2020-2021学年江苏省淮安市洪泽区金湖县九年级上学期数学期末试题及答案

这是一份2020-2021学年江苏省淮安市洪泽区金湖县九年级上学期数学期末试题及答案，共30页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1. 小华同学某体育项目5次测试的成绩如下（单位：分）：9，7，10，8，10，这组数据的众数为（ ）
A. 7B. 8C. 9D. 10
【答案】D
【解析】
【分析】根据众数的定义求解即可．
【详解】解：这组数据中数字10出现次数最多，有2次，
所以这组数据的众数为10．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了众数，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数．
2. 分别写有数字4，0，﹣1，6，9，﹣2的六张卡片，除数字外其它均相同，从中任抽一张，则抽到奇数的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据概率公式直接求解即可．
【详解】解：∵共有6张相同的卡片，分别写有数4，0，-1，6，9，-2，其中奇数有-1，9，共有2个，
∴从中抽取一张，抽到的数是奇数的概率是．
故选：B．
【点睛】本题考查了概率的知识．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．
3. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于( )．
A. 平移变换B. 相似变换C. 旋转变换D. 对称变换
【答案】B
【解析】
【分析】根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案．
【详解】解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换．
故选B．
【点睛】本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．
4. 若a：b：c＝2：4：5，且a+b+c＝22，则a的值为（ ）
A. 10B. 6C. 4D. 8
【答案】C
【解析】
【分析】设a=2k,b=4k,c=5k，代入a+b+c＝22，求出k，即可得到a的值．
【详解】∵a：b：c＝2：4：5，
∴设a=2k,b=4k,c=5k，
代入a+b+c＝22，得2k+4k+5k=22
解得k=2
∴a=2k=4
故选C．
【点睛】此题主要考查比例的性质，解题的关键是根据题意设a=2k,b=4k,c=5k，求出k的值．
5. 如图，已知是的直径，是弦，若则等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先由圆周角定理得到∠DAB=∠BCD=36°，然后根据是的直径确定∠ADB=90°，最后根据直角三角形两锐角互余即可解答．
【详解】解：∵是弦，若
∴∠DAB=∠BCD=36°
∵是的直径
∴∠ADB=90°
∴∠ABD=90°-∠DAB=54°．
故选：A．
【点睛】本题考查了圆周角定理和直角三角形的性质，灵活利用圆周角定理是解答本题的关键．
6. 小明参加校园歌手比赛，唱功得80分，音乐常识得100分，综合知识得90分，学校按唱功、音乐常识、综合知识的6：3：1的比例计算总评成绩，那么小明的总评成绩是（ ）分．
A. 90B. 88C. 87D. 93
【答案】C
【解析】
【分析】利用加权平均数按照比例即可求得小明的总评成绩．
【详解】解：小明的总评成绩是：
(分)．
故选：C．
【点睛】本题考查了加权平均数的计算方法，在进行计算的时候注意权的分配，另外还应细心，否则很容易出错．
7. 对于二次函数 y=（x﹣1）2+2 的图象，下列说法正确的是（ ）
A. 开口向下B. 顶点坐标是（﹣1，2）
C. 对称轴是x=1D. 与x轴有两个交点
【答案】C
【解析】
【分析】根据a的正负判断开口方向，通过抛物线的y=a（x-h）2+k解析式判定对称轴、顶点坐标，根据顶点坐标和开口方向即可判断抛物线与x轴交点个数．
【详解】试题解析：∵y=（x-1）2+2，
∴抛物线开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为x=1，
令y=0可得（x-1）2+2=0，该方程无实数根，
∴抛物线与x轴没有交点，
故选C．
【点睛】二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，顶点坐标为（h，k），对称轴为x=h．
8. 如图，现要在抛物线y＝x（﹣x+2）上找点P（m，n），针对n的不同取值，所找点P的个数，四人的说法如下，甲：若n＝﹣1，则点P的个数为2；乙：若n＝0，则点P的个数为1；丙：若n＝1，则点P的个数为1；丁：若n＝2，则点P的个数为0．其中说法正确的有（ ）
A. 0个B. 1个C. 2个D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】把P点的坐标代入函数的解析式，再根据根的判别式或解方程逐个判断即可．
【详解】解：甲：当n＝﹣1时，m（﹣m+2）＝﹣1，
整理得：m2﹣2m﹣1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣1）＝8＞0，
方程有两个不相等的实数根，
即此时点P的个数为2，故甲的说法正确；
乙：当n＝0时，m（﹣m+2）＝0，
解得：m＝0或2，
即此时点P的个数为2，故乙的说法错误；
丙：当n＝1时，m（﹣m+2）＝1，
整理得：m2﹣2m+1＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×1＝0，
方程有两个相等的实数根，
即此时点P的个数为1，故丙的说法正确；
丁：当n＝2时，m（﹣m+2）＝2，
整理得：m2﹣2m+2＝0，
△＝（﹣2）2﹣4×1×2＝﹣4＜0，
方程没有实数根，
即此时点P的个数为0，故丁的说法正确；
所以正确的个数是3个，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象上点的坐标特征和一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程，能熟记根的判别式的内容是解此题的关键．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分不需要写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上）
9. 二次函数y＝﹣2x2的图像向下平移2个单位长度后，相应的函数表达式为_____．
【答案】y＝﹣2x2−2
【解析】
【分析】利用二次函数平移规律“左加右减、上加下减”求解即可．
【详解】解：二次函数y＝﹣2x2的图象向下平移2个单位长度后，平移后的函数关系式是：y＝﹣2x2−2．
故答案为：y＝﹣2x2−2．
【点睛】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．
10. 如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，若∠A＝70°，则∠C的度数是_____．
【答案】110°
【解析】
【分析】直接根据圆内接四边形的性质求解．
【详解】解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠C+∠A＝180°，
∴∠C＝180°﹣70°＝110°．
故答案为：110°．
【点睛】本题考查圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补；圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角．
11. 如图，．若，，则______．
【答案】10
【解析】
【分析】根据平行线分线段成比例得到，由条件即可算出DF的值．
【详解】解：∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，
故答案为：10．
【点睛】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
12. 图纸上画出的某个工件的长为4cm，如果比例尺为1：30，那么此工件的实际长度为_____cm．
【答案】120
【解析】
【分析】由题意可知，根据比例尺=图上距离：实际距离，列比例式即可求得这个零件的实际长.
【详解】设这个零件的实际长是xcm，
则1：30=4：x，
解得x=120cm．
故答案为120．
【点睛】此题考查比例线段，解题关键在于建立比例线段列方程.
13. 某种商品经过两次降价，单价从150元降到96元，求平均每次降价的百分率．若设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为_____．
【答案】150(1-x)2=96
【解析】
【分析】利用基本数量关系：原价×(1-降低的百分率)2=第二次降价后的价格，把相关数值代入即可列得方程．
【详解】解：设每次降价的百分率为x．由题意，得：
150(1-x)2=96，
故答案为：150(1-x)2=96．
【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，一元二次方程应用的关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．
14. 若关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，则k的值为_____．
【答案】±4
【解析】
【分析】因为方程有两个相等的实数根，说明根的判别式，由此可以得到关于k的方程，解方程即可求出k的值．
【详解】解：∵方程有两个相等的实数根，
而a＝1，b＝﹣k，c＝4，
∴
解得．
故答案为．
【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式的具体运用（形如的一元二次方程的根的判别式为：，当时，原方程有两个不相等的实数根；当时，原方程有两个相等的实数根；当时，原方程没有实数根）．
15. 一个圆锥的底面半径r＝6，高h＝8，则这个圆锥的侧面积是_____．
【答案】60π
【解析】
【分析】利用圆锥的侧面积公式：，求出圆锥的母线即可解决问题．
【详解】解：圆锥的母线，
∴圆锥的侧面积=π×10×6=60π，
故答案为：60π．
【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，勾股定理等知识，解题的关键是记住圆锥的侧面积公式．
16. 如图，正方形ABCD的边AB＝2，P是边AB上一动点，过B点作直线CP的垂线，垂足为Q，当点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为_____．
【答案】
【解析】
【分析】如图，连接AC、BD交于点G，连接OG．首先说明点P从点A运动到点B时，点Q的运动路径长为，求出圆心角，半径即可解决问题．
【详解】解：如图，取BC的中点O，连接AC、BD交于点G，连接OG．
∵BQ⊥CP，
∴∠BQC=90°，
∴点Q的运动轨迹在以边长BC为直径的⊙O上，
当点P从点A运动到点B时，点G的运动路径长为，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=2，
∵∠ABC=90°，
∴∠BCG=45°，
∴∠BOG=90°，
∴的长．
故答案为：．
【点睛】本题考查了正方形性质、弧长公式等知识，解题的关键是正确寻找点Q的运动轨迹，属于中考常考题型．
三、解答题（本题共11小题，共102分．解答时写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 解方程：
（1）2y2﹣4＝0；
（2）x（x+4）＝3（x+4）．
【答案】（1）y=±（2）x1=-4或x2=3．
【解析】
【分析】（1）根据直接开平方法即可求解；
（2）根据因式分解法即可求解．
【详解】（1）2y2﹣4＝0
2y2=4
y2=2
∴y=±
（2）x（x+4）＝3（x+4）
x（x+4）-3（x+4）=0
（x+4）（x-3）=0
∴x+4=0或x-3=0
解得x1=-4或x2=3．
【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知因式分解法的运用．
18. 一个二次函数图像上部分点的横坐标x，纵坐标y的对应值如下表：
（1）表格中m的值为 ；
（2）在给定的直角坐标系中，画出这个函数的图像；
（3）根据图像，写出当y＞0时，x的取值范围．
【答案】（1）3；（2）见解析；（3）x＜1或x＞3．
【解析】
【分析】（1）利用抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=2，则x=4和x=0时的函数值相等，从而得到m的值；
（2）利用描点法画出二次函数图象；
（3）结合函数图象，写出抛物线在x轴上方所对应的自变量的范围．
【详解】解：（1）∵抛物线经过点（1，0），（3，0），
∴抛物线的对称轴为直线x=2，顶点坐标为（2，-1），
∴x=4和x=0时的函数值相等，
∴m=3；
故答案为：3；
（2）描点，连线，二次函数图象如图所示，
（3）观察图象，时，x＜1或x＞3．
【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程．也考查了二次函数的性质．
19. 如图，OA、OB、OC是⊙O的三条半径，弧AC等于弧BC，D、E分别是OA、OB的中点，CD与CE相等吗？为什么？
【答案】相等，理由见解析
【解析】
【分析】根据弧与圆心角的关系，可得∠AOC=∠BOC，又由D、E分别是半径OA、OB的中点，可得OD=OE，利用SAS判定△DOC≌△EOC，继而证得结论．
【详解】解：CD=CE，理由如下：
∵弧AC和弧BC相等，
∴∠AOC=∠BOC，
又∵OA=OB，D、E分别是OA、OB的中点，
∴OD=OE，
在△DOC和△EOC中，
，
∴△DOC≌△EOC（SAS），
∴CD=CE．
【点睛】本题考查了弧与圆心角的关系以及全等三角形的判定与性质；证明三角形全等是解决问题的关键．
20. 如图，在△ABC中，点D、E、F分别在BC、AB、AC上，EF∥BC，交AD于点G．
（1）图中共有几对相似三角形？请把它们分别表示出来；
（2）若G为EF的中点，试判断BD与CD的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）图中有三对相似三角形，分别为：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC；（2）BD=DC，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由EF∥BC，可得出△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，此问得解；
（2）由△AEG∽△ABD，利用相似三角形性质可得出，同理可得出，则，进而得到答案．
【详解】解：（1）∵EF∥BC，
∴△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC，
∴图中有三对相似三角形，分别为：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC；
（2）BD=DC，
理由如下：
∵△AEG∽△ABD，
∴，
∵△AGF∽△ADC，
∴，
∴，
∵G为EF的中点，
∴EG=FG，
∴BD=DC．
【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例，解题的关键是：（1）由EF∥BC，找出相似的三角形；（2）利用相似三角形的性质（或者平行线分线段成比例），找出即可．
21. 某校为了选拔一名百米赛跑运动员参加市中学生运动会，组织了6次预选赛，其中甲、乙两名运动员较为突出，他们在6次预选赛中的成绩（单位：秒）如下表所示：
（1）根据表中数据，甲运动员的百米赛跑成绩的中位数为 秒；
（2）分别求甲、乙两名运动员的百米赛跑成绩的平均数；
（3）学校要推荐一位成绩稳定的运动员参赛，应该推荐谁去参赛，为什么？
【答案】（1）12；（2）甲、乙两名运动员的百米赛跑成绩的平均数都是12秒；（3）应推荐甲去参赛，理由见解析．
【解析】
【分析】（1）将甲运动员的成绩重新排列，根据中位数的定义求解即可；
（2）根据平均数的定义列式计算即可；
（3）先计算出甲、乙运动员成绩的方差，再根据方差的意义即可判断．
【详解】解：（1）将甲运动员的百米赛跑成绩重新排列为11.8、11.9、11.9、12.1、12.1、12.2，
所以甲运动员的百米赛跑成绩的中位数为(秒)，
故答案为：12；
（2）甲运动员的百米赛跑成绩的平均数为(秒)；
乙运动员的百米赛跑成绩的平均数为(秒)；
答：甲、乙两名运动员的百米赛跑成绩的平均数都是12秒；
（3）应推荐甲去参赛，理由如下：
∵甲运动员的百米赛跑成绩的方差：
(秒2)，
乙运动员的百米赛跑成绩的方差：
0.04(秒2)，
∴，
∴甲运动员的成绩稳定，
∴应推荐甲去参赛．
【点睛】本题考查了中位数、平均数及方差的定义：一般地设n个数据，x1，x2，…，xn的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．
22. 一个仅装有球的不透明布袋里共有4个球（只有编号不同），编号分别为1，2，3，5．首先从中任意摸出一个球，记下编号后放回，搅匀，再任意摸出一个球．
（1）第一次从中任意摸出一个球，该球编号为3的倍数的概率是 ；
（2）用列表或画树状图法求两次摸出的球的编号之和为偶数的概率．
【答案】（1）；（2）．
【解析】
【分析】（1）直接利用概率公式求解即可；
（2）画树状图展示所有16种等可能的结果数，再找出两次摸出的球的编号之和为偶数的结果数，然后根据概率公式求解．
【详解】解：（1）第一次从中任意摸出一个球，该球编号为3的倍数的概率是，
故答案为：．
（2）根据题意画图如下：

共有16种等情况数，其中两次摸出的球的编号之和为偶数的有10种，则两次摸出的球的编号之和为偶数的概率是．
【点睛】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．
23. 某水果经销商批发了一批水果，进货单价为每箱50元，若按每箱60元出售，则可销售80箱．现准备提价销售，经市场调研发现：每箱每提价1元，销量就会减少2箱，为保护消费者利益，物价部门规定，销售利润不能超过50%，设该水果售价为每箱x（x＞60）元
（1）用含x的代数式表示提价后平均每天的销售量为 箱；
（2）现在预算要获得1200元利润，应按每箱多少元销售？
【答案】（1）200-2x；（2）70
【解析】
【分析】（1）利用平均每天的销售量提高的价格，即可用含的代数式表示出提价后平均每天的销售量；
（2）根据每天的销售利润每箱的销售利润销售数量，即可列出关于的一元二次方程，解方程即可求出的值，在结合销售利润不能超过，即可确定的值
【详解】（1）根据题意，提价后平均每天的销售量为：
（2）根据题意得：
整理得：
解得：，
当时，利润率，符合题意；
当时，利润率，不合题意，舍去
所以要获得1200元利润，应按70元每箱销售．
【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及列代数式，解题关键是根据各数量之间的关系，用含的代数式表示出平均每天的销售量，找准等量关系正确列出一元二次方程．
24. 如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=12cm，点P从点A出发沿着AB以每秒1cm的速度向点B移动；同时点Q从点B出发沿着BC以每秒2cm的速度向点C运动．设△DPQ的面积为S，运动时间为t秒．
（1）用含t的代数式表示出BP的长为 cm，CQ的长为 cm；
（2）写出S与t之问的函数关系式；
（3）当△DPQ的面积最小时，请判断线段PQ与对角线AC的关系，并说明理由．
【答案】（1）(6-t)，(12-2t)；（2）S=t2-6t+36；（3）PQ∥AC，理由见解析
【解析】
【分析】（1）由题意可得出答案；
（2）根据△PQD的面积=矩形ABCD的面积-△APD的面积-△PBQ的面积-△CDQ的面积可得出答案；
（3）由二次函数的性质及中位线定理可得出答案．
【详解】解：（1）根据题意得：AP=t(cm)，BQ=2t(cm)，
则BP=(6-t)cm，CQ=(12-2t)cm，
故答案为：(6-t)，(12-2t)；
（2）∵BP=6-t(cm)，CQ=12-2t(cm)，
∴△PQD的面积=矩形ABCD的面积-△APD的面积-△PBQ的面积-△CDQ的面积
=12×6-×12t-×2t×(6-t)-×6(12-2t)
=t2-6t+36，
∴S=t2-6t+36；
（3）∵S=t2-6t+36=(t-3)2+27，且1＞0，
∴当t=3时，S最小；
即经过3s时，△PQD的面积最小，此时，PQ∥AC．
理由：∵t=3，
∴AP=PB=3(cm)，CQ=BQ=6(cm)，
∴PQ∥AC．
．
【点睛】本题考查了矩形的性质，二次函数的最值，中位线定理，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键．
25. 如图，已知直线PA交⊙O于A、B两点，AE是⊙O的直径，点C为⊙O上一点，且AC平分∠PAE，过C作CD⊥PA，垂足为D．
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）若∠AEC＝30°，⊙O的半径为10，求图中阴影部分的面积．
【答案】（1）见解析（2）−25．
【解析】
【分析】（1）连接OC，根据OA＝OC推出∠OCA＝∠OAC，根据角平分线得出∠OCA＝∠OAC＝∠CAP，推出OC∥AP，得出OC⊥CD，根据切线的判定推出即可；
（2）根据圆周角定理证明△AOC是等边三角形，利用扇形面积和等边三角形的面积即可求出结果．
【详解】（1）证明：如图，连接OC．
∵OC＝OA，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵AC平分∠PAE，
∴∠DAC＝∠OAC，
∴∠DAC＝∠OCA，
∴AD∥OC．
∵CD⊥PA，
∴∠ADC＝∠OCD＝90°，
即 CD⊥OC，点C在⊙O上，
∴CD是⊙O的切线．
（2）解：∠AEC＝30°，
∴∠AOC＝60°，
∵OA＝OC，
∴△AOC是等边三角形，
∵⊙O的半径为10，
∴等边三角形△AOC面积为：×10×5＝25，
扇形AOC的面积为：．
∴图中阴影部分面积＝扇形AOC的面积−等边三角形△AOC面积＝−25．
【点睛】本题考查了切线的判定和性质，等边三角形的判定与性质，平行线的性质和判定，圆周角定理，扇形面积的计算，主要考查学生综合运用定理进行推理的能力．
26. 王老师在一次校内公开课上展示“探析矩形折叠问题”内容，引起了同学们的广泛兴趣，他们对折纸进行了如下探究．如图有一矩形纸片ABCD，AB＝4，AD＝8，点Q为边BC上一个动点，将纸片沿DQ折叠，点C的对应点为点E．
（1）如图1，当射线DE与边BC的交点F到点C的距离为3时，求CQ的长；
（2）如图2，记射线QE与边DA的交点为P，若AP＝3，则CQ的长为 ．
（3）如图3，G为AD上一点，且GD＝2，连接AE、CE．
①试判断AE﹣2GE的值是否能若点Q的位置变化而变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由；
②连接BE，当AE+2EB的值最小时，直接写出E到边AD的距离为 ．
【答案】（1）；
（2）2；
（3）①不变，AE-2GE=0；
②．
【解析】
【分析】（1）勾股定理求DF=5，继而得到EF=1，设CQ=QE=x，则QF=3-x，在直角三角形QEF中，实施勾股定理求解即可；
（2）先证明△DEP∽△FCD，求得DF，继而确定EF值，再证明△DPE∽△FQE即可得解；
（3）①利用两边对应成比例及其夹角相等的两个三角形相似，证明△DGE∽△DEA，得到AE=2GE，从而问题得证；
②根据两点之间线段最短，确定当B，E ，G三点共线时，BE+EG最小，从而2（BE+EG）最小即2EB+2EG最小，由①知AE=2GE，因此2BE+AE最小，过点E作EF⊥AD，垂足为F，利用平行线分线段成比例定理和勾股定理，转化成关于EF的一元二次方程求解即可．
【详解】解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，
∴DF===5，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，
∴EF=1，
设CQ=QE=x，则QF=3-x，
在直角三角形QEF中，
，
∴，
解得x=；
故CQ=；
（2）如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DCF=90°，DA∥CQ，
∴∠PDE=∠DFC，
根据折叠的性质，得DE=CD=4，∠DCF=∠DEQ= ∠DEP= 90°，
∴△DEP∽△FCD，
∴，
∵AP=3，AD=8，
∴PD=5，
在直角三角形PDE中，
，
∴PE=3，
∴，
∴DF=，
∴EF=DF-DE=-4=，
∵DP∥QF，
∴△DPE∽△FQE ，
∴，
∴，
∴EQ=2，
∵EQ=CQ，
∴CQ=2；
（3）①AE-2GE的值保持不变，且AE-2GE=0；理由如下：
∵，∠GDE=∠EDA，
∴△DGE∽△DEA，，
∴，
∴AE=2GE，
∴AE-2GE=0；
②如图5，∵BE+GE≥BG，
∴当B，E ，G三点共线时，BE+EG取得最小值，
从而2（BE+EG）有最小值即2EB+2EG最小，由①知AE=2GE，因此2BE+AE最小，
如图6，过点E作EF⊥AD，垂足为F，
则FE∥AB，
∴，
∵GD=2，AD=8，
∴GA=6，
∴，
∴，
设EF=2x，则GF=3x，
在直角三角形DEF中，
，
∴，
解得x=或x=（舍去）；
∴2x=；
∴EF=；
故点E到边AD的距离为．
【点睛】本题考查了矩形性质，三角形的相似，平行线分线段成比例定理，勾股定理，折叠的性质，两点之间线段最短原理，一元二次方程的解法，熟练掌握性质，准确确定最小值，并熟练求解一元二次方程是解题的关键．
27. 如图，已知抛物线经过点，与y轴交于点C．
（1）a＝ ，b＝ ；
（2）若点P为该抛物线上位于直线AB下方的一点，且点P的横坐标为m，过点P作PQ∥y轴，交线段AB于点Q．
①当△APQ为等腰直角三角形时，求m的值；
②当PQ+BQ取得最大值时，求的值；
③当﹣3＜m＜0时，若∠PCA＝3∠ACO，求m的值．
【答案】（1）；（2）①或；②当时，；③；
【解析】
【分析】（1）将点代入抛物线中，利用待定系数法解题；
（2）①分两种情况讨论：当时，或当时，分别作出适当的图形，结合一元二次方程与勾股定理解题即可；
②利用两点间的距离公式，结合勾股定理解得，结合二次函数的最值解题；
③作点D关于原点的对称点，连接作交轴于点，交抛物线于点，由待定系数法解得直线的解析式，继而得到其与轴的交点，解得，利用全等三角形的判定与性质，得到，再利用相似三角形的判定与性质及勾股定理，解得的长得到点的坐标，接着解得直线的解析式，最后与抛物线联立成方程组，解得交点的横坐标，即可解题.
【详解】解：（1）将点代入抛物线中，得
解得
，
故答案为：；
（2）①当△APQ为等腰直角三角形时，
第一种情况：当时，点的纵坐标为-1，
，
此时
第二种情况：当时，即，
根据题意得，在等腰中，
，
设线段与轴交于点，
设直线的解析式为：，代入点得
，故是等腰直角三角形，
此时的横坐标为：，
综上所述，或；
②
令，可知，此抛物线开口向下，
当时，最大，
此时作辅助线于点，
当时，取最大，；
③设直线，代入得
令，得
作点D关于原点的对称点，连接作交轴于点，交抛物线于点，如图，
此时
作，
，
设的长为，
在中，
整理得，
解得（舍去）
设直线的解析式为，代入得
与联立抛物线联立得
整理得，
（舍去）
的横坐标为：
.
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法解二次函数解析式、求一次函数解析式、勾股定理、相似三角形的判定与性质等知识，是重要考点，有一定难度，掌握相关知识是解题关键.
x
…
0
1
2
3
4
…
y
…
m
0
﹣1
0
3
…
甲
11.9
12.2
12.1
11.8
12.1
11.9
乙
12.3
12.1
11.8
12.0
11.7
12.1