【寒假作业】（沪教版2020）高中数学 高一寒假巩固提升训练 专题10余弦定理（4种题型）-练习.zip

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思维导图
核心考点聚焦
题型一：已知两边及夹角解三角形．
题型二：已知两边及一边对角解三角形
题型三：已知三边解三角形
题型四：判断三角形形状
正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系. 那么，三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢？
如图，，，由两点间的距离公式，得
两边平方，得
即 .
同理可得， ，
.
这样，我们就得到了余弦定理：在中，设角、及所对边的边长分别为、及，则有 ，
，
.
余弦定理也可以表示成如下形式：
，
，
.
将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理. 因此，勾股定理可视为余弦定理的特例. 正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具.
题型一：已知两边及夹角解三角形．
【例1】在△ABC中，已知a＝2eq \r(2)，b＝2eq \r(3)，C＝15°，解此三角形。
【变式】在中，已知，，. 求、及.
题型二：已知两边及一边对角解三角形．
【例2】在△ABC中，已知b＝3，c＝3eq \r(3)，B＝30°，求A、C和a。
【变式】在中，已知，，. 求、及.
题型三：已知三边解三角形
【例3】在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C.
【变式1】已知a＝7，b＝3，c＝5，求△ABC的最大角和sinC；
【变式2】在中，已知，，. 求角的余弦值和的面积.
题型四：判断三角形形状
【例4】（1）在△ABC中，若(a－ccs B)sin B＝(b－ccs A)sin A，判断△ABC的形状；
（2）在△ABC中，若B＝60°，b2＝ac，判断△ABC的形状；
（3）在△ABC中，若g sin A－lg cs B－lg sin C＝lg 2，判断△ABC的形状；
【变式1】. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 若，A＝60°，求△ABC面积的最大值；并指出面积取最大时是什么三角形？
【变式2】. 已知方程的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B为两内角，试判定这个三角形的形状.
【变式3】在中，已知，且. 求证：为等边三角形.
一、填空题
1、已知a，b，c为△ABC的三边，B＝120°，则a2＋c2＋ac－b2＝________.
2、已知在△ABC中，a＝2，b＝4，C＝60°，则A＝________.
3、在△ABC中，若b＝1，c＝eq \r(3)，C＝eq \f(2π,3)，则a＝________.
4、在△ABC中，若a＝2，b＋c＝7，cs B＝－eq \f(1,4)，则b＝________.
5、在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC的大小为
6、△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a，b，c满足b2＝ac，且c＝2a，则cs B＝
7、若△ABC的内角A，B，C所对的边a，b，c满足(a＋b)2－c2＝4，且C＝60°，则ab的值为
8、△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c若B＝60°，c＝2，b＝2eq \r(3)，则a＝________.
9、已知是三边长，若满足，则
10、在△ABC中，已知A＝30°，且3a＝eq \r(3)b＝12，则c的值为
11、在△ABC中，已知(a＋b＋c)(b＋c－a)＝3bc，则角A等于
12、锐角△ABC中，b＝1，c＝2，则a的取值范围是
二、选择题
13、在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若A＝eq \f(π,3)，a＝eq \r(3)，b＝1，则c等于( )
A．1 B．2 C.eq \r(3)－1 D．eq \r(3)
14、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a＝3，b＝2，cs(A＋B)＝eq \f(1,3)，则c等于( )
A．4 B．eq \r(15) C．3 D．eq \r(17)
15、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且a2＝b2－c2＋eq \r(2)ac，则角B的大小是( )
A．45° B．60° C．90° D．135°
16、在△ABC中，若a＝8，b＝7，cs C＝eq \f(13,14)，则最大角的余弦值是( )
A．－eq \f(1,5) B．－eq \f(1,6) C．－eq \f(1,7) D．－eq \f(1,8)
三、解答题
17、在△ABC中，已知a＝2eq \r(6)，b＝6＋2eq \r(3)，c＝4eq \r(3)，求A，B，C；
18、在△ABC中，acs A＋bcs B＝ccs C，试判断△ABC的形状；
19、已知在△ABC中，a∶b∶c＝2∶eq \r(6)∶(eq \r(3)＋1)，求△ABC各角的度数．
20.在中，已知，，且三角形面积. 求.
21. 在△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c. 已知.
（1）求证：；（2）求角B的取值范围.
22. 如图，当甲船位于A处时获悉，在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险. 甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西30°，相距10海里C处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往B处救援？（角度精确到1°）