2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期数学期中试题及答案

这是一份2021-2022学年江苏省宿迁市沭阳县九年级上学期数学期中试题及答案，共23页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 已知⊙O的半径为3cm，若OP=2cm，那么点P与⊙O的位置关系是 （ ）
A. 点P在圆内B. 点P在圆上C. 点P在圆外D. 都有可能
【答案】A
【解析】
【分析】根据点与圆的位置关系的判定方法进行判断．
【详解】解：∵2＜3，
即点P到圆心的距离小于圆的半径，
∴点P与⊙O内．
故选：A．
【点睛】本题考查了点与圆的位置关系：点的位置可以确定该点到圆心距离与半径的关系，反过来已知点到圆心距离与半径的关系可以确定该点与圆的位置关系．
2. 下列方程一定是一元二次方程的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数2的整式方程，逐一进行判断即可．
【详解】A. 含有两个未知数，故A不是一元二次方程；
B. 只含一个未知数，且未知数最高次数为2次，故B是一元二次方程；
C. 若a≠0则是一元二次方程；若a=0则不是一元二次方程，故C不一定是一元二次方程；
D. 方程整理后是 ，方程中不含有二次项，故D不是一元二次方程；
故选B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的定义，熟悉一元二次方程的定义是解决本题的关键．
3. 如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据（ ）
A. 众数改变，方差改变
B. 众数不变，平均数改变
C. 中位数改变，方差不变
D. 中位数不变，平均数不变
【答案】C
【解析】
【分析】由每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，据此可得答案．
【详解】解：如果将一组数据中的每个数都减去5，那么所得的一组新数据的众数、中位数、平均数都减少5，方差不变，
故选：C．
【点评】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差、众数、中位数和平均数的定义．
4. 若关于x的一元二次方程k-6x+9=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ）
A. k<1B. k<1且k0C. k1D. k>1
【答案】B
【解析】
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，然后求出两不等式的公共部分即可．
【详解】解：根据题意得k≠0且Δ=（-6）2-4×k×9＞0，
解得k＜1且k≠0．
故选：B．
【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根与Δ=b2-4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
5. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，则八年级班级的个数为（ ）
A. 5B. 6C. 7D. 8
【答案】B
【解析】
【分析】设有x个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了场比赛，即可列出方程，求解即可．
【详解】解：设有x个班级参加比赛，
，
，
解得：（舍），
则共有6个班级参加比赛，
故选：B．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系．
6. 如图，是的直径，点，为上的点．若，则的度数为（ ）．
A. 70°B. 100°C. 110°D. 140°
【答案】C
【解析】
【分析】先得出∠ACB=90°，再计算出∠B,根据圆内接四边形对角互补得出结果
【详解】解：∵AB是直径
∴∠ACB=90°, ∠CAB=20°
∴∠B=70°
∵四边形ADCB是圆内接四边形
∴∠B+∠D=180°
∴∠D=110°
故选：C
【点睛】本题考查圆周角定理、圆内接四边的性质．熟练记忆定理、性质是关键．灵活使用相应的定理性质是重点．
7. 如图，四边形是半径为2的内接四边形，连接．若，则的长为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】设，则，，利用圆内接四边形的性质得，进而可求得，最后再结合弧长公式进行解答即可．
【详解】解：∵，
∴设，则，
∴，
四边形ABCD内接于，
，
，
解得：，
∴，
又的半径为2，
长为．
故选：D．
【点睛】本题考查了圆周角定理、圆的内接四边形的性质以及弧长的计算，熟练掌握圆周角定理以及圆的内接四边形的性质是解决本题的关键．
8. 如图，在△ABC中，∠A=60°，BC=5，能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是 （ ）
A. B. C. 5D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据圆的相关知识即可求得△ABC外接圆的直径，即可解决问题．
【详解】解：能够将△ABC完全覆盖的最小圆是△ABC的外接圆，
设圆的圆心为点O，如图所示：
在△ABC中，∠A=60°，BC=5cm，
∴∠BOC=120°，
作OD⊥BC于点D，则∠ODB=90°，∠BOD=60°，
∴BD=，∠OBD=30°，
∴OB==cm，
∴2OB=cm，
即能够将△ABC完全覆盖的最小圆形纸片的直径是cm，
故选：D．
【点睛】本题考查了三角形的外接圆和外心以及解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，作出合适的辅助线，利用数形结合的思想解答．
二、填空题
9. 方程x（x+1）＝0的解是_______________．
【答案】x1=0,x2=-1
【解析】
【分析】方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，所以可化为两个一次方程：x=0，x+1=0，解此两个一次方程即可求得．
【详解】解：x（x+1）=0
x=0或x+1=0
x1=0，x2=-1．
故答案为x1=0，x2=-1．
【点睛】本题考查解一元二次方程-因式分解法，因式分解法解一元二次方程时，应使方程的左边为两个一次因式相乘，右边为0，再分别使各一次因式等于0即可求解．
10. 一元二次方程-4x-3=0配方可化为_______________．
【答案】（x-2）2=7
【解析】
【分析】移项后，两边都加上一次项系数一半的平方即可．
【详解】解：∵x2-4x-3=0，
∴x2-4x=3，
则x2-4x+4=3+4，即（x-2）2=7，
故答案为：（x-2）2=7．
【点睛】本题考查了解一元二次方程-配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．
11. 一组数据5、8、6、7、4方差为____________．
【答案】2
【解析】
【分析】先计算出这组数据的平均数，再根据方差的定义列式计算即可．
【详解】解：这组数据的平均数为=6，
∴这组数据的方差为×[（4-6）2+（5-6）2+（6-6）2+（7-6）2+（8-6）2]=2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查方差，解题的关键是掌握方差的定义与计算公式．
12. 在一次射击训练中，甲、乙两人各射击 10 次，两人 10 次射击成绩的平均数均是 8.9 环，方差分别是 S 甲2＝1.7，S 乙 2=1.2，则关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是___________．(填“甲”或“乙”)
【答案】乙
【解析】
【分析】根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解．
【详解】解：因为S甲2=1.7＞S乙2=1.2，方差小的为乙，
所以关于甲、乙两人在这次射击训练中成绩稳定是乙．
故答案为乙．
【点睛】本题考查了方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
13. 圆锥的高为4，底面圆的半径为3，则该圆锥侧面积为_____．
【答案】
【解析】
【分析】首先根据底面半径和圆锥的高利用勾股定理求母线长，然后直接利用圆锥的侧面积公式代入求出即可．
【详解】解：圆锥的高为4，底面圆的半径为3
母线长为5
圆锥侧面积为
故答案为：．
【点睛】本题主要考查圆锥的侧面积，解题的关键是熟练掌握侧面积公式：及求出母线长．
14. 若+=3，=1，则以，为根，且二次项系数为1的一元二次方程是________．
【答案】x2-3x+1=0
【解析】
【分析】由于二次项系数为1，所以可设方程为x2+bx+c=0（b，c是常数），再根据两根之和与两根之积公式分别求出 b、c的值，代入数值即可得到方程．
【详解】解：设二次项系数为1的一元二次方程为x2+bx+c=0（b，c是常数）．
∵x1+x2=3，x1x2=1，
∴-b=3，c=1，
∴b=-3，c=1．
故所求方程为x2-3x+1=0．
故答案为：x2-3x+1=0．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根与系数的关系及一般形式．正确求出b、c的值是解题的关键．
15. 如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB=90°，C为弧AB上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D，E．若∠CDE=40°，则图中阴影部分的面积为_____________．
【答案】
【解析】
【分析】连接OC，易证得四边形CDOE是矩形，则△DOE≌△CEO，得到∠COB=∠DEO=40°，图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，利用扇形的面积公式即可求得．
【详解】解：连接OC，
∵∠AOB=90°，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴OD=CE，DE=OC，CD∥OE，
∵∠CDE=40°，
∴∠DEO=∠CDE=40°，
在△DOE和△CEO中，
，
∴△DOE≌△CEO（SSS），
∴∠COB=∠DEO=40°，
∴图中阴影部分的面积=扇形OBC的面积，
∵S扇形OBC==，
∴图中阴影部分的面积=，
故答案为：．
【点睛】本题考查了扇形面积的计算，矩形的判定与性质，利用扇形OBC的面积等于阴影的面积是解题的关键．
16. 半径为2cm的⊙O中，弦长为2cm的弦所对的圆心角度数为 ____．
【答案】120°
【解析】
【分析】作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，在直角三角形中，利用，根据比值求得 的度数，从而知道 的度数，即可进一步求得最后答案．
【详解】如图，作OD⊥AB，由垂径定理知，点D是AB的中点，
∴AD＝AB＝（cm），
∵ cs A＝，
∴∠A＝，
∴∠AOD＝60°，
∴∠AOB＝2∠AOD＝120°，
故答案为：120°．
【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、垂径定理等相关知识点，牢记知识点是解题关键．
17. 如图，⊙O为△ABC的内切圆，NC=5.5，点D，E分别为BC，AC上的点，且DE为⊙O的切线，切点为Q，则△CDE的周长为___________．
【答案】11
【解析】
【分析】根据切线长定理得到CN=CM=5.5，EN=EQ，DQ=DM，根据三角形的周长公式即可得到结论．
【详解】解：∵⊙O为△ABC的内切圆，
∴CN=CM=5.5，
∵DE为⊙O的切线，切点为Q，
∴EN=EQ，DQ=DM，
∴△CDE的周长=CE+CD+DE=CE+EQ+DQ+CD=CE+EN+CD+DM=CN+CM=11，
故答案为：11．
【点睛】此题主要是考查了切线长定理．掌握圆中的有关定理是解题的关键．
18. 如图所示，AB为⊙O的直径，AB=2，OC是⊙O的半径，OC⊥AB，点D在弧AC上， 点P是O C上一动点，则阴影部分周长的最小值为___________．
【答案】
【解析】
【分析】B是A关于OC的对称点，连接BD则就是AP+PD的最小值．根据已知条件可以知道∠ABD=30°，由于AB是直径，所以∠ADB=90°，解直角三角形求出BD，利用弧长公式求出的长即可．
【详解】解：如图，连接BD，AD，PB．
根据已知得B是A关于OC的对称点，
∴BD就是AP+PD的最小值，
∵，而弧AC的度数是90°的弧，
∴的度数是60°，
∴∠ABD=30°，
∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
而AB=2，
∴BD=，
∵=，
∴AP+PD的最小值是，
∴阴影部分的周长的最小值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查轴对称最短问题，弧长公式等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
三、解答题
19. 计算
（1）+4x-3=0
（2）x（x-1）=2（x-1）
【答案】（1）x1=，x2=
（2）x1=1，x2=2
【解析】
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）先移项，再利用提公因式法将方程的左边因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
【小问1详解】
解：∵x2+4x-3=0
∴x2+4x=3
则x2+4x+4=3+4，即（x+2）2=7
∴x+2=
∴x1=，x2=
【小问2详解】
∵x（x-1）=2（x-1）
∴x（x-1）-2（x-1）=0
∴（x-1）（x-2）=0
则x-1=0或x-2=0
解得x1=1，x2=2
【点睛】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
20. 先化简，再求值：，其中x满足x2－3x＋2＝0.
【答案】x，2
【解析】
【详解】解：由，
此处
又得，
解得或（舍）
故原式的值为
21. 某居民小区的一处圆柱形的输水管道破裂，维修人员为更换管道，需要确定管道圆形截面的半径．如图，若这个输水管道有水部分的水面宽AB=16cm，水最深的地方的高度为4cm，求这个圆形截面的半径．
【答案】10cm
【解析】
【分析】先过圆心O作半径CO⊥AB，交AB于点D设半径为r，得出AD、OD的长，在Rt△AOD中，根据勾股定理求出这个圆形截面的半径．
【详解】解：过点O作OC⊥AB于D，交⊙O于C，连接OB，
∵OC⊥AB
∴BD=AB=×16=8cm
由题意可知，CD=4cm
∴设半径为xcm，则OD=（x﹣4）cm
在Rt△BOD中，
由勾股定理得：OD2+BD2=OB2
（x﹣4）2+82=x2
解得：x=10．
答：这个圆形截面的半径为10cm．
【点睛】此题考查了垂经定理和勾股定理，关键是根据题意画出图形，再根据勾股定理进行求解．
22. 如图，△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，⊙O与BC相切于D点，连AD，求证：AD平分∠BAC．
【答案】见解析
【解析】
【分析】连接OD，根据切线的性质得到OD⊥BC，进而证明OD∥AC，得到∠CAD=∠ODA，根据等腰三角形的性质的得到∠OAD=∠ODA，根据角平分线的定义证明结论．
【详解】解：证明：连接OD，
∵BC是⊙O的切线，
∴OD⊥BC，
∵∠C=90°，
∴OD∥AC，
∴∠CAD=∠ODA，
∵OA=OD，
∴∠OAD=∠ODA，
∴∠CAD=∠OAD，即AD平分∠BAC．
【点睛】本题考查的是切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解题的关键．
23. 某校学生会向全校3000名学生发起了“爱心捐助”捐款活动，为了解捐款情况，学生会随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如图所示的统计图
请根据相关信息，解答下列问题：
（1）本次接受随机调查的学生人数为______，图1中的值是______．
（2）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；
（3）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．
【答案】（1）50人，32；（2）平均数是15元，众数是10元，中位数是15元；（3）960人
【解析】
【分析】（1）根据条形图中捐款5元的人数是4人，占总比的8%，将4除以8%即可得到总人数，再用捐款10元的是16人，除以总人数，即可求得m的值；
（2）先计算所有人的捐款总额，再除以总人数即可解得平均数；所有数据中，出现的次数最多的那个数据即是众数；将各数据按大小顺序排列，处于正中间的第25，26个数据的平均值即是中位数，据此解题；
（3）先计算捐款10元的16人在50人中的占比，再将比值乘以3000即可解题．
【详解】（1）本次接受随机调查的学生人数为（人），
∴，即，
故答案为：50人，32；
（2）本次调查获取的样本数据的平均数是：（元），
本次调查获取样本数据的众数是：10元，
本次调查获取的样本数据的中位数是：15元；
（3）估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数为（人）．
【点睛】本题考查条形图、扇形图、平均数、众数、中位数、用样本估计总体等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
24. 如图，某数学兴趣小组将边长5的的正方形铁丝框ABCD变形为以A为圆心，AB为半径的扇形（忽略铁丝的粗细），求所得的扇形ABD面积．
【答案】25
【解析】
【分析】求BCD弧长，求BCD弧占圆的比，再求面积即可．
【详解】扇形BCD弧长=2×5=10，
∴扇形BCD弧长：圆周长=10:（10×3.14）=1:3.14，
∴扇形BCD的面积=．
【点睛】本题考查周长相等的正方形变形为扇形的面积问题，抓住扇形的弧长与圆周长的比是关键．
25. 某商店销售一款口罩，每袋的进价为12元．当售价为每袋18元时，日均销售量为100袋．经市场调查发现，每袋售价涨价1元，日均销售量减少5袋．设口罩每袋涨价为：x元
（1）当x=3时，销售量是___________．
（2）物价部门规定，该款口罩的每袋售价不得高于22元．当每袋涨价多少元时，商店销售该款口罩所得的日均利润为720元？
【答案】（1）85袋 （2）2元
【解析】
【分析】（1）利用销售量=100-5×上涨价格，即可求出结论；
（2）若设口罩每袋涨价为x元，则每袋的销售利润为（18+x-12）元，日销售量为（100-5x）袋，利用商店销售该款口罩获得的日均利润=每袋的销售利润×日销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出x的值，再结合该款口罩的每袋售价不得高于22元，即可得出每袋涨价2元．
【小问1详解】
解：当x=3时，销售量是100-5×3=85（袋）．
故答案为：85袋；
【小问2详解】
若设口罩每袋涨价为x元，则每袋的销售利润为（18+x-12）元，日销售量为（100-5x）袋，
依题意得：（18+x-12）（100-5x）=720，
整理得：x2-14x+24=0，
解得：x1=2，x2=12，
当x=2时，18+x=18+2=20＜22，符合题意；
当x=12时，18+x=18+12=30＞22，不合题意，舍去，
答：当每袋涨价2元时，商店销售该款口罩所得的日均利润为720元．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
26. 在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（4，4），C（6，2）
（1）请确定经过点A，B，C的圆弧所在圆的圆心M的位置，并写出点M的坐标；
（2）若一个点D（7，0），试判断直线CD与圆M的位置关系，并说明理由．
【答案】（1）（2，0）
（2）直线CD与圆M相切，理由见解析
【解析】
【分析】（1）作AB和BC的垂直平分线，两线交于一点M，点M即为所求，由图形可知：这点的坐标是（2，0）；
（2）利用勾股定理和勾股定理的逆定理求解即可．
【小问1详解】
解：如图，点M即为所求．
M（2，0）；
小问2详解】
直线CD与圆M相切，
理由：连接CM
圆M的半径CM=，
∵D（7，0），M（2，0），
∴OD=7，OM=2，
∴DM=7-2=5，CD=，
∵CM2+CD2=20+5=25=52=DM2，
∴∠MCD=90°，
∴MC⊥CD，
∵MC是圆M的半径，
∴直线CD与圆M相切．
【点睛】本题考查直线与圆的位置关系，作图-复杂作图，垂径定理，勾股定理，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用线段的垂直平分线的性质确定圆心．
27. 如图，AB是⊙O的直径，BD平分∠ABC，DE⊥BC

（1）求证：DE是⊙O的切线：
（2）若CE=2，DE=4，求⊙O的半径．
【答案】（1）见解析 （2）5
【解析】
【分析】（1）连接OD，根据等腰三角形的性质和角平分线得出OD∥BE，再根据垂线和平行线的性质得出OD⊥DE，进而得出DE是⊙O的切线；
（2）根据圆周角定理和垂径定理得出AF=FC=DE=4，在Rt△OAF中，由勾股定理列方程求解即可．
【小问1详解】
解：如图，连接OD，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
又∵OB=OD，
∴∠ABD=∠ODB，
∴∠ODB=∠DBC，
∴OD∥BE，
∵DE⊥BE，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线；
【小问2详解】
如图，连接AC，交OD于F，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°，
又∵∠FDE=90°，∠DEC=90°，
∴四边形FDEC是矩形，
∴DF=CE=2，FC=DE=4．
由垂径定理可知
设⊙O的半径为r，
在Rt△OAF中，由勾股定理得，
即（r-2）2+42=r2，
解得r=5．
即半径为5．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，圆周角定理、垂径定理以及勾股定理，掌握切线的判定方法，掌握圆周角定理、垂径定理以及勾股定理是正确解答的关键．
28. 如图，AB为⊙O的直径，且AO=4，点C在半圆上，OC⊥AB，垂足为点O，P为半圆上任意一点过P点作PE⊥OC于点E，设△OPE的内心为M，连接OM
（1）求∠OMP的度数；
（2）随着点P在半圆上位置的改变，∠CMO的大小是否改变，说明理由；
（3）当点P在半圆上从点B运动到点C时，直接写出内心M所经过的路径长．
【答案】（1）135°
（2）不改变，理由见解析
（3）
【解析】
【分析】（1）由内心的定义可知∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，求出∠MOP与∠MPO的和为45°，利用三角形的内角和定理即可求出∠OMP的度数；
（2）连接CM，证△COM≌△POM，即得出∠CMO=∠OMP=135°，可知∠CMO的大小不改变，为135°；
（3）连接AC，证明△ACO为分别为等腰直角三角形，求出CQ=，∠CQO=90°，分析得出当点Q在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，根据弧长公式即可求出M所经过的路径长．
【小问1详解】
解：∵OC⊥AB，
∴∠OEP=90°，
∴∠EOP+∠EPO=90°，
∵M为△OPE的内心，
∴∠MOP=∠MOC=∠EOP，∠MPO=∠MPE=∠EPO，
∴∠MOP+∠MPO=（∠EOP+∠EPO）=45°，
∴∠OMP=180°-（∠MOP+∠MPO）=135°；
【小问2详解】
∠CMO的大小不改变，理由如下：
如图2，连接CM，
在△COM和△POM中，
，
∴△COM≌△POM（SAS），
∴∠CMO=∠OMP=135°，
∴∠CMO的大小不改变，为135°；
【小问3详解】
如图3，连接AC，CM，
∵CO⊥AB，
∴OA=OC，
∴△ACO为等腰直角三角形，
∴AC=AO=，
取AC中点Q，连接OQ，
则∠CQO=90°，
∴CQ=AC=，
∴当点P在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上，所对圆心角为90°，
∴=，
∴内心M所经过的路径长为．
【点睛】本题考查了三角形内心的定义，全等三角形的判定，弧长公式等，解题关键是能够根据题意判断出当点P在半径OC的右侧的半圆上时，点M的轨迹在以AC为直径的圆弧上．