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人教版九年级数学下册基础知识专项讲练 专题27.1 比例的性质及成比例线段(知识讲解)
展开1.了解两条线段的比和比例线段的概念;
2.能根据条件写出比例线段;
3.会运用比例线段解决简单的实际问题.
【要点梳理】
要点一:线段的比:
如果选用同一长度单位量得两条线段a、b长度分别是m、n,那么就说这两条线段的比是a:b=m:n ,或写成.
注意:(1)两线段是几何图形,可用它的长度比来确定;
(2)度量线段的长,单位多种,但求比值必需在同一长度单位下比值一定是正数,比值与采用的长度单位无关.
(3)表示方式与数字的比表示类同,但它也可以表示为AB:CD.
要点二:成比例线段:
对于四条线段a、b、c、d,如果其中两条线段的比与另两条线段的比相等,如a:b=c:d,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
要点三:比例的基本性质:
要点四:几个重要的比例定理:
【典型例题】
类型一、线段的比
1.如图所示,有矩形ABCD和矩形,AB=8cm,BC=12cm,=4cm,=6cm.
(1)求和;
(2)线段,AB,,BC是成比例线段吗?
【答案】(1),(2)线段,AB,,BC是成比例线段.
【分析】
(1)根据已知条件,代入和,即可求得结果;
(2)根据和的值相等,即可判断线段A′B′,AB,B′C′,BC是成比例线段.
解:(1)∵AB=8cm,BC=12cm,A′B′=4cm,B′C′=6cm.
∴== ,==
(2)由(1)知== ,==;
∴=,
∴线段A′B′,AB,B′C′,BC是成比例线段.
【点拨】本题考查了比例线段,知道成比例线段的条件是解题的关键.
【变式1】(1)若=,求代数式的值;
(2)已知==≠0,求代数式的值.
【答案】(1) (2)
【分析】
(1)先把原式化为,进而可得出结论;
(2)直接利用已知得出,进而代入原式求解.
解:(1)∵=,
∴,
∴;
(2)设===k,则,
∴=.
【点拨】本题考查了比例式的性质,解题的关键是正确用k表示a、b、c.
【变式2】在中,;在中,,求与之比,与之比.
【答案】,,
【分析】在直角△ABC中,利用勾股定理求得AC的值,然后根据在同一长度单位下,两条线段的长度的比叫做这两条线段的比求解即可.
解:如图,在Rt△ABC中,
根据勾股定理知,AC10cm,
则,
【点拨】本题考查了勾股定理的应用.在任何一个直角三角形中,两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方.也考查了两条线段的比的求法.
类型二、比例的性质
2.已知===x,求x的值.
【答案】或2
【分析】分两种情况讨论:当a+b+c=0,当a+b+c≠0,再进行计算即可.
解:若a+b+c=0,则a+b=-c,b+c=-a,c+a=-b,
此时,x=-1,
若a+b+c≠0,则,
综上所述,x的值为-1或2.
【点拨】本题考查的是比例的基本性质,掌握“比例的等比性质”是解本题的关键.
【变式1】已知::::,且,求的值.
【答案】24
【分析】由已知条件设a=2k,则b=3k,c=4k,根据等式得到关于k的方程,解方程求得k,即求得a、b、c的值,从而可求得代数式的值.
解:∵a:b:c=2:3:4,
∴设a=2k,则b=3k,c=4k.
∵2a+3b-2c=15,
∴4k+9k-8k=15,
解得:k=3,
∴a=6,b=9,c=12,
∴a-2b+3c=6-18+36=24.
【点拨】本题考查了比例关系,解方程及求代数式的值,由比例关系设a=2k,则b=3k,c=4k是关键.
【变式2】已知==,求的值.
【答案】-1
【分析】设===k,则a+b=3k,b+c=4k,c+a=5k,把三式相加得到a+b+c=6k,再利用加减消元法可计算出a=2k,b=k,c=3k,然后把a=2k,b=k,c=3k代入中进行分式的化简求值即可.
解:设===k,
则a+b=3k,b+c=4k,c+a=5k,
三式相加得a+b+c=6k ①
用①式分别减去上述三个式子,可得出
解得a=2k,b=k,c=3k,
所以==-1.
【点拨】本题考查了比例的性质,掌握设比法求值是解题关键.
类型三、比例中项
3.已知线段a、b满足a:b=3:2,且a+2b=28
(1)求a、b的值.
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x的值.
【答案】(1)a=12,b=8;(2)x=4.
【分析】
(1)利用,可设,,则,然后解出的值即可得到、的值;
(2)根据比例中项的定义得到,即,然后根据算术平方根的定义求解.
解:(1)
设,,
,
,
,
,;
(2)是的比例中项,
,
是线段,,
.
【点拨】本题考查了比例线段,解题的关键是掌握对于四条线段、、、,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如(即,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.注意利用代数的方法解决较为简便.
【变式1】已知a,b,c是△ABC的三边,满足,且.
(1)求a,b,c的值.
(2)若线段x是线段a、b的比例中项,求x.
【答案】(1),,;(2)
【分析】
(1)根据,且,根据比例的性质可得a,b,c的值;
(2)根据比例中项的性质求解即可.
解:(1)∵,且,
∴,
∴,,,
∴,,,
(2)∵线段x是线段a、b的比例中项,
∴,
∴,
【点拨】本题考查了比例的性质和比例中项,熟悉相关性质是解题的关键.
【变式2】已知线段a=4cm,线段b=7cm,线段c是线段a,b的比例中项,求线段c的长.
【答案】线段c的长为2cm.
【分析】根据比例中项的定义,成比例线段,构建方程即可解决问题.
解:∵线段c是线段a,b的比例中项,
∴ab=c2,
∵a=4cm,b=7cm,c>0,
∴,
∴c=2cm.
故线段c的长为2cm.
【点拨】本题考查比例中项的定义,解题的关键是熟练掌握基本知识,利用成比例线段性质列出等式,属于中考常考题型.
类型四、成比例线段
4.已知三条线段长分别为1cm,cm,2cm,请你求出一条线段,使得它的长与前面三条线段能够组成比例线段.
【答案】cm、cm、cm
【分析】根据添加的线段长度,进行分情况讨论.
解:设这条线段长xcm,
①若四条线段的长度大小为:x,1,,2时,,解得:;
②若四条线段的长度大小为: 1,x,,2时,,解得:;
③若四条线段的长度大小为: 1,,x,2时,,解得:;
④若四条线段的长度大小为: 1,,2 ,x时,,解得:;
综上所述,线段长度为cm、cm或cm.
【点拨】本题考查成比例线段的求法,分类讨论是关键.
【变式1】如图,在中,,且,求的长.
【答案】.
【分析】利用比例线段得到,然后根据比例性质求.
解:,即,
,
.
【点拨】本题考查了比例线段、比例的性质,解题的关键是掌握对于四条线段、、、,如果其中两条线段的比(即它们的长度比)与另两条线段的比相等,如(即,我们就说这四条线段是成比例线段,简称比例线段.
【变式2】若P在线段AB上,点Q在AB的延长线上,,且,求PQ的长.
【答案】24
【分析】根据=,分别求出BP,BQ的长,两者相加即可求出PQ的长.
解:设AP=3x,BP=2x,
∵AB=10,∴AB=AP+BP=3x+2x=5x,即5x=10,
∴x=1,∴AP=6,BP=4.
∵=,∴可设BQ=y,则AQ=AB+BQ=10+y,
∴,
解得y=20,
∴PQ=PB+BQ=4+20=24.
【点拨】本题考查了比例线段、两点间的距离等知识,运用好线段之间的比例关系是解答本题的关键.
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