高条形图，阴影部分表示喜欢理科的百分比，从图中可以看出
A．性别与喜欢理科无关
B．女生中喜欢理科的比为80%
C．男生比女生喜欢理科的可能性大一些
D．男生不喜欢理科的比为60%
11．（2023秋·河北唐山·高一滦南县第一中学校考期末）某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x（单位：°C）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据得到下面的散点图：
由此散点图，在10°C至40°C之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是（ ）
A．B．
C．D．
12．（2023秋·四川绵阳·高二统考期末）某学校调查学生对2022年卡塔尔世界杯的关注是否与性别有关，随机抽样调查了110名学生，进行独立性检验，列联表及临界值表如下：
附：，其中.
则下列说法中正确的是（ ）
A．有97.5%的把握认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
B．男生不关注卡塔尔世界杯的比例低于女生关注卡塔尔世界杯的比例
C．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注为性别有关
D．在犯错误概率不超过1%的前提下可认为学生对卡塔尔世界杯的关注与性别无关
二、多选题
13．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）对于样本相关系数r，下列说法正确的是（ ）
A．若两个随机变量线性不相关，则
B．若，则两个随机变量没有任何相关性
C．r的值越小，成对样本数据的线性相关程度越弱
D．成对样本数据线性相关的正负性与r的符号（正负）相同
14．（2023秋·江苏·高三统考期末）下列说法正确的是（ ）
A．数据的众数和第60百分位数都为5
B．样本相关系数越大，成对样本数据的线性相关程度也越强
C．若随机变量服从二项分布，则方差
D．若随机变量服从正态分布，则
15．（2023秋·河北张家口·高三统考期末）以下命题正确的有（ ）
A．一组数据的标准差越大，这组数据的离散程度越小
B．一组数据的频率分布直方图如图所示，则该组数据的平均数一定小于中位数
C．样本相关系数的大小能反映成对样本数据之间的线性相关的程度，而决定系数的大小可以比较不同模型的拟合效果
D．分层随机抽样所得各层的样本量一定与各层的大小成比例
16．（2023秋·河北邯郸·高三统考期末）对两组数据进行统计后得到的散点图如图，关于其线性相关系数的结论正确的是( )
A．B．C．D．
17．（2023春·广东深圳·高二校考期中）对两个随机变量的一组观测数据进行回归分析，下列说法正确的是（ ）
A．可以先用散点图判断两个变量是否具有线性相关关系
B．可以通过残差图发现原始数据中的可疑数据，残差平方和越小，模型拟合效果越好
C．可以用相关指数刻画回归效果，越接近0，说明模型的拟合效果越好
D．回归直线恒过样本点的中心
18．（2023春·山西·高二统考期中）为了考察某种疫苗的预防效果，先选取某种动物进行实验，试验时得到如下统计数据：
现从实验动物中任取一只，若该动物“注射疫苗”的概率为0.5，则下列判断正确的是（ ）
A．未注射疫苗发病的动物数为30只
B．从该实验注射疫苗的动物中任取一只，发病的概率为
C．在犯错概率不超过0.05的前提下，认为未发病与注射疫苗有关
D．注射疫苗可使实验动物的发病率下降约10%
19．（2023春·江苏常州·高二常州高级中学校考期中）已知两个分类变量、，由它们的样本数据计算得到的观测值，的部分临界值表如下：
以下判断正确的是（ ）
A．在犯错误的概率不超过的前提下认为变量、有关系
B．在犯错误的概率不超过的前提下认为变量、没有关系
C．有的把握说变量、有关系
D．有的把握说变量、没有关系
三、填空题
20．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）已知两个随机变量x和y的一组成对样本数据为，若用最小二乘法求出回归方程为，则______．
21．（2023秋·辽宁·高二校联考期末）某兴趣小组对某地区不同年龄段的人群阅读经典名著的情况进行了相关调查，相关数据如下表．
若由最小二乘法得y与x的线性回归方程为，则______．
22．（2023春·山西·高二统考期中）据某市有关部门统计，该市对外贸易近几年持续增长，年至年每年进口总额（单位：千亿元）和出口总额（单位：千亿元）之间的数据统计如下：
若每年的进出口总额、满足线性相关关系，则__________；若计划年出口总额达到千亿元，预计该年进口总额为__________千亿元.
四、解答题
23．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）中国在第届联合国大会上承诺，将采取更加有力的政策和措施，力争于年之前使二氧化碳的排放达到峰值，努力争取年之前实现碳中和简称“双碳目标”，此举展现了我国应对气候变化的坚定决心，预示着中国经济结构和经济社会运转方式将产生深刻变革，极大促进我国产业链的清洁化和绿色化新能源汽车电动汽车是重要的战略新兴产业，对于实现“双碳目标”具有重要的作用为了解某一地区电动汽车销售情况，一机构根据统计数据，用最小二乘法得到电动汽车销量单位：万台关于年份的线性回归方程为，且销量的方差为，年份的方差为．
(1)求与的相关系数，并据此判断电动汽车销量与年份的相关性强弱；
(2)该机构还调查了该地区位购车车主的性别与购车种类情况，得到的数据如下表：
在购买电动汽车的车主中按照性别进行分层抽样抽取人，再从这人中随机抽取人，求人中至少有1位男性的概率．
参考数据：；
参考公式：线性回归方程：，其中；
相关系数：，若，则可判断与线性相关较强．
24．（2023秋·河南三门峡·高三统考期末）2021年春节前，受疫情影响，各地鼓励外来务工人员选择就地过年.某市统计了该市4个地区的外来务工人数与就地过年人数（单位：万），得到如下表格：
(1)请用相关系数说明y与x之间的关系可用线性回归模型拟合，并求y关于x的线性回归方程.
(2)假设该市政府对外来务工人员中选择就地过年的每人发放1000元补贴.
①若该市E区有2万名外来务工人员，根据（1）的结论估计该市政府需要给E区就地过年的人员发放的补贴总金额；
②若A区的外来务工人员中甲、乙选择就地过年的概率分别为p，，其中，该市政府对甲、乙两人的补贴总金额的期望不超过1400元，求p的取值范围.
参考公式：相关系数，回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
25．（2023春·山西太原·高二统考期中）随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，2020年的考研人数是341万人，2021年考研人数是377万人.某中学数学兴趣小组统计了本省5所大学2022年的毕业生人数及考研人数（单位：千人），收集数据如下表所示.
(1)利用最小二乘估计建立关于的线性回归方程；
(2)该小组又利用上表数据建立了关于的线性回归方程，并把这两条拟合直线画在同一坐标系下，横坐标，纵坐标的意义与毕业人数和考研人数一致.请比较前者与后者的斜率与的大小.
26．（2023春·广西钦州·高二钦州一中校考期中）赤霉素在幼芽、幼根、未成熟的种子中合成，其作用是促进细胞的生长，使得植株变高，每粒种子的赤霉素含量（单位：ng/g）直接影响该粒种子后天的生长质量.现通过生物仪器采集了赤霉素含量分别为10，20，30，40，50的种子各20粒，并跟踪每粒种子后天生长的情况，收集种子后天生长的优质数量（单位：粒），得到的数据如下表：
(1)求关于的线性回归方程；
(2)利用（1）中的回归方程，估计1000粒赤霉素含量为60ng/g的种子后天生长的优质数量.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
27．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）某冷饮店为了解每天的用电量y（千瓦时）与销售额x（千元）之间的关系，随机统计了某5天的用电量与当天的销售额，并制作了对照表：
(1)已知y与x线性相关，求y关于x的线性回归方程；
(2)若某天的销售额为1万元，利用（1）中所得的线性回归方程，预测这一天的用电量．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，．
28．（2023秋·江苏南京·高三南京市第一中学校考期末）某食品研究员正在对一种过期食品中菌落数目进行统计，为检测该种过期食品的腐败程度，研究员现对若干份过期不同天数的该种食品样本进行检测，并且对样本的菌落数目逐一统计，得到如下数据：
(1)请用线性回归模型拟合与的关系；
(2)实验数据表明，该种食品在未添加防腐剂的条件下（其余条件相同），短期内（7天内）菌落数目（单位：千个）与过期天数（单位：天）应满足关系：.
（i）判断该样本是否添加防腐剂；
（ii）简要分析过期7天内防腐剂发挥的效果.
附：.
29．（2023秋·四川绵阳·高二统考期末）如图是某采矿厂的污水排放量（单位：吨）与矿产品年产量（单位：吨）的折线图：
(1)依据折线图计算，的相关系数，并据此判断是否可用线性回归模型拟合与的关系?（若，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合）
(2)若可用线性回归模型拟合与的关系，请建立关于的线性回归方程，并预测年产量为20吨时的污水排放量.
相关公式：
回归方程中，，.
30．（2023秋·四川凉山·高二统考期末）2022年卡塔尔世界杯开幕式在美丽的海湾球场举行，中国制造在这届世界杯中闪亮登场，由中国铁建承建的卢赛尔球场是全球首个在全生命周期深入应用建筑信息模型技术的世界杯主场馆项目．场馆的空调是我们国家的海信空调，海信空调为了了解市场情况，随机调查了某个销售点五天空调销售量y（单位：台）和销售价格x（单位：百元）之间的关系，得到如下的统计数据：
(1)通过散点图发现销售量y与销售价格x之间有较好的线性相关关系，求出y关于x的线性回归方程．
(2)若公司希望每天的销售额到达最大，请你利用所学知识帮公司制定一个销售价格（注：销售额=销售价格×销售量）．
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，．
31．（2023秋·四川雅安·高二统考期末）某连锁经营公司所属5个零售店某月的销售额和利润额资料如表．
(1)若销售额和利润额具有相关关系，用最小二乘法计算利润额y对销售额x的回归直线方程．
（参考公式，）
(2)若该公司计划再开一个店想达到预期利润为8百万，请预估销售额需要达到多少?
32．（2023春·浙江杭州·高二杭州市长河高级中学校考期中）“学习强国”学习平台是由中共中央宣传部主管，以习近平新时代中国特色社会主义思想和党的十九大精神为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质学习平台．2021年4月7日，“学习强国”上线“强国医生”功能，提供智能导诊、疾病自查、疾病百科、健康宣传等多种医疗健康服务，传播普及健康常识、卫生知识，助力健康生活．
(1)为了解“强国医生”的使用次数多少与性别之间的关系，某调查机构调研了200名“强国医生”的使用者得
根据所给数据完成上述表格，并判断是否有的把握认为“强国医生”的使用次数与性别有关；
(2)该机构统计了“强国医生”上线7天内每天使用该服务的女性人数，“强国医生”上线的第x天，每天使用“强国医生”的女性人数为y，得到以下数据：
通过观察散点图发现样本点集中于某一条曲线的周围，求y关于x的回归方程，并预测“强国医生”上线第12天使用该服务的女性人数．
附:随机变量，．
其中．
参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，．
33．（2023春·山西太原·高二统考期中）某校高二年级为研究学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从高二学生中抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)在人工智能中常用表示在事件发生的条件下事件发生的优势，在统计中称为似然比.现从该校学生中任选一人，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”.请利用样本数据，估计的值.
附：.
34．（2023春·浙江宁波·高二宁波市北仑中学校考期中）数学兴趣小组为研究本校学生数学成绩与语文成绩的关系，采取有放回的简单随机抽样，从学校抽取样本容量为200的样本，将所得数学成绩与语文成绩的样本观测数据整理如下：
(1)根据的独立性检验，能否认为数学成绩与语文成绩有关联？
(2)根据列联表的信息，表示“选到的学生语文成绩不优秀”，表示“选到的学生数学成绩不优秀”，求的值；
(3)现从数学成绩优秀的样本中，按分层抽样的方法选出8人组成一个小组，从抽取的8人里再随机抽取3人参加数学竞赛，求这3人中，语文成绩优秀的人数的概率分布列及数学期望.
附：.
35．（2023春·重庆江津·高二校考期中）为提高学生的数学应用能力和创造力，学校打算开设“数学建模”选修课，为了解学生对“数学建模”的兴趣度是否与性别有关，学校随机抽取该校30名高中学生进行问卷调查，其中认为感兴趣的人数占70%.
(1)根据所给数据，完成下面的列联表，并根据列联表判断是否有85%的把握认为学生对“数学建模”选修课的兴趣度与性别有关？
(2)若感兴趣的女生中恰有4名是高三学生，现从感兴趣的女生中随机选出3名进行二次访谈，记选出高三女生的人数为X，求X的分布列与数学期望.
附：，其中.
36．（2023春·四川宜宾·高二四川省高县中学校校考期中）某实验中学的暑期数学调研学习小组为调查本校学生暑假玩手机的情况，随机调查了位同学月份玩手机的时间单位：小时，并将这个数据按玩手机的时间进行整理，得到下表：
将月份玩手机时间为小时及以上者视为“手机自我管理不到位”，小时以下者视为“手机自我管理到位”．
(1)请根据已知条件完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“手机自我管理是否到位与性别有关”；
(2)根据（1）中的条件，在抽查的“手机自我管理不到位”的人中按性别分层抽样抽取名，这名“手机自我管理不到位”的人中恰有位男生和位女生喜欢体育运动，现在从这名“手机自我管理不到位”的人中随机抽取人，求这个人中男女生均有，并且个人中有人喜欢体育运动的概率．
独立性检验临界值表：
37．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）清明节是我国的传统节日，某企业计划在清明节组织员工活动，准备从“参观烈士陵园”和“植树”两个活动方案中确定一个，为此随机调查了200名员工，让他们选择自己倾向的活动方案，调查结果按照员工的年龄分类，得到下面的列联表：
(1)求倾向植树的员工中年龄在35岁以下的概率；
(2)是否有99%的把握认为该公司员工对清明节活动的倾向与年龄有关？
附：．
38．（2023春·河南南阳·高二校联考期中）被赞誉为“波士顿比利”的美国知名跑者比尔·罗杰斯曾经说过：“跑步是全世界最棒的运动.”坚持跑步可以增强体质、提高免疫力、改善精神状态.某数学兴趣小组从某地大学生中随机抽取200人，调查他们是否喜欢跑步，得到的数据如下表所示.
(1)分别估计该地男、女大学生喜欢跑步的概率；
(2)能否有的把握认为该地大学生是否喜欢跑步与性别有关？
参考公式：，其中.
参考数据：
39．（2023春·湖南张家界·高二慈利县第一中学校考期中）溺水、校园欺凌、食品卫生、消防安全、道路交通等与学生安全有关的问题越来越受到社会的关注和重视．学校安全工作事关学生的健康成长，关系到千万个家庭的幸福和安宁，关系到整个社会的和谐稳定．为了普及安全教育，某市准备组织一次安全知识竞赛．某学校为了选拔学生参赛，按性别采用分层抽样的方法抽取200名学生进行安全知识测试，根据200名同学的测试成绩得到如下表格：
(1)现从得分超过85分的学生中根据性别采用分层随机抽样抽取6名学生进行安全知识培训，再从这6名学生中随机抽取3名学生去市里参加竞赛，求这3名学生中有至少一名女生的概率；
(2)根据小概率值的独立性检验，能否推断该校男生和女生在了解安全知识的程度与性别有关？
附：参考公式，其中．
下表是独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值
40．（2023春·湖南邵阳·高二邵阳市第二中学校考期中）近年来，凭借主旋律电影的出色表现，我国逐渐成为全球电影票房最高的市场．2022年十一期间热映的某主旋律电影票房超过16亿元．某研究性学习小组就是否看过该电影对影迷进行随机抽样调查，调查数据如下表（单位：人）．
(1)是否有99%的把握认为选择看该电影与年龄有关？
(2)将频率视为概率，若从众多影迷中随机抽取10人，记其中看过该电影的人数为，求随机变量的数学期望及方差．
附：，其中．
2
4
5
6
8
30
40
50
70

1
2
3
4
5
6

0.3

2.2


4.5
10
a
b
30
男生
女生
合计
关注
50
不关注
20
合计
30
110
0.15
0.1
0.05
0.025
0.01
2.072
2.076
3.841
5.024
6.635
未发病
发病
总计
未注射疫苗
注射疫苗
40
总计
70
100
年龄区间
赋值变量x
1
2
3
4
5
人群数量y
2
3
7
8
a
年
年
年
年
性别
购买非电动汽车
购买电动汽车
总计
男性
女性
总计
A区
B区
C区
D区
外来务工人数x/万
3
4
5
6
就地过年人数y/万
2.5
3
4
4.5
A大学
B大学
C大学
D大学
E大学
2022年毕业人数（千人）
7
6
5
4
3
2022年考研人数（千人）
2.5
2.3
1.8
1.9
1.5
赤霉素含量
10
20
30
40
50
后天生长的优质数量
2
3
7
8
10
销售额（千元）
3
6
7
4
5
用电量（千瓦时）
2.5
4.5
6
3
4
过期天数（单位：天）
1
2
3
4
5
菌落数目（单位：千个）
销售价格x
24
28
30
32
36
销售量y
340
330
300
270
260
商店名称
A
B
C
D
E
销售额x（千万元）
3
5
6
7
9
利润额y（千万元）
2
3
3
4
5
男
女
总计
使用次数多
40
使用次数少
30
总计
90
200
x
1
2
3
4
5
6
7
y
6
11
21
34
66
100
195
0.05
0.025
0.01
0.005
0.001
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
61.9
1.6
51.8
2522
3.98
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
0.05
0.01
0.001
3.841
6.635
10.828
语文成绩
合计
优秀
不优秀
数学成绩
优秀
50
30
80
不优秀
40
80
120
合计
90
110
200
感兴趣
不感兴趣
合计
男生
12
女生
5
合计
30
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
玩手机时间
人数
手机自我管理到位
手机自我管理不到位
合计
男生
女生
合计
参观烈士陵园
植树
35岁以下的员工
34
66
35岁及以上的员工
56
44
0.1
0.05
0.01
2.706
3.841
6.635
喜欢跑步
不喜欢跑步
总计
男生
50
120
女生
30
总计
200
0.10
0.05
0.010
0.001
2.706
3.841
6.635
10.828
性别
了解安全知识的程度
得分不超过85分的人数
得分超过85分的人数
男生
20
100
女生
30
50
a
0.1
0.05
0.01
0.005
0.001
2.706
3.841
6.635
7.879
10.828
是
否
合计
青年（30岁以下）
45
5
50
中年（30岁（含）以上）
35
15
50
合计
80
20
100
0.050
0.010
0.001
3.841
6.635
10.828