2024汕尾高三上学期1月期末考试数学含答案

这是一份2024汕尾高三上学期1月期末考试数学含答案，共11页。试卷主要包含了已知角的终边经过点，则，函数的所有零点之和为等内容，欢迎下载使用。
本试题共4页，考试时间120分钟，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的信息填写清楚、准确，将条形码准确粘贴在条形码粘贴处。
2．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效。
3．答题时请按要求用笔，保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不得使用涂改液、修正带、刮纸刀。考试结束后，请将本试题及答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）
A．B．
C．D．且
2．在复平面内，复数z对应的点的坐标为，则（ ）
A．B．C．D．
3．设，，，则（ ）
A．B．C．D．
4．从2019年初，某生产新能源汽车零件的企业不断引进技术，此后每年的零件销售额均比上一年增加15%，已知该企业从2019年到2023年底的零件总销售额为202万元，则该企业2019年的销售额约为（参考数据：，）（ ）
A．30万元B．35.2万元C．40.4万元D．42.3万元
5．已知角的终边经过点，则（ ）
A．B．C．D．
6．数学家欧拉在1765年发现了九点圆，即在任意的三角形中，三边的中点、三条高的垂足、三条高的交点（垂心）与三角形顶点连线的中点，这九个点共圆，因此九点圆也称作欧拉圆．已知在中，，，，则的九点圆的半径为（ ）
A．B．C．D．
7．已知两圆锥的底面积分别为，，其侧面展开图中圆心角之和为，则两圆锥的母线长之和的最小值为（ ）
A．B．C．4D．5
8．函数的所有零点之和为（ ）
A．－2B．－1C．1D．2
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9．2023年入冬以来，流感高发，某医院统计了一周中连续5天的流感就诊人数y与第天的数据如表所示．
根据表中数据可知x，y具有较强的线性相关关系，其经验回归方程为，则（ ）
A．样本相关系数在内B．当时，残差为－2
C．点一定在经验回归直线上D．第6天到该医院就诊人数的预测值为130
10．已知函数及其导函数的定义域均为R，若是不恒为0的奇函数，则（ ）
A．B．
C．为奇函数D．为偶函数
11．已知函数的图象过点，，其部分图象如图所示，则（ ）
A．
B．的图象关于直线对称
C．在区间上单调递增
D．将的图象向右平移个单位后所得图象关于原点对称
12．已知抛物线的焦点为，经过点的直线l与C交于A，B两点，且抛物线C在A，B两点处的切线交于点P，D为AB的中点，直线PD交C于点E，则（ ）
A．点P在直线上B．E是PD的中点
C．D．轴
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知向量，，则______．
14．在二项式的展开式中，若常数项恰是所有奇数项的二项式系数之和的5倍，则实数a的值为______．（用数字作答）
15．若双曲线的同一支上存在两点A，B，使得（O为原点）为等边三角形，则称双曲线为“优美双曲线”，已知双曲线C是“优美双曲线”，则C的离心率的取值范围是______．
16．如图，在四棱柱中，底面ABCD为正方形，，，，且二面角的正切值为．若点P在底面ABCD上运动，点Q在四棱柱内运动，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（10分）
已知数列为等差数列，．
（1）求数列的通项公式；
（2）设数列的前n项和为，证明：．
18．（12分）
如图，在四棱锥中，底面ABCD为平行四边形，为等边三角形，，，，点E满足．
（1）证明：平面平面ABCD；
（2）求直线DE与平面PAB所成角的正弦值．
19．（12分）
为增强学生体质，某校高一（1）班组织全班同学参加限时投篮活动，记录他们在规定时间内的进球个数，将所得数据分成，，，，这5组，并得到如下频率分布直方图：
（1）估计全班同学的平均进球个数．（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
（2）现按比例分配的分层随机抽样方法，从进球个数在，，内的同学中抽取8人进行培训，再从中抽取3人做进一步培训．
（ⅰ）记这3人中进球个数在的人数为X，求X的分布列与数学期望；
（ⅱ）已知抽取的这3人的进球个数不全在同一区间，求这3人的进球个数在不同区间的概率．
20．（12分）
在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，的面积为S，已知．
（1）求；
（2）若，D为BC的中点，，求a的值．
21．（12分）
已知椭圆的短轴长为2，离心率为．
（1）求椭圆C的方程；
（2）椭圆C的左、右顶点分别为A，B，直线l经过点，且与椭圆C交于M，N两点（均异于A，B两点），直线AM，BN的倾斜角分别记为，试问是否存在最大值？若存在，求当取最大值时，直线AM，BN的方程；若不存在，说明理由．
22．（12分）
已知函数，其中．
（1）当时，证明：；
（2）若对任意，都有，求k的取值范围．x
1
2
3
4
5
y
21
10a
15a
90
109
2024年普通高中高三级教学质量测试
答案及评分标准（参考）数学
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13． 14．4 15． 16．
四、解答题：本题共6小题，共70分。
17．（10分）
（1）解：设等差数列的公差为d，
因为，所以，
所以，所以．
（2）证明：因为，
所以
．
18．（12分）
（1）证明：在中，由余弦定理得，
所以，所以．
又，平面PAC，平面PAC，，所以平面PAC．
又平面ABCD，所以平面平面ABCD．
（2）解：过点A在平面PAC内作垂直于AC的直线AZ，由（1）可得平面ABCD，
以点A为原点，AB，AC，AZ所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，
所以，，
，，所以．
设平面PAB的一个法向量为，由得
取，则，，所以是平面PAB的一个法向量
设直线DE与平面PAB所成角为，
则．
故直线DE与平面PAB所成角的正弦值为．
19．（12分）
解：（1）该班同学的平均进球个数
．
（2）由题意可知进球个数在，，内的频率分别为0.16，0.32，0.16，频率比为，
所以抽取的8人中，进球个数在，，内的人数分别为2，4，2．
（ⅰ）由题意可知，，1，2，3，所以，，
，，
所以X的分布列为
所以．
（ⅱ）记事件“抽取的3人的进球个数不全在同一区间”，事件“抽取的这3人的进球个数在不同区间”，
则，，所以，
即这3个人的进球个数在不同区间的概率为．
20．（12分）
解：（1）由题意得，即，
所以，即．
由正弦定理得，即，
所以，即，所以．
（2）由已知及正弦定理得，
由（1）得，所以，解得．
又D为BC的中点，所以，
所以，所以，
所以，解得，所以．
在中，由余弦定理得，解得．
21．（12分）
解：（1）由题意得解得
所以椭圆C的方程为．
（2）存在最大值，当取最大值时，
直线AM的方程为，BN的方程为，理由如下：
由（1）可得，，
由题意可知直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，，
联立，得，所以，
，，所以．
又，
所以，可知或．
若取最大值，则，此时．
此时
，
当且仅当，即，时等号成立，
此时直线AM的方程为，即，
直线BN的方程为，即．
22．（12分）
（1）证明：当时，，所以，
当时，，，，单调递减；
当时，，，，单调递增，
所以，即不等式成立．
（2）解：由题意得对任意，都有，
即，即．
令，可得恒成立，，
令，所以．
当时，，单调递减；
当时，，单调递增，
所以，即，所以在R上单调递增，
所以恒成立，即恒成立，故只需．
令，则，
当时，，单调递增；当时，，单调递减，
所以，所以只需，解得，所以k的取值范围是．题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
C
A
A
D
B
D
题号
9
10
11
12
答案
AD
ACD
BC
BCD
X
0
1
2
3
P