备考2024届高考物理一轮复习讲义第一章运动的描述匀变速直线运动的研究第2讲匀变速直线运动的规律及应用考点2匀变速直线运动的推论及应用

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1.匀变速直线运动的常用推论
（1）平均速度公式：在匀变速直线运动中，物体在某段时间内的平均速度等于这段时间内[7] 中间时刻 的瞬时速度，还等于初、末速度矢量和的[8] 一半 ，即v＝[9] vt2 ＝[10] v0＋vt2 .
（2）位移差公式：物体在任意两个连续相等的时间间隔T内的位移之差是一个恒量，即Δx＝xn＋1－xn＝[11] aT2 （判别式）[进一步推论：不相邻相等时间间隔T内的位移差xm－xn＝（m－n）aT2].
（3）中间位置速度公式：物体在某段位移中点的瞬时速度vx2＝v02＋vt22.
注意：无论是匀加速直线运动还是匀减速直线运动，位移中点的速度总大于中间时刻的速度.
2.初速度为零的匀变速直线运动的六个比例关系
（1）按时间等分
①1T末、2T末、…、nT末瞬时速度之比v1：v2：…：vn＝[12] 1：2：…：n ；
②1T内、2T内、…、NT内位移之比xⅠ：xⅡ：…：xN＝[13] 1：22：…：N2 ；
③第1个T内、第2个T内、…、第n个T内位移之比x1：x2：…：xn＝[14] 1：3：…：（2n－1） .
（2）按位移等分
①1L末、2L末、…、nL末瞬时速度之比v1：v2：…：vn＝[15] 1：2：…：n ；
②1L内、2L内、…、NL内所用时间之比tⅠ：tⅡ：…：tN＝[16] 1：2：…：N ；
③第1个L内、第2个L内、…、第n个L内所用时间之比t1：t2：…：tn＝[17] 1：（2－1）：…：（n－n－1） .
3.常用推论公式的选用
以72km/h的速度行驶的列车在驶近一座石拱桥时开始刹车做匀减速直线运动，加速度的大小为0.1m/s2.
（1）列车减速行驶2min，2min末的速度是多少？
（2）列车减速行驶2min，2min内的位移是多少？
（3）列车减速行驶2min内的平均速度是多少？
（4）列车减速行驶2min内位移中点的瞬时速度是多少？
（5）列车在第2min内的位移比第3min内的位移多了多少？
答案 （1）8m/s （2）1680m （3）14m/s （4）15m/s （5）360m
解析 72km/h＝20m/s，2min＝120s，以初速度的方向为正方向，a＝－0.1m/s2.
（1）vt＝v0＋at＝20m/s－0.1×120m/s＝8m/s.
（2）利用位移公式求解：x＝v0t＋12at2＝20×120m－12×0.1×1202m＝1680m.
利用速度位移关系式求解：x＝vt2－v022a＝82－202－2×0.1m＝1680m.
（3）利用定义式求解：v＝xt＝1680120m/s＝14m/s.
利用平均速度公式求解：v＝v0＋vt2＝20+82m/s＝14m/s.
（4）根据中间位置速度公式求解：vx2＝v02＋vt22＝202＋822m/s≈15m/s.
（5）Δx＝aT2＝－0.1×602m＝－360m，因此第2min内的位移比第3min内的位移多360m.
研透高考 明确方向
命题点1 平均速度公式的应用
4.[2023山东]如图所示，电动公交车做匀减速直线运动进站，连续经过R、S、T三点，已知ST间的距离是RS的两倍，RS段的平均速度是10m/s，ST段的平均速度是5m/s，则公交车经过T点时的瞬时速度为（ C ）
A.3m/sB.2m/sC.1m/s
解析 电动公交车做匀减速直线运动，设R、S间的距离为x，则v－RS＝xt1＝vR＋vS2，v－ST＝2xt2＝vS＋vT2，解得t2＝4t1，vT＝vR－10m/s，再根据匀变速直线运动速度与时间的关系有vT＝vR－a·5t1，解得at1＝2m/s，又v－RS＝vt12＝vR－a·t12，解得vR＝11m/s，vT＝1m/s，C正确.
一题多解 设R、S间的距离为x，经历的时间为t，ST段经历的时间为t'，则对RS段，有x＝10t（m），对ST段，有2x＝5t'（m），解得t'＝4t.设加速度的大小为a，运动过程可看成反向匀加速运动，对TS段，有2x＝vT·4t＋12a（4t）2，对TR段，有3x＝vT·5t＋12a（5t）2，解得vT＝1m/s，C正确.
方法点拨
平均速度公式的应用
1.直接求平均速度.
2.求位移Δx＝vΔt＝v0＋vt2Δt.
3.求瞬时速度中间时刻瞬时速度vt2＝v0＋vt2.
命题点2 位移差公式的应用
5.[2024河北邢台内丘中学质检/多选]一质点做匀加速直线运动，第3s内的位移为2m，第4s内的位移为2.5m，那么以下说法正确的是（ BD ）
A.第2s内的位移为2.5m
B.第3s末的瞬时速度为2.25m/s
C.质点的加速度为0.125m/s2
D.质点的加速度为0.5m/s2
解析 由Δx＝aT2得a＝x4－x3T2＝2.5－212m/s2＝0.5m/s2，x3－x2＝x4－x3，所以第2s内的位移x2＝1.5m，A、C错误，D正确；第3s末的瞬时速度等于2～4s内的平均速度，所以v3＝x3＋x42T＝2.25m/s，B正确.
方法点拨
位移差公式的应用
1.间隔了n个T的两个时间T内的位移差（如图）
Δxn＝xn＋2－x1＝（n＋1）aT2.
2.求加速度a＝Δxn（n+1）T2.
3.求时间间隔T＝Δxn（n+1）a.
命题点3 初速度为零的匀变速直线运动比例式的应用
6.图中ab、bc、cd、de为港珠澳大桥上四段110m的等跨钢箱连续梁桥，若汽车从a点由静止开始做匀加速直线运动，通过ab段的时间为t，则通过ce段的时间为（ B ）
A.2tB.（2－2）t
C.（2＋2）tD.t
解析 对于初速度为零的匀加速直线运动，通过连续相等的位移所用的时间之比为t1∶t2∶…∶tn＝1∶（2－1）∶…∶（n－n－1），则tab∶tbc∶tcd∶tde＝1∶（2－1）∶（3－2）∶（2－3），所以tab∶tce＝1∶（2－2），因此tce＝（2－2）t，B正确.
命题拓展
命题条件不变，拓展设问角度
下列说法正确的是（ B ）
A.汽车通过cd段的时间为3t
B.汽车通过be段的时间为t
C.汽车在ae段的平均速度等于在c点的瞬时速度
D.汽车在ac段的平均速度等于在b点的瞬时速度
解析 根据初速度为零的匀加速直线运动规律可知，汽车通过ab、bc、cd、de所用的时间之比为1：（2－1）：（3－2）：（2－3），可得出汽车通过cd段的时间为（3－2）t，A错误；汽车通过bc段的时间为（2－1）t，通过de段的时间为（2－3）t，则汽车通过be段的时间为t，B正确；汽车通过ae段的时间为2t，通过b点的时刻为通过ae时间的中间时刻，故汽车通过b点的瞬时速度等于汽车在ae段的平均速度，C、D错误.