2022-2023学年江苏省南京市栖霞区九年级上学期数学12月月考试题及答案

这是一份2022-2023学年江苏省南京市栖霞区九年级上学期数学12月月考试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 用配方法解一元二次方程，下列变形结果正确的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先把方程化，从而可得答案．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故选B．
【点睛】本题考查的是利用配方法解一元二次方程，掌握“配方法解方程的步骤”是解本题的关键．
2. 将函数的图像先向左平移1个单位，再向下平移3个单位，所得图像的函数表达式为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据函数图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，可得答案．
【详解】解：将二次函数的图象先向左平移1个单位后的解析式为：，
再向下平移3个单位后的解析式为：，
故选：B．
【点睛】本题考查的知识点是函数图象平移变换，掌握图象平移变换“左加右减，上加下减”的原则，是解答的关键．
3. 如图，是的直径，C、D是上的两点．若，则的度数为（ ）
A. 20°B. 40°C. 50°D. 70°
【答案】D
【解析】
【分析】根据圆周角定理得出，，再根据直角三角形的性质求出即可．
【详解】∵是的直径，
∴，
∵，
∴
∴，
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，注意：同弧所对的圆周角相等，直径所对的圆周角是直角，直角三角形的两锐角互余．
4. 已知、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数，若将这组数据变为、、、、，则这组新数据与原来相比（ ）
A. 平均数变大B. 中位数变小C. 极差变大D. 方差变小
【答案】D
【解析】
【分析】根据平均数，中位数，极差、方差的意义分别对每项进行计算，即可得出答案．
【详解】∵、、、、是按从小到大顺序排列的5个连续整数，
∴、、、
∴新数据为：、、、、
原数据的平均数为：，
中位数为，
极差为，
方差为；
新数据的平均数为：，与原来相比平均数一样，
中位数为，与原来相比中位数不变，
极差为，与原来相比极差减小，
方差为
，与原来相比方差变小；
故选：D．
【点睛】本题考查了平均数，中位数，极差、方差的意义．平均数平均数表示一组数据的平均程度．中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（或最中间两个数的平均数）；极差是一组数据中最大值减去最小值；方差是用来衡量一组数据波动大小的量．
5. 如图，是的高，若，，则长的最大值为（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，根据“定线段对定角度”确定点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，当经过圆心时最长，再计算即可．
【详解】在上方作以为斜边的等腰直角三角形，
∵
∴点C在以为圆心，长为半径的圆上运动，
∵，
∴，
当经过圆心时最长
∵是的高，
∴
此时，
故选：A．
【点睛】本题考查几何最值问题，解题的关键是确定点C在以为圆心，长为半径的圆上运动．
6. 如图是二次函数的部分图像，顶点坐标为．下列结论：
①；②方程有两个相等的实数根；③；④．其中所有正确结论的序号是（ ）
A. ①②③④B. ②③④C. ①③④D. ①②③
【答案】A
【解析】
【分析】由抛物线的开口方向以及对称轴的位置可判断①，由抛物线顶点坐标为可判断④，由当时，及抛物线的对称轴可得当时，，从而判断③．
【详解】∵抛物线开口向上，
∴，
∵抛物线顶点坐标为，
∴，
∵，①正确，
∵方程可以看作是函数与的交点，
又抛物线的顶点坐标为，
∴函数与有一个交点，
即方程有两个相等的实数根，②正确，
由图象可得，当时，，
∵抛物线对称轴为直线，
∴当时，，③正确，
∵抛物线顶点坐标为，
∴，
∴，④正确，
∴结论正确的序号为①②③④，
故选：A．
【点睛】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握二次函数的图象与系数的关系，二次函数与方程以及不等式的关系．
二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
7. 二次函数的图像的顶点坐标为______．
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的顶点坐标为，即可得出答案．
【详解】解：二次函数的图像的顶点坐标为．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质，熟练掌握由顶点式求顶点坐标是解本题的关键．
8. 如图，任意转动转盘一次，指针指向A区域的概率等于______．
【答案】
【解析】
【分析】用A区所占的圆心角度数除以即可得出答案；
【详解】∵A区域的圆心角为，
∴指针指向A区域的概率为．
故答案为：．
【点睛】此题考查几何概率，解题的关键是把求概率转化成圆心角度数比．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
9. 已知圆锥的底面半径为6，母线长为8，圆锥的侧面积为______．
【答案】48π
【解析】
【分析】根据圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式求解．
【详解】解：圆锥侧面积＝•2π•6•8＝48π．
故答案为：48π．
【点睛】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．
10. 设，是一元二次方程的两个根，则______．
【答案】
【解析】
【分析】利用根与系数的关系可求得和的值，代入求值即可．
【详解】∵，是一元二次方程的两个根，
∴，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查根与系数的关系，一元二次方程的根与系数的关系为：，．
11. 如图，正五边形内接于，相交于点M，则______°．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据正五边形的性质得到，，然后利用三角形内角和定理得，最后利用．
【详解】∵五边形为正五边形，
∴，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是多边形内角，正五边形的性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，利用数形结合求解是解答此题的关键．
12. 若关于的一元二次方程有实数根，则实数k的取值范围是_____．
【答案】
【解析】
【分析】由关于的一元二次方程有实数根，可得再解不等式可得答案．
【详解】解： 关于的一元二次方程有实数根，
∴， 即
解得： ．
故答案为：．
【点睛】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
13. 若点，，都在二次函数的图像上，则、、的大小关系是______．（用“”连接）
【答案】
【解析】
【分析】根据二次函数的解析式，得出图像的开口向下，对称轴是直线，再根据抛物线的对称性，得出关于直线的对称点为，再根据时，y随x的增大而减小，即可得出答案．
【详解】解：∵二次函数，
∴图像的开口向下，对称轴是直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵关于直线的对称点为，
∵，
∴．
故答案为：
【点睛】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，二次函数的图像与性质，熟练地运用二次函数的性质进行推理是解本题的关键．
14. 如图，、分别切于点、点，是上一点（不与、重合）．若，则______°．
【答案】或##115或65
【解析】
【分析】分两种情况：当点在优弧上时，连接、，根据切线的性质，得出，再根据四边形的的内角和，得出，再根据圆周角定理，得出的度数；当点在点处时，根据圆内接四边形的对角互补，得出的度数，然后综合即可得出答案．
【详解】解：如图，连接、，当点在优弧上时，
∵、分别切于点、点，
∴，，
∴，
又∵，
四边形中，
∴，
∴，
当点在点处时，
∵，
在四边形中，
，
综上可得：或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了切线的性质、四边形的的内角和定理、圆周角定理、圆内接四边形的对角互补，解本题的关键在分类讨论，并熟练掌握相关的性质定理．
15. 已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．
【答案】
【解析】
【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5．
【详解】，
，
，
代数式的最小值等于5，
故答案为：．
【点睛】此题考查了代数式的变形及配方法的应用，关键是掌握完全平方公式并正确变形、计算．
16. 如图，在中，，，，D是上一个动点，以为直径的交于点E，则长的最小值为______．
【答案】##
【解析】
【分析】取中点，连接、、，由为直径可得，则，最后由可得当三点共线时最小，再计算即可．
【详解】解：取中点，连接、、，
∵为直径，
∴，
∴，
过作于，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴
∴在中，
∵中，
∴当三点共线时最小，最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查圆直径所对圆周角90度，直角三角形斜边中线等于斜边一半，三角形三边关系等知识点，解题的关键是确定什么时候最小．
三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程
（1）
（2）
【答案】（1），
（2），
【解析】
【分析】（1）利用十字相乘法分解因式，计算即可；
（2）首先移项，然后利用提公因式法分解因式，计算即可．
【小问1详解】
解：
因式分解，可得：，
于是得：或，
∴，；
【小问2详解】
解：
移项，可得：，
提公因式，可得：，
于是得：或，
∴，．
【点睛】本题考查了解一元二次方程，根据方程的特点灵活运用合适的方法求解是解本题的关键．解一元二次方程的基本思路是：将二次方程转化为一次方程，即降次．
18. 如图，是的弦，点在上，是点关于的对称点．连接并延长交于点．求证：．
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】连接交于点，根据轴对称的性质，得出，，再根据垂线的定义，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据圆周角定理，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据“边角边”，得出，再根据全等三角形的性质，得出，再根据等量代换，即可得出结论．
【详解】解：如图，连接交于点，
∵是点关于的对称点，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、圆周角定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
19. 某校组织学生参加安全知识竞赛，为了解竞赛情况，从两个年级各抽取10名学生，统计的成绩如下（满分：100分）
七年级：90，95，95，80，85，90，80，90，85，100；
八年级：85，85，95，80，95，90，90，90，100，90．
分析数据：
根据以上信息回答下列问题：
（1）______，______，______；
（2）从方差的角度看，______的成绩更稳定（填“七年级”或“八年级”）；
（3）通过数据分析，你认为哪个年级的成绩比较好？说明理由．
【答案】（1），，
（2）八年级 （3）八年级成绩较好，理由见解析
【解析】
【分析】（1）根据中位数、众数、方差的定义，计算即可；
（2）根据方差的意义，分析即可；
（3）根据平均数和方差的意义，分析即可
【小问1详解】
解：∵将七年级10名学生成绩从小到大排列，可得：80，80，85，85，90，90，90，95，95，100，处于中间位置的两数都是90，
∴七年级学生成绩的中位数是90，即，
∵八年级学生成绩出现的次数最多的是90，
∴八年级学生成绩的众数是90，即，
∵八年级学生成绩的平均数为90，
∴八年级学生成绩的方差；
故答案为：，，
【小问2详解】
解：∵八年级的方差比七年级的要小，
∴八年级的成绩更稳定；
故答案为：八年级
【小问3详解】
解：八年级成绩较好，理由如下：
∵两个年级的中位数和众数相同，八年级的平均数比七年级的高，而且八年级的方差比七年级的要小，八年级的成绩更稳定，
∴八年级成绩较好．
【点睛】本题考查了平均数、中位数、众数、方差，理解平均数、中位数、众数、方差的定义和意义是解本题的关键．
20. 某小区设置了三个核酸检测点A、B、C，甲乙两人任意选择一个核酸检测点参加检测．
（1）甲选择核酸检测点A检测的概率为______；
（2）求甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意，得出共有种等可能情况，甲选择核酸检测点A检测的情况只有种，再根据概率公式，计算即可；
（2）画树状图，得出共有种等可能结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有种，再根据概率公式，计算即可．
【小问1详解】
解：∵设置了三个核酸检测点A、B、C，共有种等可能情况，其中甲选择核酸检测点A检测的情况只有种，
∴甲选择核酸检测点A检测的概率为；
故答案为：
【小问2详解】
解：画树状图如下：
共有种等可能结果，其中甲、乙两人不在同一检测点参加检测的结果有种，
∴甲、乙两人不在同一检测点参加检测的概率为．
【点睛】本题考查了用树状图法求概率、概率公式，解本题的关键在正确画出树状图，找出所有等可能情况．概率公式：概率等于所求情况数与总情况数之比．
21. 已知二次函数，函数与自变量的部分对应值如下表：
（1）求该函数的表达式；
（2）当时，的取值范围是______；
（3）若该函数图像向下平移个单位（）后，图像与坐标轴有两个公共点，则的值为______．
【答案】（1）
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据表格，把，；，和，代入，联立方程组，解出即可得出答案；
（2）首先把二次函数的解析式化为顶点式，得出抛物线开口向上，对称轴为，然后根据抛物线的对称性，得出关于的对称点为，再根据二次函数的性质，即可得出答案；
（3）根据平移规律，结合题意，得出抛物线的顶点在轴上或抛物线经过原点，进而得出或，解出即可得出答案．
【小问1详解】
解：把，；，和，代入，
可得：，
解得：，
∴该函数的表达式为：；
【小问2详解】
解：∵，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，
∴关于的对称点为，
∴当时，的取值范围是；
故答案为：；
【小问3详解】
解：∵该函数图像向下平移个单位（）后，图像与坐标轴有两个公共点，
∴抛物线的顶点在轴上或抛物线经过原点，
∴或，
解得：或，
∴的值为或．
故答案为：或
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、把一般式转化为顶点式、二次函数的图像与性质、二次函数的平移，解本题的关键在正确求出二次函数解析式，并熟练掌握二次函数的图像与性质．
22. 如图，在边长为1的正方形网格纸中，以O为圆心，为半径作圆，点O、A、B均在格点上．仅用无刻度直尺，完成下列作图（不写作法，保留作图痕迹）：
（1）在图①中，作的中点M；
（2）在图②中，作，使得．
【答案】（1）图见解析
（2）图见解析
【解析】
【分析】（1）连接，过点、格点作直线交于点，点即为所求点；
（2）在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，再根据“边角边”，得出，进而得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，，再根据对顶角相等，得出，进而得出，再根据垂线的定义，得出，再根据垂径定理，即可得出．
【小问1详解】
解：如图，点即为所求点；
【小问2详解】
解：如图，在网格上找到点，连接，并延长交于点，则，即为所求．
如图，设点下方的格点为，点上方的格点为，连接、、，与交于点，与交于点，
∵，
又∵，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了无刻度直尺作图，涉及垂径定理、全等三角形的判定与性质、网格的特点，解本题的关键在正确画出符合题意的图形．
23. 某商店销售一批口罩，一月份的销售额为20万元，由于市场需求量不断增大，销售额逐月增加，三月份的销售额比二月份的销售额多4.8万元．若口罩销售额每月的增长率相同，求这个增长率．
【答案】销售额每月的增长率为
【解析】
【分析】设销售额每月的增长率为，根据题意，得出二月份的销售额为万元，三月份的销售额为万元，再根据题意：三月份的销售额比二月份的销售额多万元，列出方程，解出即可得出答案．
【详解】解：设销售额每月的增长率为，
∵一月份销售额为万元，销售额每月的增长率相同，
∴二月份的销售额为万元，
∴三月份的销售额为万元，
又∵三月份的销售额比二月份的销售额多万元，
∴可得：，
解得：，（舍去），
∴销售额每月的增长率为．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解本题的关键在理清题意，找出等量关系，正确列出方程．
24. 已知二次函数（m为常数，且）．
（1）不论m为何值，该函数图像都会经过两个定点，求这两个定点的坐标；
（2）该函数图像与x轴公共点的个数随m的取值的变化而变化．直接写出该函数图像与x轴的公共点的个数及相应的m的取值范围．
【答案】（1），
（2）当或时，该函数图像与轴有两个公共点；当时，该函数图像与轴有一个公共点；当时，该函数图像与轴没有公共点
【解析】
【分析】（1）首先把解析式整理为，再根据整理后的解析式，结合题意，得出当时，，当，即时，，进而即可得出答案；
（2）令，得出一元二次方程，进而得出，然后再根据一元二次方程的判别式与根的关系，分别计算即可得出答案．
【小问1详解】
解：∵，
又∵不论m为何值，该函数图像都会经过两个定点，
∴当时，，
当，即时，，
∴该函数图像都会经过两个定点、；
【小问2详解】
解：∵令，则，
∴，
当时，则，
解得：或，
∴当或时，该函数图像与轴有两个公共点；
当时，则，
解得：或（舍去），
∴当时，该函数图像与轴有一个公共点；
当时，则，
解得：，
∴当时，该函数图像与轴没有公共点，
综上可得：当或时，该函数图像与轴有两个公共点；当时，该函数图像与轴有一个公共点；当时，该函数图像与轴没有公共点．
【点睛】本题考查了二次函数的图像与性质、抛物线与轴的交点问题、一元二次方程的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程的判别式与根的关系．一元二次方程的根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．
25. 如图，内接于，是上一点．过点作，交的延长线于点．连接、，．
（1）求证：；
（2）求证：是的切线；
（3）若，，，则的半径为______．
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析 （3）
【解析】
【分析】（1）根据圆内接四边形对角互补，得出，再根据平角的定义，得出，进而得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，再根据等量代换，得出，进而得出，再根据等角对等边，即可得出结论；
（2）连接并延长交于点，连接、，根据线段垂直平分线的判定定理，得出垂直平分，再根据线段垂直平分线的性质，得出，再根据两直线平行，内错角相等，得出，再根据切线的判定定理，即可得出结论；
（3）根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据圆周角定理，得出，再根据直角三角形两锐角互余，得出，再根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，进而得出，再根据圆周角定理，得出，再根据勾股定理，得出，进而即可得出答案．
【小问1详解】
证明：∵四边形是的内接四边形，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴；
【小问2详解】
证明：连接并延长交于点，连接、，
∵，，
∴垂直平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵是的半径，
∴是切线；
【小问3详解】
解：令与相交于点，延长交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∵是的直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的半径为．
故答案为：
【点睛】本题考查了圆内接四边形的性质、圆周角定理、等角对等边、线段垂直平分线的判定与性质、平行线的性质、切线的判定定理、直角三角形两锐角互余、勾股定理，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理，并正确作出辅助线．
26. 如图，是一个仓库的横截面，截面的轮廓可以看成由一个矩形和抛物线的一部分组成，，，抛物线的顶点到的距离为．为了测算该仓库的储藏空间，小明以所在直线为轴，以抛物线的对称轴为轴，建立了如图所示的平面直角坐标系，请继续解决下列问题：
（1）求该抛物线所对应的函数表达式；
（2）若存放的货物横截面为正方形，并使得正方形的一边在上且面积最大，求此正方形的面积；
（3）若存放的货物横截面为矩形，并使得矩形的一边在上且周长最大，求此矩形的周长．
【答案】（1）
（2）
（3）矩形的周长
【解析】
【分析】（1）根据题意，得出，，，，，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）当存放的货物横截面正方形的另外两个顶点在抛物线上时，即正方形面积最大，设点，则，根据两点之间的距离，得出，，再根据正方形的性质，得出，解出即可得出，再根据正方形的面积公式计算即可；
（3）设点，则，根据两点之间的距离，得出，，再根据矩形的周长公式，得出关于的二次函数，然后把一般式化为顶点式，再根据二次函数的性质，求解即可．
【小问1详解】
解：∵，，，
∴，，，，，
设该抛物线所对应的函数表达式为，
∴可得：，
解得：，
∴该抛物线所对应的函数表达式为；
【小问2详解】
解：如图，当存放的货物横截面正方形的另外两个顶点在抛物线上时，即正方形面积最大，
设点，则，
∴，，
∵，
∴可得：，
整理，可得：，
解得：或（舍去），
∴，
∴正方形的面积为：；
【小问3详解】
解：如图，
设点，则，
∴，，
∴矩形的周长为，
∵，
∴抛物线开口向下，有最大值，
∴当时，矩形的周长最大，最大值为，
∴矩形的周长为．
【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、坐标与图形、解一元二次方程、二次函数的应用、正方形的性质、矩形的性质、二次函数的图像与性质，解本题的关键在求出二次函数解析式，并充分利用数形结合思想解答问题．
27. （1）如图①，内接于，，点D在上．
求证：．
小明和小红在解决该问题时，有两种不同的添加辅助线的方式：
请选择其中一种作法，完成证明：
（2）如图②，内接于，BC是的直径，，点D在上．求证：．
（3）如图③，内接于，BC是的直径，，点D在上．则，，之间的数量关系是______．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）
【解析】
【分析】（1）方法选择：在上截取，连接，可得，证明是等边三角形，可证明，得出，则结论得证；
（2）可得出，过点作交于点，证明是等腰直角三角形，得出，根据可证得，得出，则结论得证；
（3）过点作交于点，得出，证明，得出，可得出结论；
【详解】（1），
，
如图①，在上截取，连接，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
；
（2）如图②，是的直径，
，
，
，
过点作交于点，
，
是等腰直角三角形，
，，
，
，
，
，
，
．
（3）如图③，
若是的直径，，
，，
过点作交于点，
，
，
，
，，
，
，
，
；
故答案为：．
【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，相似三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，正确作出辅助线，熟练运用图形的性质是解题的关键．
平均数
中位数
众数
方差
七年级
89
a
90
39
八年级
90
90
b
c
…
…
…
…
小明的作法
在上截取，连接……
小红的作法
延长至点，使得，连接……