通关练31 构造辅助函数比较大小和解抽象不等式-2023-2024学年学年高二数学高效讲与练(人教A版2019选择性必修第二册)

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一、单选题
1．（2023·全国·高二专题练习）已知是偶函数，在(－∞，0)上满足恒成立，则下列不等式成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】由题干条件得到时，，故在上单调递减，结合为偶函数，得到在上单调递增，从而判断出大小关系.
【详解】时，即，
∴在上单调递减，又为偶函数，
∴在上单调递增．
∴，
∴.
故选：A．
2．（2023·四川成都·统考模拟预测）已知定义在R上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】构造函数，求导可得的单调性，进而可求解.
【详解】设，则，
因为，所以，即，
所以在R上单调递减.
不等式等价于不等式，
即.因为，
所以，
所以.因为在R上单调递减，
所以，解得.
故选:B
3．（2023春·湖北襄阳·高二校联考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，若，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】设，由已知得出在上单调递减，结合进一步计算得到结果.
【详解】设，则，因为，所以在上单调递减.
因为，所以，所以当时，，当时，，故不等式的解集为.
故选：B.
4．（2021春·四川成都·高二双流中学校考阶段练习）已知偶函数在上存在导函数，当时，，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】B
【分析】首先通过构造，由条件判断函数的奇偶性和单调性，由条件计算，不等式转化为，由函数单调性解不等式.
【详解】令，
由于为偶函数，则，
因为，所以为奇函数，
所以，
因为当时，，
即，即，
所以当时，，
所以在上单调递增，
因为在上为奇函数且在上具有导函数，
所以在内单调递增，
因为，
所以，
又等价于，
所以，解得或，
综上所述，的取值范围为.
故选：B.
5．（2023春·广东惠州·高三校考阶段练习）已知定义在上的函数的导函数为，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】因为不等式等价于，故考虑构造函数，结合已知条件证明其单调性，结合单调性解不等式即可.
【详解】令，函数的定义域为，
因为
所以，
故
故在R上单调递减，
又因为
所以，，
所以不等式可化为，
所以，
所以的解集为
故选：B.
6．（2023·全国·高二专题练习）定义在上的函数满足，且对任意的都有（其中为的导数），则下列判断正确的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【分析】根据条件对任意的都有，构造函数，利用导数可得在时单调递增．由注意到，则，代入已知表达式可得，所以关于对称，则由在时单调递增，化简即可得出结果．
【详解】解：设，则，
对任意的都有；
则，则在上单调递增；
则，；
因为，
，
，所以关于对称，
在上单调递增；
，所以，，所以错误；
，又由对称性知，
，，即，所以B错误；
，，，所以C错误；
，，，
，，所以D正确．
故选：D．
7．（2023秋·山西大同·高二大同一中校考期末）设函数是定义在上的可导函数,且满足,其中为的导函数.则对于任意,必有（ ）
A．B．
C．D．
【答案】C
【分析】构造函数,求导判断单调性,进而判断的大小关系,代入即可得出选项.
【详解】解:由题知,,
当时,，构造,
则 ,
故在上单调递减,
因为,所以,
所以，即，而，无法判断大小；
，即.
故选:C
8．（2022春·河南商丘·高二校联考阶段练习）若定义域为R的函数的导函数为，并且满足，则下列正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【分析】根据给定条件，结合各选项的信息构造函数，利用导数探讨函数单调性即可判断作答.
【详解】令函数，求导得，因此函数在R上单调递增，
于是得，即，整理得，B正确.
故选：B
9．（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）设函数在上的导函数为，，对任意，都有，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【分析】题意说明是奇函数，构造函数，由导数及已知得的单调性，不等式变形为，然后由单调性、奇偶性求解．
【详解】因为，的定义域为所以为奇函数，，
令，，
因为对任意，都有，所以，
所以在上单调递增.
因为为偶函数，所以在上单调递减.
不等式等价于，因为，所以，
所以不等式等价于，
所以，即.
故选：B．
10．（2023春·陕西安康·高二统考开学考试）已知是的导函数，且，，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
【答案】A
【分析】根据题意构造函数，借助函数的单调性解不等式即可.
【详解】令，则，∴在上单调递增.
∵不等式可化为，即，∴，
则不等式的解集为.
故选：A.
11．（2022春·重庆·高二校联考期中）定义在上的奇函数的图像连续不断，其导函数为，对任意正数恒有，若，则不等式的解集为（ ）
A．B．C．D．
【答案】D
【分析】由的奇偶性和判断出在上的奇偶性和单调性，利用的单调性和奇偶性，求不等式的解集即可.
【详解】∵为奇函数，∴，
∴当时，，
又∵，∴，
当时，，∴在区间上单调递减，
又∵当时，，
∴为上的奇函数，
∵在上的图象连续不断，∴在上单调递减.
又∵，
∴，即，
∴，
∵在区间上单调递增，∴，
解得.
故选：D.
二、多选题
12．（2023·全国·高三专题练习）已知的导函数为，且对任意的恒成立，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AB
【分析】构造函数，由，可得单调递增，进而利用单调性求解即可.
【详解】，所以，，则设，，得，单调递增，所以，必有，，则，，所以，A和B正确；
故选：AB
13．（2023·全国·高三专题练习）定义在上的函数满足，且，则满足不等式的的取值有（ ）
A．B．0C．1D．2
【答案】AB
【分析】有题干条件构造函数，得到其单调性，从而进行求解.
【详解】构造函数，则，
因为，所以，所以单调递减，
又，所以，
不等式变形为，即，
由函数单调性可得：
故选：AB
14．（2022春·吉林长春·高二长春十一高校考期末）已知定义在上的函数的导函数为，若，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AD
【分析】对ACD，构造函数，再根据题意可得在上单调递增，结合判断即可；
对B，令代入判断即可；
【详解】对A，令函数，则，所以在上单调递增．又，所以当时，，，则，故，A正确．
对B，当时，，即，B不正确．
对C，当时，，，则，故，，C不正确，D正确．
故选：AD
15．（2023·全国·高三专题练习）已知函数的定义域为，且，，则下列结论中正确的有（ ）
A．为增函数B．为增函数
C．的解集为D．的解集为
【答案】ABD
【分析】利用导数与函数的单调性的关系可判断AB，利用函数的单调性解不等式判断CD.
【详解】对于A，因为，所以为增函数，故A正确；
对于B，由，，所以为增函数，故B正确；
对于C，，则等价于，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故C错误；
对于D，等价于，
即，又为增函数，
所以，解得，所以的解集为，故D正确；
故选：ABD.
16．（2023·全国·高二专题练习）已知函数的定义域为，其导函数满足，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BC
【分析】构造函数，利用导数分析函数的单调性，利用函数的单调性逐项判断，可得出合适的选项.
【详解】构造函数，其中，则，
所以，函数为上的增函数，则，即，所以，，A错B对；
因为，则，即，所以，，C对D错.
故选：BC.
17．（2022秋·河北保定·高三河北省唐县第一中学校联考期中）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】AD
【分析】设函数，，利用导数可得在上单调递减，从而，即可得出答案.
【详解】设函数，，
则，
因为恒成立，所以，
所以在上单调递减，
所以，即，
则必有，，，，
故AD正确，BC错误.
故选：AD.
18．（2022秋·福建福州·高三校考期中）定义在上的函数的导函数为，且恒成立，则（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】因为，可得，故设，然后求导，判断单调性，分别求解每一个选项即可.
【详解】令
所以
因为，
所以
故在单调递减
所以，得，即，故A错误；
，得，即，故B正确；
，得，即，故C正确；
得，即，故D正确.
故选：BCD
【点睛】当一个不等式中出现了与时，我们一般要构造新的函数，让新函数求导的导函数可以利用已知不等式判断正负即可；一般与在不等号同一边时，两者的系数符号相同时，一般构造两部分相乘求导，两者的系数符号相反时，一般构造两部分相除求导（尽量让出现在分子）.
19．（2022秋·辽宁·高三东北育才学校校考阶段练习）定义在上的函数的导函数为，且.则对任意，，其中，则下列不等式中一定成立的是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】BCD
【分析】构造函数，求出导数，利用已知可得在上单调递增，根据单调性依次判断每个选项可得.
【详解】由题意可设，则，
∵，，
∴，
∴在上恒成立，所以在上单调递增，
对于A：由于，所以，即，所以，故A不正确；
对于B：由于，当且仅当时取等号，所以，即，所以，故B正确；
对于C：由得：，即：，
同理：.
两式相加得：，故C正确；
对于D：，，
两式相减得：
，
所以，
即，故D正确.
故选：BCD.
【点睛】思路点睛：由形式得到，
1、构造函数：，即.
2、确定单调性：由已知，即可知在上单调递增.
3、结合单调性，转化变形选项中的函数不等式，证明是否成立.
20．（2023秋·浙江绍兴·高三期末）定义域为的函数的导数为，若，且，则（ ）
A．B．C．D．
【答案】AC
【分析】根据可得，通过构造函数可得在上是单调递减函数，再根据函数单调性的应用逐个比较大小即可得出结论.
【详解】由题意可知构造函数，
则，所以在上是单调递减函数，
于是：，于是，所以A正确；
，于是，所以B错误；
，于是，所以C正确；
由于而，所以的范围无法确定，D不一定正确．
故选：AC
【点睛】方法点睛：解决此类问题时往往可以通过观察题目所给信息并结合导数四则运算的基本形式，合理构造函数并利用导函数判断出函数的单调性，即可得出不等式大小.
三、填空题
21．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在上的偶函数的导函数为，当时，，且，则不等式的解集为_________．
【答案】
【分析】令，进而结合题意得在R为单调递减函数，且，再分和两种情况讨论求解即可.
【详解】令，
当时，，则，
∴在上单调递减，
又∵是定义在上的偶函数，则，
∴是上的奇函数，则在上单调递减，
由题意可知：在上连续不断，则在上单调递减，且，
当，即时，
∵，则，即，
∴，解得；
当，即时，
∵，则，即，
∴，解得；
综上所述：故不等式的解集为.
故答案为：.
22．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的函数的导函数为，且满足，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】首先构造函数，根据题意得到在R上为增函数，再将转化为求解即可.
【详解】设，，
因为，所以，即在R上为增函数.
.
因为在R上为增函数，所以，解得.
故答案为：
23．（2023秋·北京·高二北京市十一学校校考期末）已知函数是定义在上的偶函数，其导函数为，且当时，，则不等式的解集为______．
【答案】或
【分析】构造函数，根据题意可判断，是偶函数，在上是增函数，在减函数，把原不等式转化为解不等式，进而，解之即得答案.
【详解】令，
则，
由当时， ，
所以当时，
即在上是增函数，
由题意是定义在上的偶函数，
所以，
所以，
所以是偶函数，在递减，
所以，
，
即不等式等价为，
所以，所以或.
故答案为：或.
24．（2021春·陕西西安·高二西安一中校考期中）设函数是定义在上的可导函数，其导函数为，且有，则不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据题意可得，构造函数，利用不等式即可证明函数在上单调递减，再利用单调性解不等式即可.
【详解】由函数是定义在上的可导函数，且，
所以令，
则在恒成立，
所以在上单调递减；
由不等式，
可得，即；
又在上单调递减，所以，可得；
所以不等式的解集为
故答案为：
25．（2023春·浙江·高三开学考试）已知定义在上可导函数，对于任意的实数x都有成立，且当时，都有成立，若，则实数m的取值范围是__________．
【答案】
【分析】构造函数，讨论奇偶性和单调性，根据函数的单调性和奇偶性解不等式.
【详解】令，
则易得，
即为偶函数，
当时，有，
即函数在上单调递减，故在上单调递增，
由
得，
即，
由为偶函数得，
又在上单调递增，所以，
故答案为：．
26．（2023春·湖南·高三校联考阶段练习）已知函数的导函数为，且满足在上恒成立，则不等式的解集是____________．
【答案】
【分析】构造函数，再将转化为，进而根据的单调性求解即可.
【详解】令，则，所以在上单调递增，
由，得，即，
所以，解得.
所以不等式的解集是.
故答案为：.
27．（2021春·四川成都·高二校考阶段练习）设是定义在上的函数，其导函数为，若，，则不等式的解集为________．
【答案】
【分析】构造函数，利用导数判断函数的单调性，进而得解.
【详解】设，则，
因为，
所以，即是上的减函数，
又，
故可化为，即，
所以，
所以所求不等式解集为．
故答案为：．
28．（2023·山西·校联考模拟预测）已知定义在R上的可导函数的导函数为，满足，且，，则不等式的解集是________．
【答案】
【分析】利用构造法，构造函数，由其导数可得新函数的单调性，根据函数的对称性，可得新函数的函数值，进而可得答案.
【详解】设，∴，∴在R上单调递减．
∵，∴的图象关于直线对称，∴，
∴．∵，∴，即，∴2，
故不等式的解集是．
故答案为：.
29．（2023·广东广州·统考一模）已知函数的定义域为，其导函数为，若.，则关于x的不等式的解集为__________.
【答案】
【分析】根据给定条件，构造函数，再利用函数探讨单调性，求解不等式作答.
【详解】令函数，则，因此函数在上单调递减，
，因此，即，解得，
所以不等式的解集为.
故答案为：
30．（2023·全国·高二专题练习）已知定义在R上的偶函数满足，若，则不等式的解集为__________．
【答案】
【分析】根据函数的满足的性质推得其周期，进而推得，再由集合偶函数的求导可得，可构造函数，并判断其单调性，从而将化为，即，利用函数单调性，即可求得答案.
【详解】 且是定义在R上的偶函数，
，以代换x，得，
∴是以3为周期的周期函数，
故，即 ﹔
由可得，即，
又，即，
令 ，则 ，
∴为R上的增函数，
∴不等式 即，
即，∴ ，
即不等式的解集为，
故答案为：
31．（2023·全国·高二专题练习）设是定义在的奇函数，其导函数为，且当时， ，则关于的不等式的解集为_________.
【答案】
【分析】令，通过导数可得到函数在上单调递减，通过为偶函数可得在上单调递增，分和两种情况进行解不等式即可
【详解】令，
则，
由条件得当时，，
∴函数在上单调递减．
因为，是奇函数，∴函数为偶函数，
∴函数在上单调递增．
①当时，，不等式可化为，
∴；
②当时，，不等式可化为，
∴．
综上可得不等式的解集为．
故答案为：