【寒假作业】沪教版2020 高中数学 高二寒假巩固提升训练 专题05+坐标平面上的直线单元复习与测试-练习.zip

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直线的倾斜角
1.定义：当直线与轴相交时，我们取轴作为基准，轴正向与直线向上方向之间所成的角叫做直线的倾斜角.
2.取值范围：直线的倾斜角的取值范围是，并规定与轴平行或重合的直线的倾斜角为.
补充：（1）倾斜角与直线倾斜程度的关系
(2)对直线的倾斜角的理解
①倾斜角直观地表示了直线相对于轴正方向的倾斜程度.
②平面内任何一条直线都有唯一的倾斜角，不同的直线可以有相同的倾斜角.
直线的斜率
1.定义：一条直线的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率，斜率常用小写字母表示，即.
注意：当直线的倾斜角为90°时，直线的斜率不存在，并不是该直线不存在，而是该直线垂直于轴（平行于轴或与轴重合）.因此，所有直线都有倾斜角，但不是所有直线都有斜率.
2.倾斜角与斜率的关系
补充：斜率和倾斜角的特点
①斜率和倾斜角都反映直线的倾斜程度，其中斜率是从代数角度描述的，倾斜角是从几何角度描述的；
②直线的斜率是随着倾斜角的变化而变化的，并且当直线的倾斜角不是90°时，倾斜角相同的直线，其斜率相同，倾斜角不同的直线，其斜率不同；
③直线有斜率必有倾斜角，倾斜角是90°的直线没有斜率，倾斜角不是90°的直线都有斜率.
直线斜率的坐标表示
公式：经过两点的直线的斜率公式为．
直线斜率与直线方向向量
1.若直线的斜率为，它的一个方向向量的坐标为 ，则 .
2.若直线的斜率为 且直线过两点 ，它的一个方向向量的坐标为，则.
五．直线的点斜式方程
已知直线l经过点，且斜率为k，则直线l的方程为．
这个方程是由直线上一定点及其斜率确定的，因此称为直线的点斜式方程，简称点斜式．
当直线l的倾斜角为0°时（如图1），，即k=0，这时直线l与x轴平行或重合，l的方程就是，或．
当直线l的倾斜角为90°时（如图2），直线没有斜率，这时直线l与y轴平行或重合，它的方程不能用点斜式表示．因为这时l上每一点的横坐标都等于，所以它的方程是，或．
六．直线的斜截式方程
我们把直线l与y轴交点的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距．
如果直线l的斜率为k，且在y轴上的截距为b，则方程为，即叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
当b=0时，表示过原点的直线；当k=0且b≠0时，表示与x轴平行的直线；当k=0且b=0时，表示与x轴重合的直线．
七．直线的两点式方程
1．直线的两点式方程的定义
已知直线过两点，当时，直线的方程为．这个方程是由直线上的两点确定的，因此称为直线的两点式方程，简称两点式．
2．直线的两点式方程的推导
已知直线过两点（其中），此时直线的位置是确定的，也就是直线的方程是可求的．
当时，所求直线的斜率．
任取中的一点，例如取，由点斜式方程，得，
当时，可写为．
八．直线的截距式方程
1．直线的截距式方程的定义
已知直线过点，（），则由直线的两点式方程可以得到直线的方程为．
我们把直线与轴的交点的横坐标叫做直线在轴上的截距，此时直线在轴上的截距是．
这个方程由直线在两个坐标轴上的截距和确定，因此叫做直线的截距式方程，简称截距式．
2．直线的截距式方程的推导
已知直线与轴的交点为，与轴的交点为，如图，其中．
将两点，的坐标代入两点式，得，即．
九．中点坐标公式
若点的坐标分别为，且线段的中点的坐标为，则．此公式为线段的中点坐标公式．
十．直线的一般式方程
在平面直角坐标系中，任何一个关于x，y的二元一次方程都表示一条直线．我们把关于x，y的二元一次方程（其中A，B不同时为0）叫做直线的一般式方程，简称一般式．
直线的一般式、斜截式、截距式如下表：
直线的一般式方程可以表示坐标平面内任意一条直线．因此在一定条件下，直线的一般式方程可以进行如下转化：
（1）当时，可化为，它表示在y轴上的截距为，斜率为的直线．
（2）当均不为零时，可化为，它表示在x轴上的截距为，在y轴上的截距为的直线．
十一．两直线平行
1．特殊情况下的两条直线平行的判定
两条直线中有一条直线没有斜率，当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，故它们互相平行．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线平行的判定
两条直线都有斜率而且不重合时，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，那么它们平行，即．
十二．两直线垂直
1．特殊情况下的两条直线垂直的判定
当两条直线中有一条直线没有斜率，另一条直线的斜率为0时，即一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°时，两条直线互相垂直．
2．两条直线的斜率都存在时，两条直线垂直的判定
如果两条直线都有斜率，且它们互相垂直，那么它们的斜率之积等于-1；反之，如果两条直线的斜率之积等于−1，那么它们互相垂直，即．
十三.两条平行直线间的距离
1．两条平行直线间的距离
两条平行直线间的距离是指夹在两条平行直线间公垂线段的长．
2．两条平行直线间的距离公式
一般地，两条平行直线（其中A与B不同时为0，且）间的距离．
十四．直线关于直线对称
（1）直线与关于直线l对称，它们具有以下几种几何性质：
①若与相交，则直线l是、夹角的平分线；
②若与平行，则直线l在、之间且到、的距离相等；
③若点A在上，则点A关于直线l的对称点B一定在上，此时AB⊥l，且线段AB的中点M在l上（即l是线段AB的垂直平分线）．充分利用这些性质，可以找出多种求直线的方程的方法．
（2）常见的对称结论有：设直线l为Ax+By+C=0，
①l关于x轴对称的直线是Ax+B（−y）+C=0；
②l关于y轴对称的直线是A（−x）+By+C=0；
③l关于直线y=x对称的直线是Bx+Ay+C=0；
④l关于直线y=−x对称的直线是A（−y）+B（−x）+C=0．
十五．两点间的距离
两点间的距离公式 平面上任意两点间的距离公式为.
特别地，原点O（0，0）与任一点P（x，y）的距离．
十六．对称问题
对称问题包括点关于点的对称、点关于直线的对称、直线关于点的对称．
1．点关于点对称
点关于点的对称是对称问题中最基本的问题，是解决其他对称问题的基础，一般用中点坐标公式解决这种对称问题．
设点关于点M（a，b）的对称点为P′（x，y），则有，所以，即点．特别地，点P关于坐标原点O的对称点为．
2．点关于直线对称
对于点关于直线的对称问题，若点P关于直线l的对称点为，则直线l为线段的中垂线，于是有等量关系：
①（直线l的斜率存在且不为零）；
②线段的中点在直线l上；
③直线l上任意一点M到P，的距离相等，即．
常见的点关于直线的对称点：
点关于x轴的对称点；
点关于y轴的对称点；
点关于直线y=x的对称点；
点关于直线y=−x的对称点；
⑤点关于直线x=m（m≠0）的对称点；
点关于直线y=n（n≠0）的对称点．
十七．点到直线的距离
1．点到直线的距离
点到直线的距离，是指从点到直线的垂线段的长度，其中为垂足．实质上，点到直线的距离是直线上的点与直线外一点所连线段的长度的最小值．
2．点到直线的距离公式
平面上任意一点到直线l：Ax+By+C=0（A，B不同时为0）的距离为．
【点拨】用向量法推导点P到直线l的距离|PQ|公式的向量法推导，在直线上取任意一点M，与直线方向向量垂直的单位向量为n，则有 ，所以有.
十八．点到直线的距离问题
（1）求点到直线的距离时，若给出的直线方程不是一般式，只需把直线方程化为一般式方程，直接应用点到直线的距离公式求解即可．
（2）对于与坐标轴平行（或重合）的直线x=a或y=b，求点到它们的距离时，既可以用点到直线的距离公式，也可以直接写成或．
（3）若已知点到直线的距离求参数或直线方程时，只需根据点到直线的距离公式列方程求解参数即可．
直线的倾斜角（共1小题）
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线x=1的倾斜角为___________
二．直线的斜率（共1小题）
2.（2022•徐汇区校级开学）若直线l的倾斜角为120°则l的斜率是__________．
三．直线的图象特征与倾斜角、斜率的关系（共2小题）
3.（2022春•金山区期中）经过A（1，0），B（0，）两点的直线斜率为 ．
四．直线斜率与直线方向向量（共1小题）
4.过A(4,y),B(2,-3)两点的直线的一个方向向量为n=(-1,-1),则y= ( )
A. B. QUOTE C.-1D.1
五．直线的点斜式方程（共1小题）
5．（2023春上海市·虹口·期中）设点，若直线l经过点H，且与直线垂直（O为坐标原点），则直线l的方程为 ．
六．直线的斜截式方程（共1小题）
6.（2023春·上海市青浦区·二模）过点与直线垂直的直线方程为 .
七．直线的两点式方程（共1小题）
7.（2022秋·上海浦东新·高二上海市川沙中学校考阶段练习）已知中，
求边所在直线的方程
八．直线的一般式方程（共1小题）
8．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）已知直线经过点，且与轴、轴的正半轴分别交于点A、点，是坐标原点.
(1)当的面积最小时，求直线的一般式方程；
(2)当取最小值时，求直线的一般式方程，并求此最小值．
九．直线方程的综合应用（共2小题）
9.（2023春·浦东新区·模拟预测）过点且在轴，轴上截距相等的直线方程为
10.（2023春上海市·浦东新区·阶段练习）方程所表示的图形围成的区域的面积是 .
十．两条直线的平行关系（共2小题）
11.（2023春·上海市崇明·一模）已知方程组无解，则实数的值等于 .
12.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.
十一．两条直线的垂直关系（共2小题）
13.（2023春·上海市徐汇区·三模）已知直线，，若，则 .
14.（2023春·上海市长宁区·三模）已知直线和，若，则 .
十二．根据直线的位置关系求参数（共1小题）
15.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______．
十三．两直线位置关系的应用（共2小题）
16.（2023秋·上海市嘉定区·阶段练习）直线与直线的夹角的正弦值为 .
17.（2023·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
十四．两直线位置关系的综合应用（共2小题）
18.（2023秋上海市·浦东新区·开学考试）已知定点与定直线：，过点的直线与交于第一象限点，与轴正半轴交于点，求使面积最小的直线方程为 .
19.（2023春·上海市控江中学高一下期末）已知直线：.
（1）若直线：求直线与直线的夹角；
（2）若直线与直线的距离等于，求直线的一般式方程.
十五．两点间的距离（共1小题）
20.在平面直角坐标平面内有四点，，，，为该平面内的动点，则到、、、四点的距离之和的最小值为（ ）
A．B．C．D．
十六．对称问题（共1小题）
21.如图，一束平行光线从原点出发，经过直线反射后通过点，求反射光线所在的直线的方程.
22.（2023春·上海市松江区·阶段练习）斜率为的直线过点为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件，则点到直线的距离为 .
23．（2023春上海市·徐汇·一模）已知正实数满足，则的最小值 .
十八．综合应用（共2小题）
24.（2023春·上海市·阶段练习）平行直线与之间的距离为 ．
25．（2023·上海市松江区·阶段练习）若对一个角，存在角满足，则称为的“伴随角”.有以下两个命题：
①若，则必存在两个“伴随角”；
②若，则必不存在“伴随角”；
则下列判断正确的是（ ）
A．①正确②正确；B．①正确②错误；
C．①错误②正确；D．①错误②错误.
一、填空题
1.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线x=1的倾斜角为___________
2.（2023春·上海市普陀·阶段练习）设是直线的一个法向量，则的倾斜角的大小为 .
3.（2022·上海市新中高级中学高三期中）直线 的倾斜角为_______.
4.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线2x-y-1=0的倾斜角是__________.
5.（2023春·上海市黄浦区·期中）过两点的直线的倾斜角为，那么 .
6.（2023秋·上海市松江区·阶段练习）若直线l的一个方向向量，则直线l的倾斜角是 .
7.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）己知直线l：，则原点到直线l的距离的最大值是______．
8.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）直线与直线的夹角，则a的取值范围是______．
9．（2022·上海·曹杨二中模拟预测）直线与直线的夹角大小等于_________.
10.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）直线过点且与直线平行，则直线的方程是__________.
11．（2023上·上海浦东新·高二华师大二附中校考期中）已知x，y为实数，代数式的最小值是 ．
12.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）一质点在矩形内运动，从的中点沿一确定方向发射该质点，依次由线段、、反射.反射点分别为、、（入射角等于反射角），最后落在线段上的（不包括端点）.若、、和，则的斜率的取值范围是_______.
二、单选题
13.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）“”是“直线与平行”的（ ）
A. 充要条件B. 充分非必要条件C. 必要非充分条件D. 非充分非必要条件
14.（2023春·上海市黄浦·二模）若直线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A．B．C．D．
15．（2023春·上海市浦东新区·模拟预测）设点满足，则“”是“为定值”的（ ）.
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16.（2023春·上海市静安·二模）设直线与关于直线对称，则直线的方程是（ ）
A．B．
C．D．
三、解答题
17.（2023春·上海市奉贤中学高二第二学期期中）已知，，.
（1）求边BC上的高所在直线的一般式方程；
（2）直线l经过点A，且点B、点C到直线l的距离相等，求直线l的一般式方程.
18.（2023春·上海市复旦附中高二第二学期期中）已知两条直线和.
（1）讨论直线与的位置关系；
（2）当直线与平行时，求它们之间的距离；当直线与相交时，求它们之间夹角的最大值，并指出相应的取值.
19．（2022上·江西吉安·高二吉安一中校考阶段练习）已知点P和非零实数，若两条不同的直线，均过点P，且斜率之积为，则称直线，是一组“共轭线对”，如直：，：是一组“共轭线对”，其中O是坐标原点．

(1)已知点、点和点分别是三条直线PQ，QR，RP上的点（A，B，C与P，Q，R均不重合），且直线PR，PQ是“共轭线对”，直线QP，QR是“共轭线对”，直线RP，RQ是“共轭线对”，求点P的坐标；
(2)已知点，直线，是“共轭线对”，当的斜率变化时，求原点O到直线，的距离之积的取值范围．
20．（2023上·上海浦东新·高二校考阶段练习）在等腰直角三角形中，，点是边上异于的一点，光线从点出发，经反射后又回到原点，光线经过的重心．以点为坐标原点，以为轴（为正方向），建立平面直角坐标系．
(1)求的重心的坐标，及点的坐标；
(2)求的周长．
21．（2022春·上海杨浦·高二上海市杨浦高级中学校考阶段练习）如图，已知，，，直线．
(1)证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
(2)若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
(3)若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由（反射点为）、（反射点为）反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
目录
新知导航：熟悉课程内容、掌握知识脉络
基础知识：知识点全面梳理，掌握必备
学以致用：考点剖析，提升能力
小试牛刀：过关检测，成果评定
倾斜角
直线
直线情况
平行于轴
由左向右上升
垂直于轴
由左向右下降
的大小
0°
的范围
0
不存在
的增减性
随增大而增大
随增大而增大
一般式
斜截式
截距式
不同时为0）
都不为0）