2023-2024学年河北省邢台市任泽区八年级（上）学期期末数学试题（含解析）

这是一份2023-2024学年河北省邢台市任泽区八年级（上）学期期末数学试题（含解析），共19页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

满分120分
一、选择题（共14个小题，共38分，1~10小题各3分，11~14小题各2分）
1．计算，以下结果正确的是（ ）
A．B．C．D．无意义
2．当时，下列分式没有意义的是（ ）
A．B．C．D．
3．若，则的值为（ ）
A．2B．3C．4D．5
4．如图所示的网格由边长相同的小正方形组成，点、、、、、、在小正方形的顶点上，则的重心是（ ）
A．点B．点C．点D．点
5．已知，下列关于值的叙述正确的是( )
A．小于0
B．介于0与1两数之间，两数中比较接近0
C．介于0与1两数之间，两数中比较接近1
D．大于1
6．如图，在正方形网格中有M，N两点，在直线l上求一点P，使最短，则点P应选在（ ）
A．A点B．B点C．C点D．D点
7．若表示的是一个最简分式，则☆可以是（ ）
A．4B．C．D．
8．将一副三角板按如图所示方式摆放，使有刻度的边互相垂直，则（ ）
A．B．C．D．
9．如图所示，，在证明时，需要添加辅助线，下面有甲、乙两种辅助线的作法：
甲：作底边的中线
乙：作平分交于C，则（ ）

A．甲、乙两种作法都正确B．甲正确，乙不正确
C．甲不正确、乙正确D．甲乙两种作法都不正确
10．如图，在四边形中，，，连接，，垂足为，并且，点是边上一动点，则的最小值是（ ）
A．1.5B．3C．3.5D．4
11．如图，在中，分别以点和点为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，，作直线，交于点，交于点，连接，若，，，则的周长为（ ）
A．28B．22C．19D．15
12．平面内，将长分别为1，2，4，x的线段，首尾顺次相接组成凸四边形（如图），x可能是 （ ）

A．1B．2C．7D．8
13．有两个正方形A、，将A，并列放置后构造新的图形，分别得到长方形图甲与正方形图乙若图甲、图乙中阴影的面积分别为与，则正方形的面积为（ ）

A．B．C．D．
14．为锐角，，点C在射线上，点B到射线的距离为d，，若的形状、大小是唯一确定的，则x的取值范围是（ ）
A．或B．
C．D．或
二、填空题（共3个小题，共10分．15小题2分，16~17小题各4分．每空2分）
15．计算： ．
16．若关于的分式方程有增根，则增根是 ，的值是 ．
17．如图，操场上有两根旗杆相距，小强同学从点沿走向，一定时间后他到达点，此时他测得和的夹角为，且，已知旗杆的高为，小强同学行走的速度为．
（1）另一旗杆的高度为 ；
（2）小强从点到达点还需要的时间是 ．
三、解答题（共7个小题，满分72分，解答题应写出必要的解题步骤或文字说明、证明过程）
18．如图所示，在平面直角坐标系xOy中，的三个顶点坐标分别为，，．

(1)在图中画出关于x轴对称的图形；
(2)在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是__________，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为__________；
(3)求的面积．
19．如图，五边形中，，求图中的值．

20．发现：任意三个连续的奇数中，最大数与最小数的平方差是的倍数．
验证：
(1)的结果是的__________倍；
(2)设三个连续的奇数中间的一个为（为整数），计算最大奇数与最小奇数的平方差，并说明它是的倍数．
21．如图，灯塔C在海岛A的北偏东方向，某天上午8点，一条船从海岛A出发，以15海里/时的速度由西向东方向航行，10时整到达B处，此时，测得灯塔C在B处的北偏东方向．
(1)求B处到灯塔C的距离；
(2)已知在以灯塔C为中心，周围16海里的范围内均有暗礁，若该船继续由西向东航行，是否有触礁的危险？请你说明理由．
22．黄老师在黑板上布置了一道题目，针对这道题目嘉嘉和淇淇展开下面的讨论：
根据上述情景，解答下列问题：
(1)你认为谁的说法正确？并说明理由；
(2)当，时，求代数式的值．
23．综合与实践
【问题情境】如图，图，在等边三角形中，是边上一定点，是直线上一动点，以为一边作等边三角形，连接．
【问题解决】如图，若点在边上，在上截取，连接．
（1）请判断的形状，并说明理由．
（2）若，，求的长．
【类比探究】如图，若点在边的延长线上，请直接写出线段，与之间存在的数量关系．
24．采购员甲和乙两次同去一家工厂购买某种生产原料，两次原料的购买单价不同，两位采购员的购货方式也不同，其中甲每次购买的数量相同，乙每次购买的金额相同．
(1)若乙每次用去8000元，第二次的购买单价是第一次的倍且数量比第一次少了80千克，求乙这两次的购买单价分别是每千克多少元？
(2)若甲每次购买500千克，乙每次用去6000元，设第一次原料的每千克价格为m元，第二次原料的每千克价格为n元（且n），每人两次购买的平均价格越低越划算，甲、乙谁的购买方式更划算，请说明理由．
参考答案与解析
1．A
【分析】根据零次幂可进行求解．
【详解】解：；
故选A．
【点睛】本题主要考查零次幂，熟练掌握零次幂的意义是解题的关键．
2．B
【分析】由分式有意义的条件分母不能为零判断即可.
【详解】,当x=1时,分母为零,分式无意义.
故选B.
【点睛】本题考查分式有意义的条件,关键在于牢记有意义条件.
3．A
【分析】本题考查了同底数幂的乘法，根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加可得，推出，求解即可，熟练掌握同底数幂的乘法的运算法则是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，
解得：，
故选：A．
4．A
【分析】三角形三条中线的交点，叫做它的重心，据此解答即可．
【详解】根据题意可知，直线经过的边上的中点，直线经过的边上的中点，∴点是重心．故选A．
【点睛】本题考查三角形的重心的定义，解题的关键是熟记三角形的重心是三角形中线的交点．
5．B
【详解】，
，且比较接近0．
【点睛】本题考查了科学记数法，熟练掌握科学记数法的定义，正确的移动小数点位数是解答本题的关键．
6．C
【分析】首先求得点关于直线的对称点，连接，即可求得答案．
【详解】解：如图，点是点关于直线的对称点，连接，则与直线的交点，即为点，此时最短，
与直线交于点，
点应选点．
故选：C．
【点睛】此题考查了轴对称﹣最短路径问题．注意首先作出其中一点关于直线l的对称点，对称点与另一点的连线与直线l的交点就是所要找的点．
7．B
【分析】根据最简分式的定义，即可求解．最简分式定义， 一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时 (即分子与分母互素)叫最简分式．
【详解】解：A、当☆为4时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
B、当☆为时，，是最简分式，故该选项符合题意；
C、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
D、当☆为时，，不是最简分式，故该选项不符合题意；
故选：B．
【点睛】本题考查了最简分式，理解最简分式的定义是解题的关键．
8．D
【分析】如图（见解析），先根据三角板可得，再根据角的和差可得，然后根据三角形的外角性质即可得．
【详解】解：如图，由题意可知，，
两个三角板中有刻度的边互相垂直，
，
，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角板中的角度计算、三角形的外角性质，熟练掌握三角形的外角性质是解题关键．
9．A
【分析】本题主要考查全等三角形的判定以及性质，熟练掌握全等三角形的判定以及性质是解题的关键．分别根据甲、乙的条件证明即可．
【详解】解：甲：作底边的中线，则，
在与中，
，
，
，
故甲的作法正确；
乙：作平分交于C，则有，
在与中，
，
，
，
故乙的作法正确．
综上所述，甲、乙都正确．
故选A．
10．B
【分析】由三角形的内角和定理和角的和差求出，角平分线的性质定理得，垂线段定义证明最短，求出长的最小值为3．
【详解】解：过点作交于点，如图所示：
∵，
∴，
又∵，
，，
∴，
∴是的角平分线，
又∵，，
∴，
又∵，
∴，
又∴点是直线外一点，
∴当点在上运动时，点运动到与点重合时最短，其长度为长等于3，
即长的最小值为3．
故选：B．
【点睛】本题综合考查了三角形的内角和定理，角的和差，角平分线的性质定理，垂线段的定义等知识点，重点掌握角平分线的性质定理，难点是作垂线段找线段的最小值．
11．B
【分析】本题考查作图-基本作图、线段垂直平分线的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质是解答本题的关键．
由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，则可得，进而可得的周长为，即可得出答案．
【详解】解：由尺规作图可知，直线为线段的垂直平分线，
，
的周长为．
故选：B．
12．B
【分析】如图，设这个凸四边形为，连接，并设，先在中，根据三角形的三边关系定理可得，再在中，根据三角形的三边关系定理可得，即从而可得，据此即可解答．
【详解】解：如图，如图，设这个凸四边形为，连接，并设，

在中，，即，
在中，，即，
所以
观察四个选项可知，只有选项B符合．
故选：B．
【点睛】本题考查了三角形的三边关系定理，通过作辅助线、构造两个三角形是解题关键．
13．B
【分析】设正方形的边长为，正方形的边长为，用代数式表示图、图中阴影部分的面积，整体代入即可得出，即正方形的面积．
【详解】解：设正方形A的边长为，正方形的边长为，
由题意得，，，
即，，
，
即正方形的面积为，
故选：B．
【点睛】本题考查完全平方公式的几何背景，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提．
14．A
【分析】本题主要考查三角形的三边关系，点到直线的距离，先找出点的位置，画出所有情况即可得到答案．
【详解】解：过点作于，
点B到射线的距离为d，
①当点和点重合时，，此时是一个直角三角形；
②当时，此时点的位置有两个，即有两个；
③当时，此时形状、大小是唯一确定，
所以x的取值范围是或．
故选A．
15．
【分析】本题主要考查积的乘方，熟练掌握运算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可．
【详解】解：，
故答案为：．
16．
【分析】本题考查了分式方程的增根问题，增根问题可按如下步骤进行：①让最简公分母为确定增根；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得相关字母的值．先确定最简公分母，令最简公分母为，求出的值，然后把分式方程化为整式方程，再将的值代入整式方程，解关于的方程即可．
【详解】解：分式方程的最简公分母为，
分式方程有增根，
，
解得：，
增根是，
分式方程去分母得：，
把代入方程得：，
解得：，
故答案为：，．
17． 9 18
【分析】（1）根据题意证明，进而根据即可求得的长；
（2）由（1）可知，进而根据时间等于路程除以速度即可求解．
【详解】（1），
又
故答案为：
（2），小强同学行走的速度为
（秒）
小强从点到达点还需要的时间是秒
故答案为：
18．(1)见解析
(2)y轴，
(3)2.5
【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C关于x轴的对称点，再顺次连接即可；
（2）利用轴对称的性质解决问题即可；
（3）根据割补法求解．
【详解】（1）如图所示：

（2）在图中，若与点B关于一条直线成轴对称，则这条对称轴是直线，即y轴，此时C点关于这条直线的对称点的坐标为；
（3）．
【点睛】本题考查了坐标与轴对称变换，熟练掌握轴对称的性质是解题的关键．
19．
【分析】本题考查了平行线的性质、多边形的内角和，由得出，再根据，进行计算即可，熟练掌握五边形的内角和为是解此题的关键．
【详解】解：，
，
，，，
．
20．(1)
(2)，见解析
【分析】本题考查了因式分解的应用以及完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键．
（1）求出的值，即可得出结果；
（2）根据题意得最小的奇数为，最大的奇数为，则，即可得出结论；
【详解】（1）解：，
的结果是的倍，
故答案为：；
（2）设三个连续的奇数中间的一个为（n为整数），则最小的奇数为，最大的奇数为，
最大奇数与最小奇数的平方差为：，
为整数，
是的倍数．
21．(1)30海里
(2)有触礁的危险，理由见解析
【分析】（1）先根据已知方向角推出，再根据等角对等边可得；
（2）过C作交AB的延长线于点D，求出的长，与16海里比较，即可得出答案．
【详解】（1）解：由已知条件可得：，，，
，
，
，
B处到灯塔C的距离为30海里；
（2）解：有触礁的危险．理由如下：
过C作交AB的延长线于点D，
，，
，
∵，
若这条船继续由西向东航行会有触礁的危险．
【点睛】本题考查方位角、等腰三角形的判定、含30度角的直角三角形的性质等，由所给方位角得出是解题的关键．
22．(1)琪琪，见解析
(2)
【分析】本题主要考查整式的化简求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
（1）将代数式进行化简即可判断谁说的正确；
（2）将值代入（1）中求出的代数式即可．
【详解】（1）解：原式
；
琪琪正确，因为化简结果与的值无关；
（2）解：将，代入，
原式．
23．问题解决：（1）是等边三角形，理由见解析；（2）；类比探究：线段，与之间的等量关系是．
【分析】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的性质，全等三角形的判定是解答本题的关键．
问题解决：
（1）利用等边三角形的性质，得到是等边三角形．
（2）由于是等边三角形，得到，从而，所以，进而，得到答案．
类比探究：
过点作，交的延长线于点，由平行线的性质得到，得出为等边三角形，则，证明，得出，进而得到．
【详解】问题解决：
解：（1）是等边三角形理由是：
是等边三角形
又
是等边三角形．
（2）是等边三角形，
，
是等边三角形，
，，
是等边三角形，
，
，
在和中，
，
，
，
．
类比探究：
线段，与之间的等量关系是理由是：
是等边三角形，
，
过点作，交的延长线于点，如图，
，
，，
，
为等边三角形，
，，
为等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
，
，
．
24．(1)乙前后两次购进原料的单价分别是每千克20元和25元
(2)乙的购买方式平均价格更低，乙购买方式划算，理由见解析
【分析】（1）设乙第一次购进原料的单价是x元/千克，则乙第二次购进原料的单价是元/千克，然后根据第二次购买的数量比第一次少了80千克，列出方程求解即可；
（2）分别求出甲和乙两次购买的平均价格，然后利用作差法比较大小即可．
【详解】（1）解：设乙第一次购进原料的单价是x元/千克，则乙第二次购进原料的单价是元/千克．
由题意得：，
解得，
经检验：是原方程的解，
∴．
答：乙前后两次购进原料的单价分别是每千克20元和25元．
（2）解：乙购买方式划算，理由如下：
由题意得，甲两次购买原料的平均价格为元/千克，
乙两次购买原料的平均价格为 元/千克，

∵，且n，
∴，即
∴乙的购买方式平均价格更低，
∴乙购买方式划算．
【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用，异分母分式减法的实际应用，正确理解题意列出对应的方程和代数式是解题的关键．