2023年湖北省随州市中考数学真题

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（考试时间120分钟 满分120分）
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如雷改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，答在试卷上无效．
3．非选择题作答：用0.5毫米黑色墨水签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，答在试卷上无效．
4．考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交．
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的）
1. 实数﹣2023的绝对值是（ ）
A. 2023B. ﹣2023C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据绝对值的代数意义即可得出答案．
【详解】解：因为负数的绝对值等于它的相反数，
所以，﹣2023的绝对值等于2023．
故选：A．
【点睛】本题考查了绝对值的代数意义，熟练掌握知识点是本题的关键．
2. 如图，直线，直线l与、相交，若图中，则为（ ）

A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据两直线平行，同旁内角互补进行求解，即可得到答案．
【详解】解：直线，
，
，
，
故选C．
【点睛】本题考查了平行线的性质，解题关键是掌握两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补．
3. 如图是一个放在水平桌面上的圆柱体，该几何体的三视图中完全相同的是（ ）

A. 主视图和俯视图B. 左视图和俯视图C. 主视图和左视图D. 三个视图均相同
【答案】C
【解析】
【分析】根据三视图的定义判断即可．
【详解】该几何体的三视图中完全相同的是主视图和左视图，均为矩形，俯视图是一个圆．
故选：C．
【点睛】本题考查三视图的知识点，主要掌握主视图、左视图、俯视图分别是从物体的前面、左面、上面看到的图形是解题的关键．
4. 某班在开展劳动教育课程调查中发现，第一小组6名同学每周做家务的天数依次为3，7，5，6，5，4（单位：天），则这组数据的众数和中位数分别为（ ）
A. 5和5B. 5和4C. 5和6D. 6和5
【答案】A
【解析】
【分析】根据众数和中位数的概念求解．
【详解】解：将数据重新排列为3，4，5，5，6，7，
所以这组数据的众数为5，中位数，
故选：A．
【点睛】本题考查了众数和中位数的概念：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．
5. 甲、乙两个工程队共同修一条道路，其中甲工程队需要修9千米，乙工程队需要修12千米．已知乙工程队每个月比甲工程队多修1千米，最终用的时间比甲工程队少半个月．若设甲工程队每个月修x千米，则可列出方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，根据“最终用的时间比甲工程队少半个月”列出分式方程即可．
【详解】解：设甲工程队每个月修x千米，则乙工程队每个月修千米，
依题意得，
故选：A．
【点睛】此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是分析题意，找准关键语句，列出相等关系．
6. 甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y与时刻t的对应关系如图所示，关于下列结论：①A，B两城相距；②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是；③乙车先出发，先到达B城；④甲车在追上乙车．正确的有（ ）

A. ①②B. ①③C. ②④D. ①④
【答案】D
【解析】
【分析】根据图象逐项分析判断即可．
【详解】解：由图象知：
①A，B两城相距，故此项正确；
②甲车的平均速度是，乙车的平均速度是，故此项错误；
③乙车先出发，才到达B城，甲车后出发，就到达B城，故此项错误；
④两车在时，行驶路程一样，即甲车在追上乙车，故此项正确．
综上，①④说法正确，
故选：D．
【点睛】本题考查了函数图象，正确识别图象并能提取相关信息是解答的关键．
7. 如图，在中，分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M，N，过M，N两点作直线交于点O，交于点E，F，下列结论不正确的是（ ）

A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据作图可知：垂直平分，得到，于是得到点O为的对称中心，，根据全等三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，推出四边形是菱形，据此判断即可．
【详解】解：根据作图可知：垂直平分，
∴，
∴点O为的对称中心，

∴，
∵，
∴，
∴，
∵在中，，
∴，
∴，
∴，
∴，故B正确；
∴，
∴，故A正确；
∴四边形是菱形，
∴，故C正确；
与不一定相等，故D错误，
故选：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质，尺规作图，菱形的判定与性质，全等三角形的判定与性质等知识，掌握菱形的判定与性质是解答本题的关键．
8. 已知蓄电池的电压为定值，使用某蓄电池时，电流I(单位：A)与电阻R(单位：)是反比例函数关系，它的图象如图所示，则当电阻为时，电流为( )

A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设该反比函数解析式为，根据当时，，可得该反比函数解析式为，再把代入，即可求出电流I．
【详解】解：设该反比函数解析式为，
由题意可知，当时，，
，
解得：，
设该反比函数解析式为，
当时，，
即电流为，
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的图象和性质，求出反比例函数解析式是解题关键．
9. 设有边长分别为a和b()A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为、宽为的矩形，则需要C类纸片的张数为( )

A. 6B. 7C. 8D. 9
【答案】C
【解析】
【分析】计算出长为，宽为的大长方形的面积，再分别得出A、B、C卡片的面积，即可看出应当需要各类卡片多少张．
【详解】解：长为，宽为的大长方形的面积为：
；
需要6张A卡片，2张B卡片和8张C卡片．
故选：C．
【点睛】本题主要考查多项式乘多项式与图形面积，解题的关键是理解结果中项的系数即为需要C类卡片的张数．
10. 如图，已知开口向下的抛物线与x轴交于点，对称轴为直线．则下列结论正确的有（ ）
①；
②；
③方程的两个根为；
④抛物线上有两点和，若且，则．

A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个
【答案】B
【解析】
【分析】根据抛物线的图象与系数的关系即可求出答案．
【详解】解：由抛物线的开口可知：，由抛物线与y轴的交点可知：，由抛物线的对称轴可知：，∴，
∴，故①正确；
∵抛物线与x轴交于点，对称轴为直线，
则另一个交点，
∴时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与x轴交于点和，
∴的两根为6和，
∴，，则，，
如果方程的两个根为成立，
则，
而，∴，
∴方程的两个根为不成立，故③不正确；
∵，∴P、Q两点分布在对称轴的两侧，
∵，
即到对称轴的距离小于到对称轴的距离，
∴，故④不正确．
综上，正确的有①②，
故选：B．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次函数系数符号由抛物线开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点抛物线与x轴交点的个数确定．
二、填空题（本大题共有6小题，每小题3分，共18分．只需要将结果直接填写在答题卡对应题号处的横线上）
11. 计算：___________．
【答案】0
【解析】
【分析】先算乘方，再计算乘法，最后算加减．
【详解】解：．
故答案为：0．
【点睛】此题主要考查了有理数的混合运算，关键是掌握运算法则．
12. 如图，在中，，则的度数为___________．

【答案】##30度
【解析】
【分析】根据垂径定理得到，根据圆周角定理解答即可．
【详解】解：∵，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查的是垂径定理和圆周角定理，掌握同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半是解题的关键．
13. 已知一元二次方程x2﹣3x＋1＝0有两个实数根x1，x2，则x1＋x2﹣x1x2的值等于_____．
【答案】2
【解析】
【分析】先根据根与系数的关系得x1+x2＝3，x1x2＝1，然后利用整体代入的方法计算．
【详解】解：根据根与系数的关系得：
x1+x2＝3，x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为：2．
点睛】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2．熟练掌握根与系数的关系是解决本题的关键．
14. 如图，在中，，D为上一点，若是的角平分线，则___________．

【答案】5
【解析】
【分析】首先证明，，设，在中，利用勾股定理构建方程即可解决问题．
【详解】解：如图，过点D作的垂线，垂足为P，

中，∵，
∴，
∵是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
∴，，
设，
在中，∵，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：5．
【点睛】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
15. 某天老师给同学们出了一道趣味数学题：
设有编号为1-100的100盏灯，分别对应着编号为1-100的100个开关，灯分为“亮”和“不亮”两种状态，每按一次开关改变一次相对应编号的灯的状态，所有灯的初始状态为“不亮”．现有100个人，第1个人把所有编号是1的整数倍的开关按一次，第2个人把所有编号是2的整数倍的开关按一次，第3个人把所有编号是3的整数倍的开关按一次，……，第100个人把所有编号是100的整数倍的开关按一次．问最终状态为“亮”
的灯共有多少盏？
几位同学对该问题展开了讨论：
甲：应分析每个开关被按的次数找出规律：
乙：1号开关只被第1个人按了1次，2号开关被第1个人和第2个人共按了2次，3号开关被第1个人和第3个人共按了2次，……
丙：只有按了奇数次的开关所对应的灯最终是“亮”的状态．
根据以上同学的思维过程，可以得出最终状态为“亮”的灯共有___________盏．
【答案】10
【解析】
【分析】灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”，确定1-100中，各个数因数的个数，完全平方数的因数为奇数个，从而求解．
【详解】所有灯的初始状态为“不亮”，按奇数次，则状态为“亮”，按偶数次，则状态为“不亮”；
因数的个数为奇数的自然数只有完全平方数，1-100中，完全平方数为1，4，9，16，25，36，49，64，81，100；有10个数，故有10盏灯被按奇数次，为“亮”的状态；
故答案为：10．
【点睛】本题考查因数分解，完全平方数，理解因数的意义，完全平方数的概念是解题的关键．
16. 如图，在矩形中，，M是边上一动点（不含端点），将沿直线对折，得到．当射线交线段于点P时，连接，则的面积为___________；的最大值为___________．

【答案】 ①. ②.
【解析】
【分析】（1）根据等底等高的三角形和矩形面积关系分析求解；
（2）结合勾股定理分析可得，当最大时，即最大，通过分析点N的运动轨迹，结合勾股定理确定的最值，从而求得的最大值．
【详解】解：由题意可得的面积等于矩形的一半，
∴的面积为，
在中，，
∴当最大时，即最大，
由题意可得点N是在以D为圆心4为半径的圆上运动，当射线与圆相切时，最大，此时C、N、M三点共线，如图：

由题意可得：，，
∴，，
∴
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
在中，，
故答案为：，．
【点睛】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识；本题综合性强，难度较大，熟练掌握矩形和折叠的性质，分析点的运动轨迹，证明三角形全等是解决问题的关键．
三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出必要的演算步骤、文字说明或证明过程）
17. 先化简，再求值：，其中．
【答案】，．
【解析】
【分析】先根据分式的减法法则算括号里面的，再根据分式的除法法则把除法变成乘法，算乘法，最后代入求出答案即可．
【详解】解：
，
当时，原式．
【点睛】本题考查了分式的化简求值，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键，注意运算顺序．
18. 如图，矩形的对角线，相交于点O，．

（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，求四边形的面积．
【答案】（1）见解析 （2）3
【解析】
【分析】（1）先根据矩形的性质求得，然后根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形分析推理；
（2）根据矩形的性质求得的面积，然后结合菱形的性质求解．
【小问1详解】
解：∵，
∴四边形是平行四边形，
又∵矩形中，，
∴平行四边形是菱形；
【小问2详解】
解：矩形的面积为，
∴的面积为，
∴菱形的面积为．
【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的判定，属于中考基础题，掌握矩形的性质和菱形的判定方法，正确推理论证是解题关键．
19. 中学生心理健康受到社会的广泛关注，某校开展心理健康教育专题讲座，就学生对心理健康知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，根据收集到的信息进行统计，绘制了下面两幅尚不完整的统计图．

根据图中信息回答下列问题：
（1）接受问卷调查的学生共有___________人，条形统计图中m的值为___________，扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为___________；
（2）若该校共有学生800人，根据上述调查结果，可以估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为___________人；
（3）若某班要从对心理健康知识达到“非常了解”程度的2名男生和2名女生中随机抽取2人参加心理健康知识竞赛，请用列表或画树状图的方法，求恰好抽到2名女生的概率．
【答案】（1）80，16，
（2）40 （3）恰好抽到2名女生的概率为．
【解析】
【分析】（1）用“基本了解”的人数除以它所占的百分比得到调查的总人数，再用总人数减去其他项的人数，求出“了解很少”的人数；用乘以扇形统计图中“非常了解”部分所占的比例即可；
（2）用总人数800乘以“不了解”的人数所占的比例即可；
（3）画树状图展示所有12种等可能的结果数，找出恰好抽到2名女生的结果数，然后利用概率公式求解．
【小问1详解】
解：接受问卷调查的学生共有（人，
（人，
扇形统计图中“非常了解”部分所对应扇形的圆心角的度数为；
故答案为：80，16，；
【小问2详解】
解：根据题意得：
（人，
答：估计出该校学生中对心理健康知识“不了解”的总人数为40人；
故答案为：40；
【小问3详解】
解：由题意列树状图：

由树状图可知，所有等可能的结果有12种，恰好抽到2名女生的结果有2种，
∴恰好抽到2名女生的概率为．
【点睛】此题考查了列表法或树状图法求概率以及条形统计图与扇形统计图．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
20. 某校学生开展综合实践活动，测量某建筑物的高度，在建筑物附近有一斜坡，坡长米，坡角，小华在C处测得建筑物顶端A的仰角为，在D处测得建筑物顶端A的仰角为．（已知点A，B，C，D在同一平面内，B，C在同一水平线上）

（1）求点D到地面的距离；
（2）求该建筑物的高度．
【答案】（1）5米 （2）米
【解析】
【分析】（1）过点D作，根据坡角的概念及含直角三角形的性质分析求解；
（2）通过证明，然后解直角三角形分析求解．
【小问1详解】
解：过点D作，

由题意可得，
∴在Rt中，，
即点D到地面的距离为5米；
【小问2详解】
如图，

由题意可得，，
∴，
又∵，
∴，
∴
∴在Rt中，，即，
解得，
在Rt中，，即，
解得，
答：该建筑物的高度为15米．
【点睛】本题考查的是解直角三角形的应用-仰角俯角、坡度坡角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
21. 如图，是的直径，点E，C在上，点C是的中点，垂直于过C点的直线，垂足为D，的延长线交直线于点F．

（1）求证：是的切线；
（2）若，，①求的半径；②求线段的长．
【答案】（1）证明见解析
（2）①3；②2
【解析】
【分析】（1）根据等弧所对的圆周角相等和等边对等角的性质，得到，推出，进而得到，再利用圆的切线的判定定理即可证明结论；
（2）①连接，根据直径所对的圆周角是直角和平行线的判定，得到，进而得到，再利用锐角三角函数，求得，即可求出的半径；
②利用锐角三角函数，分别求出和的长，即可得到线段的长．
【小问1详解】
证明：如图，连接，

点C是的中点，
，
，
，
，
，
，
，
，
是的半径，
是的切线；
【小问2详解】
解：①如图，连接，

是直径，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
的半径为；
②由（1）可知，，
，
，，
，
，
，
，
，
，
，
．
【点睛】本题是圆和三角形综合题，考查了圆的切线的判定定理，圆的性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，熟练掌握圆的相关性质，灵活运用正弦值求边长是解题关键．
22. 为了振兴乡村经济，增加村民收入，某村委会干部带领村民在网上直播推销农产品，在试销售的30天中，第x天（且x为整数）的售价p（元/千克）与x的函数关系式（且x为整数），销量q（千克）与x的函数关系式为，已知第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，设第x天的销售额为W元
（1）___________， ___________；
（2）求第x天的销售额W元与x之间的函数关系式；
（3）在试销售的30天中，销售额超过1000元的共有多少天？
【答案】（1），
（2）时，，当时，
（3）7天
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法求待定系数；
（2）根据“销售额=售价×销售量”列出函数关系式，
（3）利用二次函数和一次函数的性质分析求解.
【小问1详解】
解：∵第5天售价为50元/千克，第10天售价为40元/千克，
∴，解得，
故答案为：，；
【小问2详解】
解：由题意当时，，
当时，，
小问3详解】
解：由题意当时，，
∵，
∴当时，最大为，
当时，，
由时，解得，
又∵x为整数，且，
∴当时，随的增大而增大，
∴第至天，销售额超过1000元，共7天．
【点睛】本题考查一次函数的应用，二次函数的应用，理解题意，分段分析函数解析式，掌握一次函数和二次函数的性质是解题关键．
23. 1643年，法国数学家费马曾提出一个著名的几何问题：给定不在同一条直线上的三个点A，B，C，求平面上到这三个点的距离之和最小的点的位置，意大利数学家和物理学家托里拆利给出了分析和证明，该点也被称为“费马点”或“托里拆利点”，该问题也被称为“将军巡营”问题．
（1）下面是该问题的一种常见的解决方法，请补充以下推理过程：（其中①处从“直角”和“等边”中选择填空，②处从“两点之间线段最短”和“三角形两边之和大于第三边”中选择填空，③处填写角度数，④处填写该三角形的某个顶点）
当的三个内角均小于时，
如图1，将绕，点C顺时针旋转得到，连接，

由，可知为 ① 三角形，故，又，故，
由 ② 可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，如图2，最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，且有 ③ ；
已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．如图3，若，则该三角形的“费马点”为 ④ 点．
（2）如图4，在中，三个内角均小于，且，已知点P为的“费马点”，求的值；

（3）如图5，设村庄A，B，C的连线构成一个三角形，且已知．现欲建一中转站P沿直线向A，B，C三个村庄铺设电缆，已知由中转站P到村庄A，B，C的铺设成本分别为a元/，a元/，元/，选取合适的P的位置，可以使总的铺设成本最低为___________元．（结果用含a的式子表示）
【答案】（1）①等边；②两点之间线段最短；③；④A．
（2）
（3）
【解析】
【分析】（1）根据旋转的性质和两点之间线段最短进行推理分析即可得出结论；
（2）根据（1）的方法将绕，点C顺时针旋转得到，即可得出可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，在根据可证明，由勾股定理求即可，
（3）由总的铺设成本，通过将绕，点C顺时针旋转得到，得到等腰直角，得到，即可得出当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，然后根据已知和旋转性质求出即可．
【小问1详解】
解：∵，
∴为等边三角形；
∴，，
又，故，
由两点之间线段最短可知，当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，
最小值为，此时的P点为该三角形的“费马点”，
∴，，
∴，，
又∵，
∴，
∴，
∴；
∵，
∴，，
∴，，
∴三个顶点中，顶点A到另外两个顶点的距离和最小．
又∵已知当有一个内角大于或等于时，“费马点”为该三角形的某个顶点．
∴该三角形的“费马点”为点A，
故答案为：①等边；②两点之间线段最短；③；④．
【小问2详解】
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由（1）可知当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，最小值为，

∵，
∴，
又∵
∴，
由旋转性质可知：，
∴，
∴最小值为，
【小问3详解】
∵总的铺设成本
∴当最小时，总的铺设成本最低，
将绕，点C顺时针旋转得到，连接，
由旋转性质可知：，，，，
∴，
∴，
当B，P，，A在同一条直线上时，取最小值，即取最小值为，

过点作，垂足为，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴
的最小值为
总的铺设成本（元）
故答案为：
【点睛】本题考查了费马点求最值问题，涉及到的知识点有旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，以及两点之间线段最短等知识点，读懂题意，利用旋转作出正确的辅助线是解本题的关键．
24. 如图1，平面直角坐标系中，抛物线过点，和，连接，点为抛物线上一动点，过点作轴交直线于点，交轴于点．

（1）直接写出抛物线和直线的解析式；
（2）如图2，连接，当为等腰三角形时，求的值；
（3）当点在运动过程中，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形与以，，为顶点的三角形相似（其中点与点相对应），若存在，直接写出点和点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）抛物线：；直线：
（2）或或
（3），或，或，
【解析】
【分析】（1）由题得抛物线的解析式为，将点代入求，进而得抛物线的解析式；设直线的解析式为，将点，的坐标代入求，，进而得直线的解析式．
（2）由题得，分别求出，，，对等腰中相等的边进行分类讨论，进而列方程求解；
（3）对点在点左侧或右侧进行分类讨论，设法表示出各线段的长度，利用相似三角形的相似比求解，进而可得，的坐标．
【小问1详解】
解：抛物线过点，，
抛物线的表达式为，
将点代入上式，得，
．
抛物线的表达式为，即．
设直线的表达式为，
将点，代入上式，
得，
解得．
直线的表达式为．
【小问2详解】
解：点在直线上，且，
点的坐标为．
，，．
当为等腰三角形时，
①若，则，
即，
解得．
②若，则，
即，
解得或（舍去）．
③若，则，
即，
解得（舍去）或．
综上，或或．
【小问3详解】
解：点与点相对应，
或．
①若点在点左侧，
则，，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去）．
，即．
，即，
解得．
，．
当，即时，
，，
，即，
解得（舍去）或（舍去）．
②若点在点右侧，
则，．
当，即时，
直线的表达式为，
，解得或（舍去），
，
，即，
解得．
，．
当，即时，
，．
，即，
解得或（舍去）．
，．
综上，，或，或，．
【点睛】本题是二次函数的综合应用，考查了待定系数法求函数解析式，等腰三角形的性质与判定，平面直角坐标系中两点距离的算法，相似三角形的性质与判定等，熟练掌握相关知识是解题的关键．