四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析）

这是一份四川省宜宾市兴文第二中学校2023-2024学年高二上学期1月期末数学试题（Word版附解析），共20页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 抛物线的准线方程是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
分析】算出，借助准线定义即可得.
【详解】，即，有，故，则准线方程为.
故选：B.
2. 若直线经过两点，则直线的倾斜角为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两点坐标求出直线的斜率，进而求出倾斜角.
【详解】由直线经过两点，可得直线的斜率为，
设直线的倾斜角为，有，又，所以.
故选：C.
3. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，则事件与事件（ ）
A. 既互斥又对立B. 互斥但不对立C. 对立但不互斥D. 既不互斥也不对立
【答案】B
【解析】
【分析】根据互斥事件以及对立事件的概念，判断事件M，N的关系，即得答案.
【详解】由题意知事件：向上的点数为奇数；事件：向上的点数是6，
则事件与事件不会同时发生，故二者互斥，
当M不发生时，N也不一定发生，因为可能是投掷出向上的点数为2或4，
故二者不对立，
故选：B
4. 已知直线，若，则实数 （ ）
A. 1B. 3C. 1或3D. 0
【答案】A
【解析】
【分析】根据直线平行公式求出参数m的值，验证是否重合.
【详解】因为，所以，
解得：或，
当时，，，两直线平行，满足题意，
当时，，，两直线重合，舍，
所以.
故选：A.
5. 若方程表示一个圆，则m可取的值为（ ）
A. 0B. 1C. 2D. 3
【答案】D
【解析】
【分析】将题设中的一般式方程经配方化成标准方程，依题须使右式大于零，求得的范围，对选项进行判断即可.
【详解】由方程分别对进行配方得：，
依题意它表示一个圆，须使，解得：或，在选项中只有D项满足.
故选：D.
6. 在棱长为2的正方体中，（ ）
A. B. C. 2D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】根据向量数量积定义计算即可.
【详解】
在棱长为2的正方体中,
易知，
因为，与的夹角为，
所以与的夹角为，
.
故选：D
7. 记为等差数列的前n项和，已知，．若，则（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设等差数列的公差为，由等差数列的通项公式和前项和公式列方程组，解方程求出，即可求出，代入即可得出答案.
【详解】设等差数列的公差为．由条件可知解得
所以，．
由，得，即，解得（舍去）．
故选：B．
8. 已知为椭圆：上一点，，是的两个焦点，椭圆的离心率为，且的周长为16，若为等腰三角形，则的取值不可能为（ ）
A. 4B. 5C. 6D. 8
【答案】D
【解析】
【分析】由椭圆的离心率为，可得，由的周长为16可得：，联立
即得，的值，，分类讨论 ， ，即可得解.
【详解】由椭圆的离心率为，即，
由的周长为16，即，
可得：，
若， ，
若，，
若，，只有不可能，
故选：D
【点睛】本题考查了椭圆的离心率和椭圆定义，考查了分类讨论思想，属于中档题.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 已知直线，圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线恒过点B. 圆与圆有两条公切线
C. 直线被圆截得的最短弦长为D. 当时，圆存在无数对点关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】求解直线系所过的定点判断A；判断两圆位置关系判断B；求解直线被圆截的弦长判断C，利用圆的圆心与直线的位置关系判断D．
【详解】对A，直线，即，恒过点，所以A正确；
对B，圆的圆心坐标为，半径为，而圆的圆心为，半径为1，
则两圆心的距离为，半径和为3，半径差为1，则，则两圆相交，则两圆有两条公切线，B正确；
对C，圆的圆心坐标为，圆的半径为2．
直线，恒过点，代入圆方程得，则定点在圆内，则直线与圆必有两交点，
设圆心到直线的距离为，则弦长，若要弦长最短，则最大，
而圆心到直线的距离最大值即为圆的圆心到定点的距离为：，
所以直线被圆截得最短弦长为，所以C不正确；
对D，当时，直线方程为：，代入圆心坐标，得，
则该直线经过圆的圆心，所以圆上存在无数对点关于直线对称，所以D正确．
故选：ABD．
10. 已知数列满足，，则（ ）
A B.
C. D.
【答案】AD
【解析】
【分析】当时，，此时，由此即可判断B；由题意通过递推关系可得，进一步可得数列的通项公式，即可判断剩余选项.
【详解】数列满足，，
所以时，，此时，故B错误；
，，
，化为：．当时，．
．
，，故可知．
故选：AD．
11. 如图，正三棱柱的各棱长均为1，点和点分别为棱和棱的中点，先将底面置于平面内，再将三棱柱绕旋转一周，则（ ）

A. 设向量旋转后的向量为，则
B. 点的轨迹是以为半径的圆
C. 设向量旋转后的向量为，在平面上的投影向量为，则的取值范围是
D. 直线在平面内的投影与直线所成角的余弦值的取值范围是
【答案】ABC
【解析】
【分析】利用坐标法，由可得，利用模长公式可判断A、B，利用投影向量的概念可得，可判断C，利用夹角公式可判断D.
【详解】如图，取棱的中点，以为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，

则，，，，
，，
绕着旋转即绕着轴旋转，设旋转后的向量为，则，故A正确；
设，则，，点的轨迹是以为半径的圆，故B正确；
由题知，在平面上的投影向量即为其在平面上的投影向量，
则，故C正确；
设直线在平面内的投影与直线所成的角为，
则，故D错误.
故选：ABC.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是建立空间直角坐标系，利用坐标法计算.
12. 已知双曲线C：的左焦点为F，P为C右支上的动点，过P作C的一条渐近线的垂线，垂足为A，O为坐标原点，则下列说法正确的是（ ）
A. 点F到C的一条渐近线的距离为2
B. 双曲线C的离心率为
C. 则P到C的两条渐近线的距离之积大于4
D. 当最小时，则的周长为
【答案】BCD
【解析】
【分析】由点到直线的距离公式，可判断A项；根据离心率，可判断B项；设点，根据点到直线的距离公式，可判断C项；设双曲线的右焦点，由双曲线定义可知最小时，则只需最小即可，过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，再由距离公式即可判断D项.
【详解】双曲线的渐近线为，左焦点，所以点到C的一条渐近线的距离为，所以A错误；
由双曲线方程可得，，所以离心率，所以B正确；
设点，则，即，
点到两渐近线距离分别为和，
则，所以C正确；
设双曲线的右焦点，则，所以，
若最小，则只需最小即可，
过作垂直渐近线与点，交双曲线右支与点，此时最小，
，由勾股定理得，所以，所以，
所以的周长为，所以D正确.
故选：BCD.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 已知在一次随机试验E中，定义两个随机事件A，B，且，，，则________.
【答案】0.8##
【解析】
【分析】利用概率的基本性质及事件的运算求概率即可.
【详解】由.
故答案为：0.8
14. 已知为等差数列，，则的值为________．
【答案】
【解析】
【分析】法一：根据等差数列的通项公式，将条件和待求式都以表示，由此可求结果；
法二：根据等差数列的下标和性质求解出的值，然后分析待求式与的关系可得结果.
【详解】法一 根据等差数列通项公式得:
,
∴,
∴，
故答案为：.
法二 ∵，
由等差数列性质知：，
∴，∴，
∴，
故答案为：.
15. 在三棱锥中，平面，则三棱锥的内切球的表面积等于__________.
【答案】
【解析】
【分析】首先利用等体积法求出内切球半径，再利用球的表面积公式求答案即可.
【详解】如图，
由已知，得的面积为，
因为三棱锥的高为，
所以，等腰三角形底边上的高为，
所以三棱锥的表面积为，
体积.
又三棱锥的体积（其中为三棱锥内切球的半径），
所以，
所以三棱锥的内切球的表面积为.
故答案为：.
16. 已知抛物线，直线与抛物线交于两点，与圆交于两点在第一象限，则的最小值为______.
【答案】
【解析】
【分析】分别在，时，结合抛物线的性质证明，结合图象可得，再利用基本不等式求其最小值.
【详解】因为抛物线M的方程为，所以抛物线M的焦点为，准线，
则直线过抛物线的焦点F，
当时，联立与可得，
所以，则；
当时，如图，
过作轴于K，设抛物线的准线交y轴于E，
则，得，
则，同理可得，所以，
化圆N：为，则圆N的圆心为F，半径为1，
所以
，当且仅当即时等号成立，
所以的最小值为.
故答案为：
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17. 甲、乙两人组成“坚毅队”参加猜谜语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个谜语，已知甲每轮猜对的概率为，乙每轮猜对的概率为.在每轮活动中，甲和乙猜对与否互不影响，各轮结果也互不影响.
（1）求“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语的概率.
（2）求“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的概率.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用相互独立事件的概率公式计算即可.
（2）运用相互独立事件及对立事件的概率公式计算即可.
【小问1详解】
因为“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语，即：甲乙在两轮活动中都猜对，
所以“坚毅队”在两轮活动中猜对4个谜语的概率为.
【小问2详解】
由题意知，甲每轮猜错的概率为，乙每轮猜错的概率为，
因为“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的对立事件为：“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语，
又因“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语，即：甲乙在两轮活动中都猜错，
所以“坚毅队”在两轮活动中猜对0个谜语的概率为，
所以“坚毅队”在两轮活动中至少猜对1个谜语的概率为.
18. 已知圆经过点、，并且直线：平分圆．
（1）求圆的方程；
（2）过点，且斜率为的直线与圆有两个不同的交点，且，求k的值．
【答案】（1）
（2）1
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法即可得解；
（2）联立直线与圆的方程得到，从而化简得到关于k的方程，解之即可得解.
【小问1详解】
设圆C的标准方程为，
因为直线m：平分圆C的面积，
所以直线过圆心，即，
则，解得，
圆的方程为；
【小问2详解】
由题意直线的方程为，
联立，消去得，
设，
则，得，
故，
而，
所以
，
故有，解得，满足，
所以.
19. 已知双曲线的一条渐近线与直线垂直，且右顶点到该条渐近线的距离为.
（1）求双曲线的方程；
（2）若直线与双曲线交于、两点，线段的中点为，求直线的方程.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)根据已知条件渐近线与直线垂直，右顶点到该条渐近线的距离为，列等量关系即可求得双曲线方程；(2)用点差法，设而不求，即可得到直线的斜率，进而求得方程.
【小问1详解】
因为双曲线的一条渐近线与直线垂直，且直线的斜率为，且双曲线的渐近线为，则，可得，
所以，双曲线的渐近线方程为，即，
因为右顶点到该条渐近线的距离为，所以，
解得，所以，所以双曲线的方程为.
【小问2详解】
若直线轴，则、关于轴对称，此时，线段的中点在轴上，不合乎题意，
设、，设直线的斜率为，则，
则，所以，
化简得.
因为线段的中点为，所以，，
所以，解得，双曲线渐近线为，直线斜率大于渐近线斜率，
故过点的直线与双曲线有两个交点.所以直线的方程为.
20. 如图1，在中，，D为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角.
（1）求证：平面；
（2）设为的中点，，求二面角的余弦值.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）利用余弦定理以及勾股逆定理证得，再结合面面垂直的性质定理证得结果；
（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立空间直角坐标系，根据空间向量法求平面的法向量、平面的法向量，再求两个法向量的夹角的余弦值得出结果.
【小问1详解】
在中，，
为中点，，
又，
.
二面角为直二面角，
平面平面，又平面平面平面，
平面
【小问2详解】
以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系.
可求得，由得，
因为为的中点，，所以，
设平面的法向量为，平面的法向量为，
则得取，
得取，
设二面角为，
，
所以二面角的余弦值为
21. 为数列的前项和.已知，.
（1）证明是等比数列，并求数列的通项公式；
（2）数列满足，求数列的前项和.
【答案】21. 证明见解析；
22. .
【解析】
【分析】（1）利用题中的递推公式构造出，从而可证求解.
（2）利用错位相减法，即可求解.
【小问1详解】
证明：依题意，由两边同时加上，
可得，
因为，
所以数列是以为首项，为公比的等比数列，
所以，
，
则当时，，
当时，也满足上式，
所以数列的通项公式为：.
【小问2详解】
由（1）可得，
则，
，
两式相减，
可得
所以.
22. 在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的焦点为F，过F的直线l与该抛物线交于A，B两点，过焦点F且垂直于直线l的直线与抛物线C的准线交于点P．当直线l的斜率为1时，的面积为．
（1）求抛物线C的方程；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设直线的方程并联立抛物线方程，进而可表示出弦长，再求得，即可根据的面积求得p的值，即得答案.
（2）讨论直线斜率是否存在，存在时设直线方程，联立抛物线方程，可得根与与系数关系式，可表示出弦长，再求得的表达式，即可得的表达式，结合不等式知识即可得答案.
【小问1详解】
由题意知抛物线的焦点为，准线为，
当直线l的斜率为1时，设其方程为，
则直线斜率为，其方程为，与的交点为，
故；
联立，得，，
设，则，
故，
则，则，
故抛物线C的方程为.
【小问2详解】
当直线l斜率不存在时，其方程为，，
此时，则；
当直线l斜率存在时，由题意知斜率不为0，设其方程为，则，
联立，则，，
设设，则，
故，
将代入可得，
则，
故，
综上述可知的取值范围为.
【点睛】难点点睛：本题考查了抛物线方程的求解以及直线和抛物线位置关系中的范围问题，综合性较强，解答时要注意设直线方程，联立方程组，利用根与系数的关系式化简，难点在于计算过程较为复杂，计算量大，要十分细心.